11年數(shù)值分析真題

1、2011 2011級研究生數(shù)值分析考試題 級研究生數(shù)值分析考試題一、單項選擇題（每小題 一、單項選擇題（每小題2分，共 分，共10 10分） 分）1、ln2 =0.69314718…，用0.69314作為ln2的近似值，它有（ ）位有效數(shù)字。A. 3 B. 4 C. 5 D. 63、 數(shù)值積分的龍貝格算法（公式）是通過對 __________公式的修正得到的。4、 若s（x）是［a,b］上的分段m次多項式，且 ，則稱s（x）是［a,b］

2、上的 m次樣條函數(shù)。5、 設(shè)f （x） — x3 - 3，則其牛頓法求根的迭代公式為 ______。6、 設(shè)矩陣A的特征值均可大體估計，且滿足|七| >|氣| > 習(xí)七 >|七|，現(xiàn)用反幕 法求\，為加速迭代采用原點平移策略，即 B=A-pE，貝0參數(shù)P的最佳選擇 為。三、計算題（每小題 計算題（每小題10 10分，共 分，共40 40分） 分）1、 某矩形場地的長、寬分別為20m和10m，假設(shè)其絕對誤差界均為0.2m

3、，求該矩形 場地的周長及面積的相對誤差界。一1 2 6 -2、 設(shè)A = 2 5 15，對其進行LU分解。6 15 462、 用二分法求解非線性方程x2 - x -1 — 0的正根，在初始區(qū)間是［0，2］的情況下， 若要求誤差小于0.05，那么需要二分（ ）次即可滿足要求。 A.3 B.4 C.53、 線性多步法的一般公式y(tǒng) =l^a y + h& yk=0 中，若（A. b = 0-1n-k k n - k k=-1 ）成立時

4、，則該公式是隱式公式 。B. b 豐 0-1D.4、已知n=3時 科特斯系數(shù)C（3）1 A.- 2B.1C. a0 = 0——,C (3) —— , C (3)8 i 821 C.- 8那么 C 33）=（）。D.05、用選主元的方法解線性方程組Ax = b,是為了（A.提高計算速度 B.減少舍入誤差 C.減少相對誤差 D.減少計算量二、填空題（每小題 二、填空題（每小題3分，共 分，共18 18分） 分）設(shè) f （x） = nxn

5、+ 1（n。0），則 f ［x , x ,...,x ］=0 1 n）。1、2、設(shè)矩陣A =11，則矩陣A的2-范數(shù)是.4、設(shè)有向量x = ( 5,4,3)r，試構(gòu)造平面旋轉(zhuǎn)陣P(2,3) P(2,3)，使得P(2,3)了的第3個分量為0，試構(gòu)造初等反射陣H，使H x = (*,0,0)了。綜合應(yīng)用題 綜合應(yīng)用題(20 (20分)設(shè)f (X) = X3 - 1，討論問題區(qū)間為［0 1］,權(quán)函數(shù)為常數(shù)1。解答以下問題。1、 求區(qū)間［0 1

6、］上的正交多項式簇：甲(0) T,甲(x) = x + a,甲(x) = x2 + bx + c ；0 1 22、以中2(x)的兩個零點x0,x1作為求積節(jié)點，構(gòu)造高斯求積公式j(luò) 燃(x)dx = A f (x ) + Af (x )0 0 0 11并說明該求積公式有幾次代數(shù)精度。以甲0(0),氣(x),甲2(x)對f (x)在區(qū)間［0 1］上進行最小均方二次逼近，寫出法方程、 求出最小均方二次逼近多項式s(x) = Ax2 + Bx

7、 + C。證明題 證明題(選作 選作2題，每小題 題，每小題6分，共 分，共12 12分)1、設(shè)有方程組Ax = b，其中系數(shù)矩陣對稱正定，試證當(dāng)松馳因子®滿足20 V①V (P為A的最大特征值)時，下述迭代法收斂：Px(k+1) = x(k)+3 (b - Ax(k)) (k = 0,1,2,…)2、求f (x) = xn+1關(guān)于節(jié)點x ,x，…,x的拉格朗日插值多項式L (x)及插值余項 0 1 n nRn(x)，并證明Y

8、 xn+1l (0) = (-1)nx x …尤i=0其中，l (x)為關(guān)于節(jié)點x ,x,…,x的拉格朗日插值基函數(shù)。i 0 1 n3、用形如J = a(y + y ) + h(b f + b f )i+1 i i-1 0 i 1 i-1的線性兩步法求解常微分方程的初值問題，試確定其中的參數(shù)，使方法的階盡可 能的高，并求其局部截斷誤差主項。其中f = f (x.,yi)。1 「 1 一 21 x =11 2 1的高斯一賽德爾迭代法的收斂