若干量子系統(tǒng)熱化問(wèn)題和一維系統(tǒng)PT對(duì)稱破缺轉(zhuǎn)變的研究.pdf

1、孤立量子多體系統(tǒng)非平衡動(dòng)力學(xué)的研究是物理學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)古老而又艱巨的重要課題。近十幾年來(lái)，光操控冷原子的實(shí)驗(yàn)和計(jì)算物理的發(fā)展為研究孤立量子多體系統(tǒng)的非平衡動(dòng)力學(xué)提供了實(shí)驗(yàn)平臺(tái)和可行的理論方法，使得孤立量子多體系統(tǒng)非平衡動(dòng)力學(xué)的研究重新受到人們的廣泛關(guān)注。在孤立量子多體系統(tǒng)非平衡動(dòng)力學(xué)的研究中，一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題就是孤立量子系統(tǒng)的熱化問(wèn)題。孤立量子系統(tǒng)的熱化是指孤立量子系統(tǒng)從非平衡態(tài)出發(fā)，長(zhǎng)時(shí)間演化之后可觀測(cè)量可以達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值，并且可以用傳統(tǒng)

2、的統(tǒng)計(jì)系綜來(lái)描述。研究孤立量子系統(tǒng)的熱化問(wèn)題不僅有助于量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)理論體系的完善，而且對(duì)數(shù)學(xué)物理，量子混沌，量子傳輸，多體局域化，可積和不可積動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域也具有重要的理論意義，同時(shí)可以為量子信息科學(xué)，如量子計(jì)算機(jī)和量子通信等領(lǐng)域，提供必要的理論依據(jù)。
　　另一方面，宇稱-時(shí)間反演（PT）對(duì)稱的非厄米系統(tǒng)的自發(fā)PT對(duì)稱破缺轉(zhuǎn)變是當(dāng)前凝聚態(tài)物理、光學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)熱門研究課題。上世紀(jì)90年代，Bender和Boettcher發(fā)現(xiàn)PT對(duì)稱的

3、非厄米哈密頓系統(tǒng)依然可能具有全是實(shí)數(shù)的本征能譜。這個(gè)發(fā)現(xiàn)使得PT對(duì)稱的非厄米哈密頓系統(tǒng)受到了人們的廣泛關(guān)注。PT對(duì)稱的非厄米哈密頓系統(tǒng)的一個(gè)重要特點(diǎn)就是存在一個(gè)從PT對(duì)稱相到自發(fā)PT對(duì)稱破缺相的轉(zhuǎn)變，稱為自發(fā)PT對(duì)稱破缺轉(zhuǎn)變。系統(tǒng)在PT對(duì)稱相時(shí)，所有本征能量都為實(shí)數(shù)，哈密頓量的所有本征函數(shù)都是PT算符的本征函數(shù)，即具有PT對(duì)稱性;而在自發(fā)PT對(duì)稱破缺相時(shí)，系統(tǒng)本征能譜包含部分復(fù)數(shù)能級(jí)或者全為復(fù)數(shù)能級(jí)，復(fù)數(shù)能級(jí)對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)將不具有PT對(duì)

4、稱性。目前，PT對(duì)稱的非厄米量子系統(tǒng)在光學(xué)系統(tǒng)，開(kāi)放量子系統(tǒng)，Anderson模型，緊束縛鏈模型，自旋鏈模型和拓?fù)淠Ｐ椭卸加写罅康难芯?，此外，人們已?jīng)可以在實(shí)驗(yàn)上操控和研究PT對(duì)稱的非厄米哈密頓系統(tǒng)，并且已經(jīng)在耦合光波導(dǎo)系統(tǒng)中觀測(cè)到了自發(fā)PT對(duì)稱破缺轉(zhuǎn)變現(xiàn)象。研究PT對(duì)稱的非厄米量子系統(tǒng)對(duì)量子力學(xué)理論的拓展和補(bǔ)充具有重要的意義;同時(shí)非厄米量子理論的發(fā)展和實(shí)驗(yàn)仿真的實(shí)現(xiàn)使得在未來(lái)構(gòu)建新型光學(xué)器件和量子器件成為了可能。
　　本文主要研

5、究了若干孤立非均勻量子可積多體系統(tǒng)的非平衡動(dòng)力學(xué)和熱化問(wèn)題，同時(shí)還研究了一維PT對(duì)稱的非厄米系統(tǒng)的自發(fā)PT對(duì)稱破缺轉(zhuǎn)變問(wèn)題，具體情況如下。
　　1、孤立量子多體系統(tǒng)的非平衡動(dòng)力學(xué)和熱化問(wèn)題的研究
　　目前，人們已經(jīng)對(duì)孤立均勻的量子多體系統(tǒng)的非平衡動(dòng)力學(xué)和熱化問(wèn)題做了大量的研究，發(fā)現(xiàn)不可積系統(tǒng)和可積系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間演化后可觀測(cè)量的行為是不同的:對(duì)于不可積系統(tǒng)，弛豫后可觀測(cè)量可以用傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)系綜來(lái)描述，即可以熱化;而可積系統(tǒng)弛豫后可觀

