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文檔簡介
1、本文討論了自變量分段連續(xù)型微分方程(EPCA),比例方程,單種群模型和一類非線性延遲微分方程的數(shù)值解的全局性質(zhì)。這些類型的方程在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,并且數(shù)值解全局性質(zhì)的分析具有重要的理論價值和實踐意義。
本文詳細(xì)地敘述了EPCA、比例方程、單種群模型和非線性延遲微分方程的應(yīng)用背景和研究歷史,回顧了這些微分方程解析解和數(shù)值解的一些全局性質(zhì)的研究狀況。
給出了EPCA的Runge-Kutta方法,討論了Runge-K
2、utta方法的穩(wěn)定性,并給出了解析解的穩(wěn)定區(qū)域包含在數(shù)值解的穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的條件。
利用Razumikhin技巧討論了比例方程解析解的漸近穩(wěn)定性和定步長方法的數(shù)值解的漸近穩(wěn)定性。特別地,考慮了線性常系數(shù)和線性變系數(shù)比例方程,得到了這些方程解析解的穩(wěn)定條件和定步長θ-方法的數(shù)值解的穩(wěn)定條件,并證明了Jackiewicz的猜想的充分性。
構(gòu)造了改進(jìn)Runge-Kutta方法,并證明了改進(jìn)的方法可以保持原方法的收斂階。給出了改
3、進(jìn)Runge-Kutta方法對于比例試驗方程是漸近穩(wěn)定的充分必要條件。特別地,改進(jìn)了θ-方法、Gauss-Legendre方法和Lobatto IIIA、IIIB方法應(yīng)用于比例試驗方程的漸近穩(wěn)定性。
考慮了單種群模型的指數(shù)型Runge-Kutta方法的全局穩(wěn)定性,并證明了該方法保持原方法的收斂階。給出了解析解不變集是數(shù)值解的正不變集的條件。證明了隱式Euler方法和2-級、2階Af(0)-穩(wěn)定的方法是全局漸近穩(wěn)定的,并且這些方
4、法的數(shù)值解單調(diào)趨于穩(wěn)定的平衡點。討論了一些Runge-Kutta方法應(yīng)用于帶有延遲項的單種群模型的全局漸近穩(wěn)定性。最后,利用Newton方法給出了隱式Runge-Kutta方法的解。
討論了Lawson數(shù)值方法應(yīng)用于一類延遲微分方程的振動性。給出了非線性延遲微分方程Lawson數(shù)值方法,并證明了這些方法的收斂階。分別給出了Lawson數(shù)值方法保持和判定線性延遲微分方程和一類特殊的非線性延遲微分方程解析解振動性的條件。討論了La
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