亞純函數及其微分、q差分多項式的唯一性.pdf

1、上世紀二十年代,芬蘭數學家R.Nevanlinna建立了該世紀最為重要的數學理論之一,即復平面C上的亞純函數值分布理論[10,30](即Nevanlinna理論),以兩個基本定理為核心內容,即Nevanlinna第一及第二基本定理.該理論自確立后不斷自我完善和發(fā)展,同時廣泛的應用到其他的復分析領域,如亞純函數的唯-性理論,復微分及差分方程理論,正規(guī)族理論,多復變理論等.
　　 復平面C上的亞純函數唯-性理論[10,41]是伴隨著

2、Nevanlinna理論的發(fā)展而出現的.R.Nevanlinna首先給出了著名的Nevanlinna五值(四值)定理,即兩個亞純函數如果分擔擴充復平面上的五個(四個)判別的值,則他們相等(互為線性變換).這兩個定理是亞純函數唯一性理論研究的起點,隨后國內外眾多數學家和學者致力于此領域的研究,取得了豐碩的研究成果.經過幾十年的發(fā)展,逐漸形成了亞純函數唯-性理論.
　　 復差分方面的Nevanlinna理論是最近才確立的.其中,最關

3、鍵的結果是差分對數導數引理,Halburd-Korhonen[28]和Chiang-Feng[25]給出了這個引理的兩種表達形式.Halburd-Korhonen[26]在差分算子的基礎上建立了Nevanlirma理論.Ishizaki-Yanagihara[31]研究了差分方程慢增長的解的性質,并且給出了在微分方程中著名的Wiman-Valiron理論的差分定理.Bergweiler和Langley[24]研究了慢增長的亞純函數的差分

4、算子的值分布論.
　　 本文主要包括作者在導師楊連中教授的指導下得到的關于亞純函數及其微分、q差分多項式的唯-性理論的幾個結果.論文的結構如下安排:
　　 第一章概述了本文的研究背景,R.Nevanlinna基本的理論,以及后面兩章中用到的唯-性的結論和一些記號.
　　 第二章主要研究了亞純函數及其微分多項式分擔小函數的唯-性問題,推廣并改進了I.Lahiri,張慶彩等人的結果,主要結果如下:
　　 定理

5、1.設f是一個非常數亞純函數,Q[f]是一個非常數微分多項式,次數是d,權是Г.設a(z)是f的小函數,且a(z)≠0,∞.假設f-a和Q[f]-a分擔(0,l)且(n-1)d≤∑nj=1dMj,則以下假設之一成立時,Q[f]-a/f-a=C(其中C是非零常數).
　　 (1)l≥2且2-N(r,f)+N2(r,1/Q)+N2(r,1/(f/a)')＜(λ+o(1))T(r,Q),
　　 (2)l=1且2-N(r,f)+

6、N2(r,1/Q)+2-N(r,1/(f/a)')＜(λ+o(1))T(r,Q),
　　 (3)l=o且4-N(r,f)+3N2(r,1/Q)+2-N(r,1/(f/a)')＜(λ+o(1))T(r,Q).
　　 其中r∈I,0＜λ＜1且I是一個線性測度無窮的集合.
　　 第三章主要研究了零級亞純函數及其q差分多項式分擔小函數的唯一性問題,得到的主要結果如下:
　　 定理2.設f(z)為零級超越整函數,a

7、(z)∈S(r,f),q為非零復數,n為正整數,則在對數密度為1的集上,當m(P)＞0時,P(f)f(qz)-a(z)有無窮多個零點.
　　 定理3.設f(z)和9(z)為兩個零級超越整函數,q為非零復數,a(z)是f(z)和g(z)的小函數.如果n≥5s(P)+7m(P)+5,s(p)+m(p)≥2,且P(f)f(qz)與P(g)g(qz)IM分擔a(名),則在對數密度為1的集上,下列結論之一成立:
　　 (1)f≡t

8、g,其中t為常數滿足td=1,d=(i+1...,k,...,n+1)(ak≠0),ai是從右邊數第一個非零系數.
　　 (2)f,g滿足代數方程P(f)f(qz)-P(g)g(qz)≡0.
　　 推論1.設f(z)和g(z)為兩個零級超越整函數,q為非零復數,a(z)是f(z)和g(z)的小函數.如果n≥4m+12,且f(z)n(f(z)m-1)f(qz)與g(z)n(g(z)m-1)g(qz)IM分擔a(z),則在對

9、數密度為1的集上,f≡tg,其中t為常數滿足tm=tn+1=1.
　　 定理4.設f是一個零級非常數亞純函數,|q|(＞1)為非零復數,且F=P(f).如果F(z)與F(qz)分擔a(z)∈S(r,f)\{0}和∞CM,則當n≥3(s(P)+m(P))+1時,下列結論之一成立:
　　 (1)f(qz)三ωf(z),其中ω為常數滿足ωd=1,d=(i+1,...,k,...,n+1)(ak≠0),ai是從右邊數第一個非零系

10、數.
　　 (2)f滿足代數方程P(f(z))≡P(f(gz)).
　　 推論2.設f是一個零級非常數整函數,|g|(＞1)為非零復數,且F=P(f).如果F(z)與F(qz)分擔a(z)∈S(r,f)\{0}和∞CM,則當n≥2(s(P)+m(P))+1時,下列結論之一成立。
　　 (1)f(qz)三ωf(z),其中ω為常數滿足ωd=1,d=(i+1,...,k,...,n+1)(ak≠0),ai是從右邊數第一