千題百煉——高中數(shù)學100個熱點問題(三)第83煉-特殊值法解決二項式展開系數(shù)問題

1、第十章第83煉特殊值法解決二項式展開系數(shù)的問題排列組合，二項式定理第83煉特殊值法解決二項式展開系數(shù)問題一、基礎知識：1、含變量的恒等式：是指無論變量在已知范圍內取何值，均可使等式成立。所以通?？蓪ψ兞抠x予特殊值得到一些特殊的等式或性質2、二項式展開式與原二項式呈恒等關系，所以可通過對變量賦特殊值得到有關系數(shù)（或二項式系數(shù)）的等式3、常用賦值舉例：（1）設，??011222nnnnrnrrnnnnnnnabCaCabCabCabCb??

2、???????????①令，可得：1ab??012nnnnnCCC?????②令，可得：，即：11ab?????012301nnnnnnnCCCCC???????（假設為偶數(shù)），再結合①可得：02131nnnnnnnnCCCCCC??????????n0213112nnnnnnnnnCCCCCC????????????（2）設????201221nnnfxxaaxaxax????????①令，則有：，即展開式系數(shù)和1x?????0122

3、111nnaaaaf?????????②令，則有：，即常數(shù)項0x?????02010naf????③令，設為偶數(shù)，則有：1x??n????01231211nnaaaaaf??????????????????021311nnaaaaaaf?????????????，即偶次項系數(shù)和與奇次項系數(shù)和的差由①③即可求出和的值??02naaa??????131naaa?????二、典型例題：例1：已知，則的值為________??828012831

4、xaaxaxax???????1357aaaa???思路：觀察發(fā)現(xiàn)展開式中奇數(shù)項對應的指數(shù)冪為奇數(shù)，所以考慮令，則偶x11xx???數(shù)項相同，奇數(shù)項相反，兩式相減即可得到的值1357aaaa???解：令可得：①1x?80182aaa?????第十章第83煉特殊值法解決二項式展開系數(shù)的問題排列組合，二項式定理系數(shù)和為，所以5550123455aaaaaa??????答案：A例5：若，則??2014201401201412xaaxax???

5、???__________??????010202014aaaaaa????????思路：所求表達式可變形為：，從而只需求出和系數(shù)和??00120142013aaaa?????0a即可。令可得：，令可得：，所以0x?01a?1x?0120141aaa???????001201420132014aaaa??????答案：2014例6：若，且，則??2622020nnCCnN??????20122nnnxaaxaxax???????等于（）

6、??0121nnaaaa??????A.B.C.D.8127243729思路：由可得或，解得，所求2622020nnCC???262nn???????26220nn????4n?表達式只需令，可得1x??????44012412181aaaa??????????????答案：A例7：若，則????201322013012201321xaaxaxaxxR????????（）23201323201311112222aaaaaa??????A

7、.B.C.D.12013?1201314026?14026思路：所求表達式中的項呈現(xiàn)2的指數(shù)冪遞增的特點，與恒等式聯(lián)系可發(fā)現(xiàn)令，可12x?得：，令可得：，所以22013012201310222aaaa??????0x?01a??，所以所求表達式變形為：，而220131220131222aaa?????111111122aaa?????????，所以，從而表達式的值為????2012112013214026axCxx?????14026a