6、測(cè)量不能用傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)系綜來(lái)描述，但可以用廣義吉布斯系綜(GGE)來(lái)描述，人們將這種現(xiàn)象稱為廣義熱化。另外，孤立非均勻量子多體系統(tǒng)的非平衡動(dòng)力學(xué)和熱化問(wèn)題也受到了人們的廣泛關(guān)注，大量研究表明，對(duì)于非均勻不可積系統(tǒng)，系統(tǒng)的非均勻性可能會(huì)導(dǎo)致多體局域化，當(dāng)出現(xiàn)多體局域化時(shí)，系統(tǒng)將不能發(fā)生熱化;另一方面，對(duì)于非均勻可積系統(tǒng)，人們也做了一些研究，但仍然存在一些問(wèn)題，如最近關(guān)于硬核玻色子在Aubry-André模型中的非平衡動(dòng)力學(xué)的研究表明:GGE

7、的有效性與單粒子本征態(tài)的性質(zhì)有關(guān);當(dāng)系統(tǒng)處于單粒子本征態(tài)為擴(kuò)展態(tài)的區(qū)域時(shí)，GGE可以用來(lái)描述可觀測(cè)量弛豫后的值;當(dāng)系統(tǒng)處于單粒子本征態(tài)為局域態(tài)的區(qū)域時(shí)，GGE對(duì)非局域的可觀測(cè)量將不再適用。那么，當(dāng)系統(tǒng)單粒子本征態(tài)為處于擴(kuò)展態(tài)與局域態(tài)之間的臨界態(tài)時(shí)，GGE的有效性將如何呢？當(dāng)單粒子本征態(tài)中同時(shí)存在擴(kuò)展態(tài)和局域態(tài)時(shí)，GGE還能用來(lái)描述可觀測(cè)量弛豫后的值嗎？基于這些問(wèn)題，我們將對(duì)若干孤立非均勻量子可積多體系統(tǒng)的非平衡動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究，本文主要討

8、論了二元準(zhǔn)周期勢(shì)場(chǎng)、具有單粒子遷移率邊的準(zhǔn)周期勢(shì)場(chǎng)和恒力場(chǎng)中半占據(jù)的硬核玻色子的淬火動(dòng)力學(xué)和熱化問(wèn)題。
　　首先，我們討論了一維Fibonacci晶格和廣義Fibonacci晶格中半占據(jù)的硬核玻色子的淬火動(dòng)力學(xué)。Fibonacci晶格是準(zhǔn)周期系統(tǒng)研究中的一個(gè)典型模型，它的單粒子本征態(tài)是介于局域態(tài)和擴(kuò)展態(tài)之間的臨界態(tài)。廣義Fibonacci晶格是另一類被廣泛研究的準(zhǔn)周期系統(tǒng)，根據(jù)晶格是否具有PV性質(zhì)，廣義Fibonacci晶格可以分

9、為兩類，第一類具有PV性質(zhì)，它的單粒子本征態(tài)性質(zhì)與Fibonacci晶格的類似;而第二類不具有PV性質(zhì)，單粒子本征態(tài)中不僅有臨界態(tài)，還有局域態(tài)和擴(kuò)展態(tài)。在初始時(shí)刻，系統(tǒng)處在均勻晶格的基態(tài)上，然后我們通過(guò)淬火給晶格加上二元準(zhǔn)周期勢(shì)場(chǎng)，研究系統(tǒng)淬火之后的動(dòng)力學(xué)演化情況。研究發(fā)現(xiàn)，在Fibonacci晶格中，可觀測(cè)量能夠弛豫到一個(gè)穩(wěn)定值，弛豫后，局域的可觀測(cè)量，如格點(diǎn)密度，可以用GGE來(lái)描述，而非局域的可觀測(cè)量，如動(dòng)量分布函數(shù)和自然軌道占據(jù)數(shù)

10、，則不能用GGE來(lái)描述，另外，由于系統(tǒng)是可積的，所有的可觀測(cè)量都不能用巨正則系綜來(lái)描述，這些結(jié)果與硬核玻色子在Aubry-André模型的局域區(qū)域（單粒子本征態(tài)為局域態(tài)的區(qū)域）時(shí)的情形類似。在廣義Fibonacci晶格中，硬核玻色子的淬火動(dòng)力學(xué)行為和弛豫后可觀測(cè)量的統(tǒng)計(jì)系綜描述情況與在Fibonacci晶格中的類似。
　　然后，我們討論了三種具有單粒子遷移率邊的準(zhǔn)周期勢(shì)場(chǎng)中半占據(jù)的硬核玻色子的淬火動(dòng)力學(xué)。對(duì)于第一種勢(shì)場(chǎng)，存在一個(gè)E

