量子糾纏與可分性.pdf

1、量子糾纏態(tài)在量子信息處理及量子計(jì)算中起著關(guān)鍵作用，但是它的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和性質(zhì)還沒(méi)有完全研究清楚。本文從可分(非糾纏)性的判別及局域幺正變換下的不變量的等價(jià)類(lèi)的角度來(lái)研究量子糾纏的性質(zhì)。純態(tài)的可分(非糾纏)性的判別問(wèn)題已經(jīng)解決，而對(duì)混合態(tài)來(lái)說(shuō)，無(wú)論是從理論上，還是從實(shí)驗(yàn)方面都還沒(méi)有令人滿(mǎn)意的結(jié)果。到目前為止，有很多混合態(tài)的可分性的必要條件，如著名的PPT判據(jù)等，但可分性的充分條件很少。本文給出多體空間上幾類(lèi)量子混合PPT態(tài)可分的充分條件，主要

2、包括： 1.解決了2×3×N系統(tǒng)上一類(lèi)PPT態(tài)可分性的判別問(wèn)題。我們證明了支撐在2×3×N上的秩小于等于N的PPT態(tài)一定都是可分態(tài)，并且具有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型。和2×2×N的證明比較，我們的證明要困難得多。在經(jīng)過(guò)局部投影得到一些元素后，我們改進(jìn)并簡(jiǎn)化了原來(lái)關(guān)于左上角未知元素的求法。利用一個(gè)初等變換和密度矩陣的秩的性質(zhì)，迫使△=0，從而可以繼續(xù)求出其它未知元素，進(jìn)而得到標(biāo)準(zhǔn)型。主要結(jié)論分兩個(gè)步驟進(jìn)行證明：當(dāng)N≥6時(shí)，利用兩個(gè)引理及兩體系統(tǒng)的

3、結(jié)果可以得到；當(dāng)N＜6時(shí)，要對(duì)N及秩逐個(gè)分別進(jìn)行討論?？傮w思想是根據(jù)秩的不同進(jìn)行約化，最后歸結(jié)為最簡(jiǎn)單的2×2及2×3系統(tǒng)的情形，利用P-H判據(jù)，得到最后的結(jié)論。 2.討論了一般高維多體量子系統(tǒng)上一類(lèi)PPT態(tài)可分的判別問(wèn)題。經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，2×3×N上的結(jié)果對(duì)更高維的量子系統(tǒng)，如2×4×N及3×3×N等，結(jié)論不成立。原因就是PPT只有在2×2及2×3系統(tǒng)上才是可分的充分必要條件。但在一般的復(fù)合量子系統(tǒng)K1×K2×…×Km×N1中適

4、當(dāng)選取局部基，每個(gè)秩為N的PPT態(tài)仍具有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型。利用這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型，我們給出一個(gè)PPT態(tài)可分的充分條件。 3.建立了一個(gè)多體全同玻色子量子系統(tǒng)PPT態(tài)可分的充分條件。本文指出了多體玻色子系統(tǒng)的維數(shù)和可分性之間的關(guān)系。特別對(duì)單粒子空間維數(shù)為三的三體玻色子系統(tǒng)，除了極大秩的情況，PPT態(tài)和可分態(tài)是等價(jià)的。利用我們的結(jié)果可知束縛糾纏態(tài)的秩限制在很小的范圍內(nèi)，如單粒子空間維數(shù)為四的三體玻色子系統(tǒng)，束縛糾纏態(tài)的秩在17與20之間；又如單粒

5、子空間維數(shù)為三的四體玻色子系統(tǒng)，束縛糾纏態(tài)的秩在10與15之間。 兩體純態(tài)在局部幺正變換之下的等價(jià)性問(wèn)題早在1906年就已經(jīng)解決。但對(duì)一般的兩體混合態(tài)這個(gè)問(wèn)題到目前還沒(méi)有解決。在我們研究?jī)审w混合態(tài)在局部幺正變換之下的等價(jià)性問(wèn)題的基礎(chǔ)之上，本文研究了三體態(tài)及一般多體純態(tài)在局部幺正變換之下的等價(jià)性問(wèn)題，主要成果有：(1)對(duì)三體純態(tài)，構(gòu)造了一類(lèi)量子態(tài)Di態(tài)，利用兩體量子態(tài)的已知結(jié)果，給出了這類(lèi)量子態(tài)的不變量的完全組。首先我們建立了局部

6、幺正可分解的定義，并利用重排矩陣的性質(zhì)給出了局部幺正可分解的等價(jià)條件。由此定義了一類(lèi)量子態(tài)并給出這類(lèi)量子態(tài)的不變量的完全組。即兩個(gè)這一類(lèi)的密度矩陣，它們?cè)诰植跨壅儞Q之下等價(jià)的充分必要條件是它們對(duì)這些不變量取相同的值。同時(shí)，我們觀察到兩個(gè)三體純態(tài)的約化密度矩陣(兩體混合態(tài))如果局部幺正等價(jià)，則這兩個(gè)三體純態(tài)作為三體態(tài)也局部幺正等價(jià)。由此，我們得到兩個(gè)三體純態(tài)在局部幺正變換之下等價(jià)的充分必要條件是它們?cè)谀骋幌到y(tǒng)上的約化密度矩陣(在同一個(gè)子