二階差分方程特征值問題及復離散哈密頓系統(tǒng)的變換.pdf

1、本文主要討論兩方面的內(nèi)容.一是二階差分方程周期和反周期邊值問題的特征值，二是復離散哈密頓系統(tǒng)的Prüfer變換和三角變換. 對于微分方程周期和反周期邊值問題的特征值，Coddington和Levinson，Hale，Magnus和Winkler[1，2，3]等人研究二階微分方程邊值問題特征值的性質，并比較周期和反周期兩種邊值問題的特征值，獲得一些很漂亮的結果.這些結果被章梅榮[4]推廣到一維p-拉普拉斯算子. 而對于差分

2、方程邊值問題的特征值，Atkinson，Bohner，Jirari，史玉明，陳紹著[5，6，7，8，9，10]等人做出很大貢獻.但是，對于二階差分方程的周期和反周期邊值問題的特征值及其比較卻鮮有討論.因此，本文的一個主要目的就是探討這一問題. 本文要討論的第二個問題是復離散哈密頓系統(tǒng)的變換.在經(jīng)典的Sturm-Liouville理論中，Prüfer變換和三角變換是研究方程振動性，譜理論等的重要工具.隨著高維系統(tǒng)研究的深入，Bar

3、rett[11]建立連續(xù)的三角系統(tǒng)，從而為這兩種變換在高維情形下的推廣奠定基礎.利用三角系統(tǒng)，Barrett，Reid，鄭召文[11，12，13]得到連續(xù)哈密頓系統(tǒng)的Prüfer變換，并獲得一系列哈密頓系統(tǒng)的振動性結論.而Do(s)l(y)[14]則把三角變換推廣到連續(xù)哈密頓系統(tǒng). 對于差分方程的研究，Anderson[15]首先建立一種特殊的離散三角系統(tǒng)，引入高維離散的正弦，余弦函數(shù)，從而使Prüfer變換和三角變換能夠拓展到

4、離散的情形.Bohner和Do(s)l(y)[16，17，18]對此做出主要貢獻.他們定義一般實離散三角系統(tǒng)的概念，利用該系統(tǒng)給出實辛差分系統(tǒng)的Prüfer和三角變換，并由此獲得實辛差分系統(tǒng)的一些振動性判定定理. 但是，Bohner和Do(s)l(y)的變換僅針對實差分系統(tǒng)，而對于更廣泛的復差分系統(tǒng)，如復離散哈密頓系統(tǒng)則不適用.本文的另一個主要目的就是給出更一般的復離散三角系統(tǒng)的概念以及復離散哈密頓系統(tǒng)的Prüfer變換和三角變

5、換.全文共分為三章.每章的第一節(jié)簡要介紹所研究問題的背景. 第一章研究二階差分方程周期和反周期邊值問題的特征值.第二節(jié)是第三、四節(jié)的準備工作.首先給出Wronskian恒等式，然后利用Atkinson[5，Chapter4]的結果得出Dirichlet邊值問題特征值的性質和一個特殊的振動性結論(見引理3.2.3).之后，根據(jù)史玉明和陳紹著的結果[9，Lemma2.1和Theorem4.1]，得到周期和反周期邊值問題特征值存在性及

6、其個數(shù).另外，還給出一個非齊次線性方程初值問題解的表達式.第三節(jié)建立周期和反周期邊值問題特征值之間的關系(見定理3.3.1)，這一結論可看作Coddington和Levinson[1，Chapter8，Theorem3.1]的離散形式.第四節(jié)給出第三節(jié)中一個關鍵引理的證明. 第二、三兩章主要研究復離散哈密頓系統(tǒng)的變換.第二章為第三章做鋪墊.因為復離散三角系統(tǒng)為一種特殊的復辛差分系統(tǒng)，所以第二章第二節(jié)首先介紹復辛差分系統(tǒng)的一些概念

7、和某些有用的相關引理，然后提出復離散三角系統(tǒng)的定義.第三節(jié)介紹三角系統(tǒng)的幾條性質并給出一個三角系統(tǒng)的判定定理.該判定將在第三章的證明中起重要作用.另外，三角系統(tǒng)可轉化為另一種更易研究的特殊三角系統(tǒng). 第三章第二節(jié)說明任意復離散哈密頓系統(tǒng)可以轉化為一個辛系統(tǒng)，而辛系統(tǒng)不一定能轉化為一個哈密頓系統(tǒng)，并給出幾個引理.其后的定理3.2.1可看做[13，引理2.3.1]的離散形式.本章一個重要結論—Prüfer變換也在第二節(jié)給出.第三節(jié)主