11、c，當(dāng)單粒子本征能量|E|＜Ec時(shí)，對(duì)應(yīng)的單粒子本征態(tài)是擴(kuò)展態(tài)，其他的單粒子本征態(tài)為局域態(tài);對(duì)于第二種勢(shì)場(chǎng)，當(dāng)勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度較弱時(shí)，存在一個(gè)Ec，當(dāng)單粒子本征能量E＜Ec時(shí)，單粒子本征態(tài)為局域態(tài)，當(dāng)E＞Ec時(shí)，對(duì)應(yīng)的單粒子本征態(tài)為擴(kuò)展態(tài);對(duì)于第三種勢(shì)場(chǎng)，當(dāng)勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度較弱時(shí)，存在一個(gè)Ec，當(dāng)單粒子本征能量|E|＞Ec時(shí)，對(duì)應(yīng)的單粒子本征態(tài)是擴(kuò)展態(tài)，其他的單粒子本征態(tài)為局域態(tài)，與第一種勢(shì)場(chǎng)的情形相反。研究發(fā)現(xiàn)，在第一種勢(shì)場(chǎng)中，硬核玻色子的淬火動(dòng)力學(xué)

12、行為和弛豫后可觀測(cè)量的統(tǒng)計(jì)系綜描述情況與硬核玻色子在Aubry-André模型的擴(kuò)展區(qū)域（單粒子本征態(tài)為擴(kuò)展態(tài)的區(qū)域）時(shí)的情形類似，可觀測(cè)量能夠弛豫到一個(gè)穩(wěn)定值并且可以用GGE來(lái)描述，而在第二種和第三種勢(shì)場(chǎng)中，硬核玻色子的淬火動(dòng)力學(xué)行為和弛豫后可觀測(cè)量的統(tǒng)計(jì)系綜描述情況與硬核玻色子在Aubry-André模型的局域區(qū)域時(shí)的情形類似，局域的可觀測(cè)量可以用GGE來(lái)描述，而非局域的可觀測(cè)量不能用GGE來(lái)描述。
　　其次，我們討論了受到恒

13、定驅(qū)動(dòng)力場(chǎng)的晶格中半占據(jù)的硬核玻色子的淬火動(dòng)力學(xué)。在初始時(shí)刻，我們給均勻晶格突然加上恒定的驅(qū)動(dòng)力場(chǎng);在均勻晶格中，系統(tǒng)的單粒子本征態(tài)是擴(kuò)展態(tài)，加上恒定驅(qū)動(dòng)力場(chǎng)后，系統(tǒng)的單粒子本征態(tài)變成局域態(tài)。我們數(shù)值計(jì)算了硬核玻色子的格點(diǎn)密度，動(dòng)量分布函數(shù)和自然軌道占據(jù)數(shù)隨時(shí)間演化的情況，發(fā)現(xiàn)格點(diǎn)密度的長(zhǎng)時(shí)間平均值與GGE預(yù)測(cè)的值一致，而動(dòng)量分布函數(shù)和自然軌道占據(jù)數(shù)的長(zhǎng)時(shí)間平均值與GGE平均值不一致，并且動(dòng)量分布函數(shù)長(zhǎng)時(shí)間演化之后不能達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定分布，

14、這與硬核玻色子在其他晶格中的情形不同。
　　2、PT對(duì)稱的非厄米系統(tǒng)的自發(fā)PT對(duì)稱破缺轉(zhuǎn)變的研究
　　最近，人們?cè)谘芯恳粋€(gè)PT對(duì)稱的非厄米拓?fù)淠Ｐ?SSH模型)的自發(fā)PT對(duì)稱破缺轉(zhuǎn)變中發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)在非拓?fù)湎鄷r(shí)存在自發(fā)PT對(duì)稱破缺轉(zhuǎn)變，而在拓?fù)湎?，系統(tǒng)不存在這樣的轉(zhuǎn)變，只有一個(gè)自發(fā)PT對(duì)稱破缺相，因此，一個(gè)很自然的問(wèn)題就是:在PT對(duì)稱的非厄米拓?fù)淠Ｐ椭?，自發(fā)PT對(duì)稱破缺轉(zhuǎn)變跟拓?fù)湫再|(zhì)是否有普遍的聯(lián)系？為了解答這個(gè)問(wèn)題，我們研究了

15、另外兩個(gè)PT對(duì)稱的非厄米拓?fù)淠Ｐ驮诓煌鄡?nèi)的自發(fā)PT對(duì)稱破缺轉(zhuǎn)變情況。其中一個(gè)模型是PT對(duì)稱的非厄米Kitaev模型，研究發(fā)現(xiàn)，在非拓?fù)湎嘀?，系統(tǒng)存在自發(fā)PT對(duì)稱破缺轉(zhuǎn)變，這與PT對(duì)稱的非厄米SSH模型的情況類似，然而，與非厄米SSH模型不同的是，非厄米Kitaev模型在拓?fù)湎嘁泊嬖谧园l(fā)PT對(duì)稱破缺轉(zhuǎn)變。另一個(gè)我們討論的模型是PT對(duì)稱的非厄米拓展Kitaev模型;拓展Kitaev模型由Kitaev模型和SSH模型組成，它有兩個(gè)拓?fù)湎嗪鸵?/p>