量子度量學.pdf

1、經(jīng)過近百年的發(fā)展，量子力學已經(jīng)從純粹的思辨科學走向了技術領域。近年來，由量子力學衍生出的新型技術已經(jīng)滲透到通訊，電子等諸多應用科學中并逐步發(fā)揮作用。量子度量學，作為量子技術的一個新興分支，也逐步顯露出巨大的發(fā)展?jié)摿?。在此背景下，本文以Cramér-Rao理論為核心進行了量子度量學理論的相關研究。
　　在第一章中，我們首先簡要介紹了量子度量學的發(fā)展，回顧了經(jīng)典參數(shù)估計中的Cramér-Rao不等式并介紹了其證明過程。在此基礎上，我們

2、利用矩陣形式的柯西-施瓦茲不等式，詳細推導了量子情形下單參數(shù)與多參數(shù)估計中的Cramér-Rao不等式。在單參數(shù)估計中，參數(shù)精度的下限為量子Fisher信息的倒數(shù)，而在多參數(shù)估計中，這一下限為量子Fisher信息矩陣的逆矩陣。正是由于這些不等式的存在，量子Fisher信息與量子Fisher信息矩陣成為了量子度量學理論中評價具體物理系統(tǒng)參數(shù)估計潛力的重要指標。
　　在第二章中，我們介紹了量子Fisher信息與量子Fisher信息矩陣

3、的具體計算方法。與過去多數(shù)只討論密度矩陣滿秩情況的推導不同地是，在這一章的推導中我們強調(diào)了含參數(shù)密度矩陣可以是不滿秩的，也就是說，它可以有零本征值存在。對于這樣非滿秩的密度矩陣，我們證明量子Fisher信息與量子Fisher信息矩陣均可以僅用密度矩陣支集內(nèi)的本征值與本征態(tài)表示，而無需支集外的本征態(tài)。緊接著，我們討論了對稱對數(shù)導數(shù)的計算。從Lyapunov表示出發(fā)，我們推導出了一種新型的基于密度矩陣反對易子的對稱對數(shù)導數(shù)表示方法。與Lya

4、punov表示一樣，該表示方法是與表象無關的，無需強制在密度矩陣本征空間中計算。另外，在某些情況下，比如密度矩陣與其偏導數(shù)的n階反對易呈現(xiàn)出周期性或可截斷時，這一表示方法會顯示出極大的便利性。利用這一方法，我們給出了所有二能級系統(tǒng)下對稱對數(shù)導數(shù)以及量子Fisher信息的表象無關的一般表示方法。
　　幺正參數(shù)化是量子度量學中的一種常見的參數(shù)化方式。它廣泛存在于以光學或原子干涉儀為平臺的度量學過程中。在本文第三章中，我們著重討論了幺正

5、參數(shù)化下的量子度量學理論。我們首先引入了一個僅與參數(shù)化過程以及待估計參數(shù)相關的系統(tǒng)特征算符H。在H算符的幫助下，量子Fisher信息及量子Fisher信息矩陣的計算被拆分為兩個過程，首先是H算符的計算，其次是該算符在初態(tài)本征空間中的矩陣元。對于初態(tài)為純態(tài)的情況，量子Fisher信息與量子Fisher信息矩陣可簡單地表示為該算符在初態(tài)下的方差與協(xié)方差矩陣。在詳細討論了H算符的計算之后，我們將該方法應用于兩個不同的情境中。第一個情景是初態(tài)為

6、指數(shù)形式的量子態(tài)。對于這一類型的量子態(tài)，我們給出了H算符以及量子Fisher信息的解析表達式。第二類情景為一系列的物理系統(tǒng)，他們的共同特征是系統(tǒng)中存在一個V算符，該算符為常數(shù)或守恒量。對于這類系統(tǒng)，我們詳細介紹了H算符的計算方法并給出其解析解。為了更加形象地展示這一情景，我們以自旋系統(tǒng)和光力(Optomechanics)系統(tǒng)為例進行了研究，討論了其中的度量學問題。
　　在第四章中，我們主要討論了光學干涉儀中的量子度量學問題。首先我

7、們詳細介紹了Mach-Zehnder干涉儀的基本構成及其量子表示。然后，我們詳細討論了一種初態(tài)情景，該情景中干涉儀的一個輸入端口輸入的是具有奇偶性的態(tài)，而另一端則可以是任意的量子態(tài)。我們給出了該情境下量子Fisher信息的解析表達式。利用此解析表達式，可以得到優(yōu)化參數(shù)估計精度的初態(tài)相位匹配條件。在該條件下，量子Fisher信息對于初態(tài)相位可以達到最大值。除此之外，我們也討論了非平衡分束器以及干涉儀中有光子損耗下的相位匹配條件。
　

8、　干涉儀中的多相位估計問題一直以來都是量子度量學中的一類重要問題。除了單相位估計，第四章也討論了多相位估計問題。我們首先將糾纏相干態(tài)進行了多模推廣，隨后以這一廣義糾纏相干態(tài)為初態(tài)進行了多相位估計。通過計算線性與非線性參數(shù)化下的量子Fisher信息矩陣，我們得到了待估計相位總方差下限的解析解。跟利用糾纏相干態(tài)進行獨立相位估計的方案相比，廣義糾纏相干態(tài)給出的精度下限對相位數(shù)量的敏感性更低，這意味著廣義糾纏相干態(tài)在相位數(shù)量比較龐大時比獨立估計