幾類(lèi)奇異攝動(dòng)方程的有限元分析.pdf

1、本文主要研究了幾類(lèi)穩(wěn)態(tài)奇異攝動(dòng)方程的有限元數(shù)值逼近。針對(duì)不同的奇異攝動(dòng)方程，采用多種單元使用不同方法進(jìn)行誤差分析和數(shù)值驗(yàn)證，已經(jīng)得到一些不依賴(lài)攝動(dòng)參數(shù)的一致收斂性結(jié)果。 奇異攝動(dòng)問(wèn)題是一類(lèi)廣泛存在于物理工程，流體力學(xué)，化學(xué)力學(xué)等研究領(lǐng)域的重要問(wèn)題。其特點(diǎn)就是由于受到奇異攝動(dòng)參數(shù)的影響，真解往往會(huì)在求解區(qū)域的某個(gè)子區(qū)域內(nèi)變化劇烈，通常稱(chēng)之為具有層效應(yīng)。由于此類(lèi)問(wèn)題的重要性和其真解的不確定性，采用數(shù)值方法求解引起了越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注

2、。 奇異攝動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值逼近，如果采用通常的有限元方法，在真解劇烈變化的區(qū)域會(huì)出現(xiàn)數(shù)值振蕩，得不到滿(mǎn)意的收斂效果。同時(shí)由于正則性條件的限制，必須要求剖分的足夠加密，必然極大地增加計(jì)算工作量．為了克服此困難，采用各向異性網(wǎng)格是一種很好的選擇．目前常用的一類(lèi)方法就是改進(jìn)傳統(tǒng)的網(wǎng)格剖分，使用特殊構(gòu)造的層自適應(yīng)網(wǎng)格，這里面包括著名的Bakhvalov型和Shishkin型網(wǎng)格，以及新近出現(xiàn)的分層網(wǎng)格．這些網(wǎng)格上的有限元逼近都是需要滿(mǎn)足各向

3、異性性質(zhì)的有限單元。另外常用的方法之一是采用穩(wěn)定化方法，人工添加黏性項(xiàng)，對(duì)檢驗(yàn)函數(shù)做某種修正來(lái)改善使用標(biāo)準(zhǔn)Galerkin方法出現(xiàn)的數(shù)值振蕩；它屬于Petrov-Galerkin方法的范疇，其中最著名的就是流線擴(kuò)散有限元方法(簡(jiǎn)記SDFEM)和余項(xiàng)自由泡方法(簡(jiǎn)記RFB)等等。 理論分析的目標(biāo)就是得到能量模意義下不依賴(lài)于攝動(dòng)參數(shù)的一致收斂性分析結(jié)果，本文的研究對(duì)象是穩(wěn)態(tài)奇異攝動(dòng)方程，包括反應(yīng)占優(yōu)的反應(yīng)擴(kuò)散型奇異攝動(dòng)方程和半奇異攝

4、動(dòng)方程，對(duì)流占優(yōu)的對(duì)流擴(kuò)散型奇異攝動(dòng)方程，四階橢圓奇異攝動(dòng)方程等等。作者分別從先驗(yàn)網(wǎng)格，各向異性單元(包括協(xié)調(diào)元和非協(xié)調(diào)元)，穩(wěn)定化方法，高次單元等多個(gè)方面進(jìn)行研究。 首先作者給出本文主題的一個(gè)一般介紹和一些基礎(chǔ)知識(shí)．第二章在一類(lèi)特定的分層網(wǎng)格上，考慮雙線性單元同時(shí)逼近反應(yīng)占優(yōu)的反應(yīng)擴(kuò)散型奇異攝動(dòng)方程和半奇異攝動(dòng)方程．利用分層網(wǎng)格的性質(zhì)，通過(guò)逐個(gè)單元分析，得到了相應(yīng)加權(quán)模意義下的全局一致收斂性逼近結(jié)果．然后構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)牟逯岛筇?/p>

5、理算子進(jìn)一步得到超收斂的結(jié)果，大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了理論結(jié)果．第三章考慮一個(gè)五節(jié)點(diǎn)低階非協(xié)調(diào)單元，同時(shí)逼近反應(yīng)占優(yōu)的反應(yīng)擴(kuò)散型奇異攝動(dòng)方程和半奇異攝動(dòng)方程，利用分層網(wǎng)格的性質(zhì)，通過(guò)逐個(gè)單元分析，得到了上述類(lèi)似的全部結(jié)果．第四章考慮了雙二次單元對(duì)對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題的逼近，克服了已有的困難得到了高階的一致收斂性結(jié)果．第五章利用流線擴(kuò)散有限元方法，將一個(gè)新近出現(xiàn)的雙參數(shù)單元應(yīng)用于對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題，得到了理想的收斂性結(jié)果．第六章考慮數(shù)值求解帶有簡(jiǎn)支邊界條