求解障礙問題的幾類數(shù)值方法.pdf

1、上世紀(jì)六十年代，在變分原理基礎(chǔ)上發(fā)展起來的變分不等式(variational inequality,Ⅵ)理論是偏微分方程的一個重要分支，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)中一個十分重要的研究領(lǐng)域。在工程應(yīng)用中存在著一類非線性問題，如經(jīng)典線性彈性力學(xué)中各向同性的薄膜在存在障礙情況下，受到外在荷載時的形變問題，可以用關(guān)橢圓型變分不等式來描述。此外諸如彈性接觸、彈塑性桿自由扭轉(zhuǎn)、流體潤滑、多孔介質(zhì)定常流滲流等問題也具有相同的數(shù)學(xué)模型[79]，人們通常稱這類問題為障

2、礙問題。在這類問題中，控制方程是由線性橢圓算子所決定，但解被限制在Hilbert空間的凸子集而非子空間上，這就使得其相應(yīng)的變分原理表現(xiàn)為一種非線性的變分不等式。本文研究這樣一類橢圓型變分不等式的數(shù)值方法。我們共提出了三種數(shù)值方法：無網(wǎng)格方法，修正的水平集方法及基于分片線性系統(tǒng)的迭代方法。其中無網(wǎng)格方法是應(yīng)用到一類單側(cè)障礙問題，而后兩種方法是用于求解雙側(cè)障礙問題。
　　 本文共包含四章內(nèi)容。在緒論部分，我們簡單介紹了障礙問題的背景

3、及相關(guān)結(jié)論。
　　 在第二部分，我們討論了障礙問題的無網(wǎng)格數(shù)值方法。在障礙問題中，由于接觸區(qū)域和非接觸區(qū)域之間的界面的位置和形狀事先未知，是自由邊界問題[79]。在運用無網(wǎng)格方法中的基本解法(method of fundamental solution，MFS)[5]求解單側(cè)障礙問題時，我們給定邊界的初始猜測Γ0，即反映邊界的參數(shù){Rκ}后，利用MFS思想得到未知位移函數(shù)u(x，y)的基于基本解的逼近形式，根據(jù)邊界條件確定其中的

4、組合系數(shù)，進而建立能量泛函E(u)關(guān)于自由邊界參數(shù){Rκ}的表達式。根據(jù)障礙問題的物理意義，求解能量泛函的極值點Rκ，即真實的自由邊界。整個過程通過Uzwa迭代過程完成。在迭代過程中，我們利用了Tikhonov正則化方法[35]求解關(guān)于組合系數(shù){lκ}的病態(tài)的線性方程組；在將能量泛函的約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化后，我們利用最速下降方數(shù)值求解，其中迭代步長ακ，我們利用Armijo[102]非精確搜索確定之。在求解障礙問題時，涉及到如何

5、對多連通區(qū)域配置源點和配置點使得數(shù)值解的誤差有較高的收斂階問題，這個問題無法從理論上給出合理的指導(dǎo)，在本文中，我們采用了常用的方法設(shè)置內(nèi)外虛擬邊界后等角度配置源點和配置點[66]。數(shù)值例子驗證了MFS高精度及高的計算效率。上述內(nèi)容為文章的第二部分。
　　 在文章的第三部分，我們利用一種修正的水平集方法求解雙側(cè)障礙問題。水平集方法[76]將界面保持為隱函數(shù)在零水平截面上的點集，這種隱函數(shù)表達的好處在于可以將界面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化表示為

6、一個連續(xù)變化曲面（線）與一個高度為零的平面（直線）的交集。這樣處理的最大好處是即使隱含在水平集函數(shù)中的封閉曲線發(fā)生了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化（合并或分裂），水平集函數(shù)仍然保持為一個有效的函數(shù)，并且存在穩(wěn)定的解。對不斷發(fā)生拓?fù)淦娈惖淖杂蛇吔缱粉檰栴}，傳統(tǒng)的水平集方法就是在初始條件ψ(x，0)=ψ0(x)下求解的Hamilton-Jacobi方程ψt+F|▽ψ|=0。一般而言，我們要求水平集函數(shù)必須具備一定的光滑性，而在水平集函數(shù)的演化過程中水平集會發(fā)

7、生振蕩而失去光滑性，從而導(dǎo)致計算結(jié)果產(chǎn)生較大偏差，因此演化化過程中需要不斷地重新初始化。此外，速度F一般而言只在零水平集上有定義，而在其他水平集上可能沒有定義，因此，需要將其延拓到整個區(qū)域中。K. Majava和X．C.Tai在文獻[62]中提出一種修正的水平集方法求解單側(cè)障礙問題。在這種修正的水平集方法中，水平集函數(shù)不僅可以表示自由界面，而且可以用來表示表達薄膜位移函數(shù)，即變分不等式的解。在求解過程中不需要重新初始化及作速度延拓。我們

8、將這種修正的水平集方法推廣到雙側(cè)障礙問題，即引入和水平集函數(shù)ψ∈H(10)(Ω)相關(guān)的Heaviside階梯泛函H(ψ)并將其光滑化為H∈(ψ)，在此基礎(chǔ)上，可將雙側(cè)障礙問題的解表示為
　　 u(x，y)=Ψ(x，y)+(ψ(x，y)-φ(x，y))H（ψ-1）
　　 +ψ(x，y)(φ(x，y)-ψ(x，y))[H（ψ)-H（ψ-1）]．為了避免最速下降方法中搜索迭代步長α困難或取某個固定步長的局限，我們結(jié)合水平集方法

9、的思想，給出一種新的求解水平集函數(shù)的方法。其主要思想就是引入時間變量t∈R+={t|t≥0}，將迭代求解無約束優(yōu)化問題看作是目標(biāo)泛函隨著時間單調(diào)遞減過程。建立關(guān)于水平集函數(shù)的常微分方程的邊值問題后，我們利用常微分方程數(shù)值方法中的Runge-Kutta方法求解[103]。由于不需要計算搜索方向和搜索步長，其計算效率比[62]中的最速下降法高，給出的數(shù)值例子也驗證了這一點，同時也避免了[62]中通過試探后取固定搜索步長的不合理性。