亞純函數(shù)及其q差分的分擔(dān)值集和唯一性.pdf

1、R.Nevanlinna創(chuàng)立的值分布理論（也稱Nevanlinna理論），以兩個(gè)基本定理和虧量關(guān)系式為核心內(nèi)容，被著名數(shù)學(xué)家WeyL評(píng)價(jià)為20世紀(jì)最優(yōu)美的數(shù)學(xué)分支之一，而關(guān)于亞純函數(shù)的唯一性理論是Nevanlinna理論的重要組成部分，它主要討論在什么情況下只存在一個(gè)函數(shù)滿足所給的條件，比如多項(xiàng)式除了一個(gè)常數(shù)因子外，由其零點(diǎn)唯一確定，然而對(duì)于超越整函數(shù)（或一般的亞純函數(shù)）來講，情形有極大的差異.Nevanlinna證明了超越亞純函數(shù)由5

2、個(gè)IM分擔(dān)值唯一確定（稱為Nevanlinna五值定理），分擔(dān)4個(gè)CM公共值的超越亞純函數(shù)相差一個(gè)Mobius變換（稱為Nevanlinna四值定理），所以細(xì)致研究亞純函數(shù)唯一性是十分重要的.近幾十年來，它備受許多學(xué)者關(guān)注，借助R.Nevanlinna創(chuàng)立的值分布理論深入研究五值定理，四值定理，三值定理，或加權(quán)分擔(dān)值集等唯一性問題，成為活躍的研究領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外的眾多數(shù)學(xué)家及學(xué)者己取得了豐碩研究成果.最近幾年，亞純函數(shù)唯一性理論的研究已經(jīng)推

3、廣到了差分，非阿基米德，多復(fù)變等領(lǐng)域.尤其是差分領(lǐng)域，這一新課題一出現(xiàn)，就引起了許多數(shù)學(xué)學(xué)者的興趣.W.Bergweiler，R.G.Halburd，Yik-Man Chiang等都已經(jīng)得到了許多很好的結(jié)果.
　　 本文主要介紹就與分擔(dān)值集有關(guān)的零級(jí)亞純函數(shù)及其q差分的唯一性問題所做的一些研究.全文共分三章，主要內(nèi)容如下：
　　 第一章概述了本文的研究背景，R.Nevanlinna基本的理論，以及后面兩章中用到的唯一性的

4、結(jié)論和一些記號(hào).
　　 第二章主要研究了零級(jí)亞純函數(shù)及其q差分的分擔(dān)值集和唯一性問題，推廣并改進(jìn)了儀洪勛，J.Heittokangas等人的結(jié)果，主要結(jié)果如下
　　 定理1.設(shè)f(z)為零級(jí)非常數(shù)亞純函數(shù)，q為非零復(fù)數(shù)，S1={1，w…，Wn-1}，S2={∞},其中n為正整數(shù)，ω=ext(2πi/n),如果Ef(z)(Sj)=Ef(qz)(Sj)(j=1,2),則當(dāng)n≥4時(shí)，f(z)≡±tf(qz),其中tn=1.

5、r>　　 當(dāng)f(z)為整函數(shù)，條件n≥4可以減弱為n≥3，如下
　　 推論1.設(shè)f(z)為零級(jí)非常數(shù)整函數(shù)，q為非零復(fù)數(shù)，S={1，ω，…，ωn-1},其中n為正整數(shù)，ω=exp(2πi/n),如果Ef（z）(S)=Ef(qz)(S),則當(dāng)n≥3時(shí)，f(z)≡±tf(qz),其中tn=1.
　　 若適當(dāng)選取S1，我們可以完全確定f(qz).
　　 定理2.設(shè)f(z)為零級(jí)非常數(shù)亞純函數(shù)，q為非零復(fù)數(shù)，m≥2，n

6、≥2m+4,n和n-m沒有公因子，a和b為使方程ωn+aωn-m+b=0沒有重根的2個(gè)非零復(fù)數(shù).S1={ω｜ωn+aωn-m+b=0},S2={∞},如果Ef(z)(Sj)=Ef(qz)(Sj)(j=1,2),則f(z)≡f(qz).
　　 當(dāng)f(z)為整函數(shù)，變數(shù)的條件可以減弱為n≥5，如下
　　 推論2.設(shè)f(z)為零級(jí)非常數(shù)整函數(shù)，q為非零復(fù)數(shù)，a和b為使方程ωn+aωn-m+b=0沒有重根的2個(gè)非零復(fù)數(shù)，n為正整

7、數(shù).S={ω｜ωn+aωn-m+b=0},如果Ef(z)(S)=Ef(qz)(S),則當(dāng)n≥5時(shí)，f(z)≡f(qz).
　　 第三章主要研究了關(guān)于零級(jí)亞純函數(shù)及其q差分多項(xiàng)式的共擔(dān)小函數(shù)和唯一性問題，在適當(dāng)條件下，我們得到F-a的下界.
　　 定理3.設(shè)f(z)為零級(jí)超越亞純函數(shù)，a(z)為f(z)的小函數(shù)，F(xiàn)(z)=Пnj=1f(qjz)uj,qj(j=1,2,…,n)為判別非零負(fù)數(shù)，uj(j=1,2,…,n)為正整

8、數(shù).u=Σnj=1uj≥3，且至少有1個(gè)uj≥2，若f(z)的極點(diǎn)收斂指數(shù)為0，則在對(duì)數(shù)密度為1的集合上，F(xiàn)(z)-a(z)有無窮多個(gè)零點(diǎn)且
　　 N(r,1/F(z)-a(z))≥T(r,f)+S(r,f).
　　 考察差分多項(xiàng)式f(z)n(f(z)-1)f(qz)一a(z)，我們可以得到
　　 定理4.設(shè)f(z)為零級(jí)超越整函數(shù)，a(z)為f(z)的小函數(shù)，q為非零復(fù)數(shù)，n為正整數(shù)，則在對(duì)教密度為1的集上，當(dāng)