自適應(yīng)小波方法與Stokes問(wèn)題.pdf

1、有限元方法是微分方程數(shù)值解的一種經(jīng)典方法，自適應(yīng)有限元方法專(zhuān)門(mén)針對(duì)具有奇點(diǎn)解的方程．和經(jīng)典有限元不同，它是一種非線性逼近，因而在數(shù)值計(jì)算上取得了巨大的進(jìn)步．遺憾的是，自適應(yīng)技巧的優(yōu)點(diǎn)很少有量化的結(jié)果．近年來(lái)，隨著小波分析的發(fā)展，自適應(yīng)小波方法被廣泛地用來(lái)討論算子方程的數(shù)值解． Stokes問(wèn)題是Navier-Stokes方程的特殊情形，它可描述粘性不可壓縮流體的流動(dòng)．本文主要研究Stokes問(wèn)題的自適應(yīng)小波解，是Cohen，Dohmen

2、和DeVore等人工作的繼續(xù)．全文是按如下方式組織的： 第一章是引言及預(yù)備知識(shí)：主要給出研究背景、研究現(xiàn)狀并引入必要的符號(hào)和概念.在第二章，我們首先針對(duì)Stokes問(wèn)題的混合弱形式尋找盡可能簡(jiǎn)單的 Richardson迭代方法；然后給出散度算子之對(duì)偶的精確應(yīng)用并設(shè)計(jì)迭代算法；最后是算法的誤差估計(jì)和計(jì)算復(fù)雜度分析． 盡管混合弱形式的自適應(yīng)算法同時(shí)得到速度和壓力的自適應(yīng)逼近解，但相應(yīng)算子的非正定性導(dǎo)致許多額外計(jì)算．另一方面，

3、為了分析流體的流動(dòng)，人們更關(guān)心Stokes問(wèn)題的速度場(chǎng)．鑒于速度場(chǎng)的散度自由特點(diǎn)，利用散度自由小波更加自然.第三章的第一部分討論區(qū)域上的散度自由小波在Stokes問(wèn)題中的應(yīng)用．第二部分給出[0，1]<'2>上Hardin和Marasovich(HM)散度自由多小波的幾個(gè)注記：我們證明了具有切向邊值的散度自由向量場(chǎng)的投影仍然是散度自由的；利用流函數(shù)的概念給出HM散度自由尺度函數(shù)；給出HM散度自由小波系數(shù)的一個(gè)快速算法；最后說(shuō)明由譜方法得到

4、的散度自由向量場(chǎng)的初始逼近可以通過(guò)簡(jiǎn)單而精確的計(jì)算得到。 注意到在前面兩章中，自適應(yīng)小波方法的本質(zhì)是處理橢圓算子方程．本文第四章在?<'r>的框架內(nèi)重新分析橢圓算子方程自適應(yīng)小波Galerkin方法的逼近誤差，改進(jìn)了Cohen，Dahmen和DeVore的結(jié)果。 由于描述特定電磁場(chǎng)現(xiàn)象的Maxwell方程中涉及到旋度算子以及散度自由向量場(chǎng)和旋度自由向量場(chǎng)構(gòu)成了L<'2>(H<'n>)<'n>的一個(gè)，Hodge分解，并且這