量子糾纏與可分性.pdf

1、量子糾纏態(tài)在量子信息處理及量子計算中起著關鍵作用，但是它的數(shù)學結(jié)構和性質(zhì)還沒有完全研究清楚。本文從可分(非糾纏)性的判別及局域幺正變換下的不變量的等價類的角度來研究量子糾纏的性質(zhì)。純態(tài)的可分(非糾纏)性的判別問題已經(jīng)解決，而對混合態(tài)來說，無論是從理論上，還是從實驗方面都還沒有令人滿意的結(jié)果。到目前為止，有很多混合態(tài)的可分性的必要條件，如著名的PPT判據(jù)等，但可分性的充分條件很少。本文給出多體空間上幾類量子混合PPT態(tài)可分的充分條件，主要

2、包括： 1.解決了2×3×N系統(tǒng)上一類PPT態(tài)可分性的判別問題。我們證明了支撐在2×3×N上的秩小于等于N的PPT態(tài)一定都是可分態(tài)，并且具有一個標準型。和2×2×N的證明比較，我們的證明要困難得多。在經(jīng)過局部投影得到一些元素后，我們改進并簡化了原來關于左上角未知元素的求法。利用一個初等變換和密度矩陣的秩的性質(zhì)，迫使△=0，從而可以繼續(xù)求出其它未知元素，進而得到標準型。主要結(jié)論分兩個步驟進行證明：當N≥6時，利用兩個引理及兩體系統(tǒng)的

3、結(jié)果可以得到；當N＜6時，要對N及秩逐個分別進行討論?？傮w思想是根據(jù)秩的不同進行約化，最后歸結(jié)為最簡單的2×2及2×3系統(tǒng)的情形，利用P-H判據(jù)，得到最后的結(jié)論。 2.討論了一般高維多體量子系統(tǒng)上一類PPT態(tài)可分的判別問題。經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，2×3×N上的結(jié)果對更高維的量子系統(tǒng)，如2×4×N及3×3×N等，結(jié)論不成立。原因就是PPT只有在2×2及2×3系統(tǒng)上才是可分的充分必要條件。但在一般的復合量子系統(tǒng)K1×K2×…×Km×N1中適

4、當選取局部基，每個秩為N的PPT態(tài)仍具有一個標準型。利用這個標準型，我們給出一個PPT態(tài)可分的充分條件。 3.建立了一個多體全同玻色子量子系統(tǒng)PPT態(tài)可分的充分條件。本文指出了多體玻色子系統(tǒng)的維數(shù)和可分性之間的關系。特別對單粒子空間維數(shù)為三的三體玻色子系統(tǒng)，除了極大秩的情況，PPT態(tài)和可分態(tài)是等價的。利用我們的結(jié)果可知束縛糾纏態(tài)的秩限制在很小的范圍內(nèi)，如單粒子空間維數(shù)為四的三體玻色子系統(tǒng)，束縛糾纏態(tài)的秩在17與20之間；又如單粒

5、子空間維數(shù)為三的四體玻色子系統(tǒng)，束縛糾纏態(tài)的秩在10與15之間。 兩體純態(tài)在局部幺正變換之下的等價性問題早在1906年就已經(jīng)解決。但對一般的兩體混合態(tài)這個問題到目前還沒有解決。在我們研究兩體混合態(tài)在局部幺正變換之下的等價性問題的基礎之上，本文研究了三體態(tài)及一般多體純態(tài)在局部幺正變換之下的等價性問題，主要成果有：(1)對三體純態(tài)，構造了一類量子態(tài)Di態(tài)，利用兩體量子態(tài)的已知結(jié)果，給出了這類量子態(tài)的不變量的完全組。首先我們建立了局部

6、幺正可分解的定義，并利用重排矩陣的性質(zhì)給出了局部幺正可分解的等價條件。由此定義了一類量子態(tài)并給出這類量子態(tài)的不變量的完全組。即兩個這一類的密度矩陣，它們在局部幺正變換之下等價的充分必要條件是它們對這些不變量取相同的值。同時，我們觀察到兩個三體純態(tài)的約化密度矩陣(兩體混合態(tài))如果局部幺正等價，則這兩個三體純態(tài)作為三體態(tài)也局部幺正等價。由此，我們得到兩個三體純態(tài)在局部幺正變換之下等價的充分必要條件是它們在某一系統(tǒng)上的約化密度矩陣(在同一個子