八元數(shù)快速Fourier變換.pdf

1、目錄中英文摘要2第一章引言與主要結(jié)果3第二章預(yù)備知識1021四元數(shù)分析、八元數(shù)分析和Clifford分析1022快速Fourier變換和四元數(shù)快速Fourier變換14第三章復(fù)化八元數(shù)的表示及代數(shù)性質(zhì)1931八元數(shù)CaleyDickson極坐標(biāo)形式1932復(fù)化八元數(shù)的表示2233復(fù)化八元數(shù)的共軛、內(nèi)積和半范數(shù)2434復(fù)化八元數(shù)的零因子27第四章八元數(shù)快速Fourier變換32411的八元數(shù)根3242八元數(shù)快速Fourier變換36參考文

2、獻(xiàn)40致謝431第一章引言與主要結(jié)果lIIIIIIIIIIIIllIIIIIIl＼1768384長期以來Fourier變換是信號處理和圖像處理的重要工具1804年，法國科學(xué)家Fourier由于當(dāng)時工業(yè)上處理金屬的需要，開始從事熱流動的研究，他在題為《熱的解析理論》一文中，提出了任意周期函數(shù)都可以用三角級數(shù)來表示，這種思想用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的角度來看，F(xiàn)ourier變換是一種特殊的積分變換，它將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或積

3、分，根據(jù)該原理創(chuàng)立的Fourier變換算法，利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計(jì)算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位和Fourier變換算法對應(yīng)的是反Fourier變換算法該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理正是由于上述的良好陛質(zhì)，F(xiàn)ourier分析廣泛應(yīng)用于很多學(xué)科，如物理學(xué)，組合數(shù)學(xué)，信號處理，密碼學(xué)，聲學(xué)，地球物理學(xué)，光學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)，生物學(xué)，天文學(xué)等快速Fourier變換(FFT)是在1965年由Gooley和Wukey提出

4、的，它的發(fā)現(xiàn)是離散Fourier變換(DFT)作為數(shù)字信號處理的重要里程碑FFT并不是與DFT不同的另一種變換，而是為了減少DFT運(yùn)算次數(shù)的一種快速算法計(jì)算M個點(diǎn)的一維Fourier變換，按照離散Fourier變換的定義直接求，需要M2次運(yùn)算快速Fourier變換完成同樣的任務(wù)則只需進(jìn)行MlogM次運(yùn)算例如當(dāng)M=1024時用笨拙的方法大約需要106次操作，而用快速Fourier變換只需要104次操作，這是100：1的運(yùn)算優(yōu)勢也就是說能夠

5、在一年內(nèi)完成的規(guī)定工作反之卻用100年完成[1]!因此要解決的問題越大，用快速Fourier變換計(jì)算的優(yōu)勢也就越大，例如，若M=8192(213)，計(jì)算優(yōu)勢就增大到600：1另外，快速算法的發(fā)現(xiàn)有深遠(yuǎn)的社會和文化影響，其原本的動機(jī)是監(jiān)視蘇聯(lián)的核試驗(yàn)和追蹤蘇聯(lián)潛艇，而如今更是我們?nèi)粘Ｉ钪斜貍涞墓I(yè)產(chǎn)品的關(guān)鍵成分，比如數(shù)碼相機(jī)，磁盤驅(qū)動器，移動電話等以FFT為基礎(chǔ)的大量應(yīng)用軟件，如語音分析軟件，音樂合成軟件，以及圖像處理軟件醫(yī)生對病人進(jìn)行

6、檢查時使用的設(shè)備，如核磁共振成像(MRI)，核磁共振波譜(MRS)，計(jì)算機(jī)輔助掃描技術(shù)，都要使用FFT實(shí)現(xiàn)醫(yī)療成像【2]Fourier變換是一種全局性變換，若單獨(dú)處理RGB彩色圖像的三個分量之后再合成，就會丟失大量由色度變換引起的邊緣信息【11，能不能找出一種可以同時處理多個分量的方法，這個問題使一部分學(xué)者把研究目標(biāo)轉(zhuǎn)向四元數(shù)Fourier變換四元數(shù)Fourier變換是將顏色矢量(R，G，B)對應(yīng)一個純四元數(shù)，從而將RGB空間自然地嵌入