自適應小波方法與Stokes問題.pdf

1、有限元方法是微分方程數(shù)值解的一種經典方法，自適應有限元方法專門針對具有奇點解的方程．和經典有限元不同，它是一種非線性逼近，因而在數(shù)值計算上取得了巨大的進步．遺憾的是，自適應技巧的優(yōu)點很少有量化的結果．近年來，隨著小波分析的發(fā)展，自適應小波方法被廣泛地用來討論算子方程的數(shù)值解． Stokes問題是Navier-Stokes方程的特殊情形，它可描述粘性不可壓縮流體的流動．本文主要研究Stokes問題的自適應小波解，是Cohen，Dohmen

2、和DeVore等人工作的繼續(xù)．全文是按如下方式組織的： 第一章是引言及預備知識：主要給出研究背景、研究現(xiàn)狀并引入必要的符號和概念.在第二章，我們首先針對Stokes問題的混合弱形式尋找盡可能簡單的 Richardson迭代方法；然后給出散度算子之對偶的精確應用并設計迭代算法；最后是算法的誤差估計和計算復雜度分析． 盡管混合弱形式的自適應算法同時得到速度和壓力的自適應逼近解，但相應算子的非正定性導致許多額外計算．另一方面，

3、為了分析流體的流動，人們更關心Stokes問題的速度場．鑒于速度場的散度自由特點，利用散度自由小波更加自然.第三章的第一部分討論區(qū)域上的散度自由小波在Stokes問題中的應用．第二部分給出[0，1]<'2>上Hardin和Marasovich(HM)散度自由多小波的幾個注記：我們證明了具有切向邊值的散度自由向量場的投影仍然是散度自由的；利用流函數(shù)的概念給出HM散度自由尺度函數(shù)；給出HM散度自由小波系數(shù)的一個快速算法；最后說明由譜方法得到

4、的散度自由向量場的初始逼近可以通過簡單而精確的計算得到。 注意到在前面兩章中，自適應小波方法的本質是處理橢圓算子方程．本文第四章在?<'r>的框架內重新分析橢圓算子方程自適應小波Galerkin方法的逼近誤差，改進了Cohen，Dahmen和DeVore的結果。 由于描述特定電磁場現(xiàn)象的Maxwell方程中涉及到旋度算子以及散度自由向量場和旋度自由向量場構成了L<'2>(H<'n>)<'n>的一個，Hodge分解，并且這