13季節(jié)arima模型

1、2.8 季節(jié)時間序列模型在某些時間序列中，存在明顯的周期性變化。這種周期是由于季節(jié)性變化（包括季度、月度、周度等變化）或其他一些固有因素引起的。這類序列稱為季節(jié)性序列。比如一個地區(qū)的氣溫值序列（每隔一小時取一個觀測值）中除了含有以天為周期的變化，還含有以年為周期的變化。在經濟領域中，季節(jié)性序列更是隨處可見。如季度時間序列、月度時間序列、周度時間序列等。處理季節(jié)性時間序列只用以上介紹的方法是不夠的。描述這類序列的模型之一是季節(jié)時間序列模型

2、(seasonal ARIMA model)，用 SARIMA 表示。較早文獻也稱其為乘積季節(jié)模型（multiplicative seasonal model） 。設季節(jié)性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的變化周期為 s，即時間間隔為 s 的觀測值有相似之處。首先用季節(jié)差分的方法消除周期性變化。季節(jié)差分算子定義為，?s = 1- Ls 若季節(jié)性時間序列用 yt 表示，則

3、一次季節(jié)差分表示為?s yt = (1- Ls) yt = yt - yt - s 對于非平穩(wěn)季節(jié)性時間序列，有時需要進行 D 次季節(jié)差分之后才能轉換為平穩(wěn)的序列。在此基礎上可以建立關于周期為 s 的 P 階自回歸 Q 階移動平均季節(jié)時間序列模型（注意 P、Q 等于 2 時，滯后算子應為(Ls)2 = L2s。AP (Ls) ?sDyt = ?Q (Ls) ut

4、 (2.60)對于上述模型，相當于假定 ut 是平穩(wěn)的、非自相關的。當 ut 非平穩(wěn)且存在 ARMA 成分時，則可以把 ut 描述為?p (L) ?dut = ?q (L) vt (2.61)其中 vt 為白噪聲過程，p, q 分別表示非季節(jié)自回歸、移動平均算子的最大階數(shù)，d 表示 ut的一階（非季節(jié)）差

5、分次數(shù)。由上式得ut = ?p-1(L) ?-d ?q (L) vt (2.62)把 (2.62) 式代入 (2.60) 式，于是得到季節(jié)時間序列模型的一般表達式。?p(L) AP(Ls) (?d?sDyt) = ?q(L) ?Q(Ls) vt (2.63)其中下標 P, Q, p, q 分

6、別表示季節(jié)與非季節(jié)自回歸、移動平均算子的最大滯后階數(shù)，d, D 分別表示非季節(jié)和季節(jié)性差分次數(shù)。上式稱作 (p, d, q) ? (P, D, Q)s 階季節(jié)時間序列模型或乘積季節(jié)模型。保證（?d?sDyt）具有平穩(wěn)性的條件是?p(L)AP(Ls) = 0 的根在單位圓外；保證（?d?sDyt）具有可逆性的條件是?q (L)?Q (Ls) = 0 的根在單位圓外。當 P = D = Q = 0 時，SARIMA 模型退化為 ARIM

7、A 模型；從這個意義上說，ARIMA模型是 SARIMA 模型的特例。當 P = D = Q = p = q = d = 0 時，SARIMA 模型退化為白噪聲模型。 (1, 1, 1) ? (1, 1, 1)12 階月度 SARIMA 模型表達為(1- ?1 L) (1- ?1 L12) ? ?12 yt = (1+?1 L) (1+?1 L12) vt ? ?12 yt 具有平穩(wěn)性的條件是 ? ?1 ? < 1，? ?1

8、? < 1，? ?12 yt 具有可逆性的條件是 ? ?1 ? < 1，? ?1 ? < 1。設 log(Yt) = yt，變量? ?12 yt 在 EViews 中用 DLOG(Y,1,12)表示（這樣表示的好處是型異方差。對數(shù)的社會商品零售額月度數(shù)據(jù)（Ln yt）曲線見圖 2.33。Lnyt 與時間近似呈線性關系（異方差問題也得到抑制） 。 0200400600800100078 79 80 81 82 83 84

9、 85 86 87 88 89Y4.55.05.56.06.57.078 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89LNY圖 2.32 yt 圖 2.33 Lnyt通過 Lnyt 的相關圖和偏相關圖（見圖 2.34）可以看到 Lnyt 是一個非平穩(wěn)序列（相關圖衰減很慢）且 Lnyt 與其 12 倍數(shù)的滯后期存在自回歸關系。圖 2.34 Lnyt 的

10、相關圖（下）和偏相關圖（上）對 Lnyt 進行一階差分，得?Lnyt（圖 2.35） 。圖 2.36 是對 Lnyt 進行 2 次一階差分的結果，序列?2Ln yt 是過度差分序列。從 ?Lnyt 的相關圖和偏相關圖（圖 2.37）可以看到，通過差分 ?Lnyt 的平穩(wěn)性得到很大改進，但與其 12 倍數(shù)的滯后期存在顯著的自相關關系。-0.4-0.20.00.20.478 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89D