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1、1學(xué)科數(shù)學(xué)課題名稱函數(shù)恒成立問題——參變分離法周次教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重難點(diǎn)函數(shù)恒成立問題——參變分離法一、基礎(chǔ)知識:1、參變分離:顧名思義,就是在不等式中含有兩個字母時(一個視為變量,另一個視為參數(shù)),可利用不等式的等價變形讓兩個字母分居不等號的兩側(cè),即不等號的每一側(cè)都是只含有一個字母的表達(dá)式。然后可利用其中一個變量的范圍求出另一變量的范圍2、如何確定變量與參數(shù):一般情況下,那個字母的范圍已知,就將其視為變量,構(gòu)造關(guān)于它的函數(shù),另一個字母(一
2、般為所求)視為參數(shù)。3、參變分離法的適用范圍:判斷恒成立問題是否可以采用參變分離法,可遵循以下兩點(diǎn)原則:(1)已知不等式中兩個字母是否便于進(jìn)行分離,如果僅通過幾步簡單變換即可達(dá)到分離目的,則參變分離法可行。但有些不等式中由于兩個字母的關(guān)系過于“緊密”,會出現(xiàn)無法分離的情形,此時要考慮其他方法。例如:,等??21logaxx??111axxex????(2)要看參變分離后,已知變量的函數(shù)解析式是否便于求出最值(或臨界值),若解析式過于復(fù)雜
3、而無法求出最值(或臨界值),則也無法用參變分離法解決問題。(可參見”恒成立問題——最值分析法“中的相關(guān)題目)4、參變分離后會出現(xiàn)的情況及處理方法:(假設(shè)為自變量,其范圍設(shè)為,為函數(shù);xD??fx為參數(shù),為其表達(dá)式)a??ga(1)若的值域?yàn)??fx??mM①,則只需要????xDgafx???????mingafxm??,則只需要????xDgxfx???????mingafxm??②,則只需要????xDgafx???????max=
4、gafxM?3思路:首先轉(zhuǎn)化不等式,,即恒成立,觀察不等式與便()xxfxeae???23xxaee??axe于分離,考慮利用參變分離法,使分居不等式兩側(cè),,若不等式恒成ax??223xxaee???立,只需,令(解析式可(解析式可????2max23xxaee?????????222333xxxgxeee???????看做關(guān)于看做關(guān)于的二次函數(shù),故配方求最值)的二次函數(shù),故配方求最值),所以xe??max3gx?3a?答案:3a?例2
5、:已知函數(shù),若在上恒成立,則的取值范圍是??lnafxxx????2fxx???1??a_________思路:恒成立的不等式為,便于參數(shù)分離,所以考慮嘗試參變分離法2lnaxxx??解:,其中233lnlnlnaxxxxaxaxxxx??????????1x???只需要,令???3maxlnaxxx????3lngxxxx??(導(dǎo)函數(shù)無法直接確定單調(diào)區(qū)間,但再求一次導(dǎo)即可將變?yōu)?,所以二階導(dǎo)2()1ln3gxxx???lnx1x函數(shù)的單
6、調(diào)性可分析,為了便于確定的符號,不妨先驗(yàn)邊界值)??gx,,(判斷單調(diào)性時一定要先看定義域,有可能會簡??12g????211660xgxxxx?????化判斷的過程)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞減??gx???1??????10()gxggx??????1??????11gxg????1a???答案:1a??注意:求導(dǎo)數(shù)的目的是利用導(dǎo)函數(shù)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)無法直接判斷符號時,可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)解析式的特點(diǎn)以及定義域嘗試在求一次導(dǎo)數(shù),
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