二階非周期哈密頓系統(tǒng)同宿軌道研究.pdf_第1頁
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文檔簡介

1、二階非周期哈密頓系統(tǒng)同宿軌道研究哈密頓系統(tǒng)理論是既經典又現代的研究領域,可以從不同的角度進行研究,變分方法便是其中之一。哈密頓系統(tǒng)是具有變分結構的系統(tǒng),求哈密頓系統(tǒng)的解可轉化為尋找其對應泛函的臨界點。正因于此,哈密頓系統(tǒng)研究與最近20多年來飛速發(fā)展的大范圍變分理論即臨界點理論相結合,取得了巨大的進展.特別是在應用變分方法尋找哈密頓系統(tǒng)的周期解、同宿軌道解、異宿軌道解和其它形式的軌道解方面,取得了許多非常深刻的結果。 本論文主要研

2、究非周期的位勢可變號的二階哈密頓系統(tǒng)ü(t)-L(t)u(t)+V'u(t,u)=0,-∞<t<+∞(HS2)的同宿軌道.這里u=(u1,u2,…un),V(t,u):R×Rm→R是一個符號可變的位勢函數.假設L(t)和V(t,u)滿足(L1)L(t)∈C(R,Rm2)是一個m×m階對稱正定矩陣,存在函數a(t)∈C(R,R)使得a(t)≥a0>0,(L(t)u,u)≥a(t)|u|2,t∈R,u∈Rm.(L2)a(t)→+∞,|t|→

3、+∞.(V1)V∈C1(R×Rm,R),V(t,0)=0,V'u(t,u)=o(|u|)(|u|→0),關于t∈R一致成立.(V2)存在常數μ>2,1≤β<2,r>O,d1≥0使得|u·V'u(t,u)-μV(t,u)|≤d1|u|β,當|x|≥r.(V3)存在函數V1(u)∈C(Rm,R),使得|V(t,u)|+|V'u(t,u)|≤|V1(u)|,t∈R,u∈Rm.在假設(V1)-(V3)下,易知存在d2≥0使得|u·V'u(t,u

4、)-μV(t,u)|≤d2|u|β,()t∈R,()u∈Rm.若V(t,u)還滿足(V4)存在(t0,u0)滿足|u0|=1且V(t0,u0)>d2/μ-β.那么(HS2)至少存在一條非平凡的同宿軌道。 再進一步假設V(t,u)還滿足(V5)存在函數b(t)∈C(R,R)滿足b(t)>0,且inft∈R,|u|=1V(t,u)≥b(t)+d2/μ-β。(V6)V(t,u)=V(t,-u),t∈R,u∈Rm.那么(HS2)擁有無窮

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