極小模型綱領(lǐng).pdf

1、本文的目的是給予森理論——高維代數(shù)簇的分類和結(jié)構(gòu)理論一個簡短但完整的綜述介紹。代數(shù)簇的分類問題是一個古老的代數(shù)幾何核心問題，也涉及影響很多數(shù)學(xué)領(lǐng)域。曲線和曲面的分類理論早在50年代已經(jīng)由Enriques，Kodaira等人給出框架，而高維簇的分類和結(jié)構(gòu)一直讓人覺得難以描述，其原因在于各種奇點(diǎn)問題，直到森重文在80年代利用Moricone的概念給出了3維簇的分類。更高維的森理論由于small contraction的復(fù)雜性很長時間沒有突破

2、，直到2006年的有限生成定理的證明，給出了森理論在高維可行的一個進(jìn)步。特征p域的代數(shù)簇由于沒有奇點(diǎn)消解，我們暫時難以處理，本文討論的僅僅是特征0的代數(shù)簇，特別的，復(fù)代數(shù)簇的森理論的介紹。目前，高維復(fù)代數(shù)簇的研究幫助我們了解復(fù)流形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及基本群，某些特殊的奇點(diǎn)的類型等等。因此，高維代數(shù)簇的分類和結(jié)構(gòu)理論是一個非常重要的理論。
　　 森理論的目標(biāo)是對高維代數(shù)簇作出雙有理等價下的分類，它的基本思路是給定一個簇，我們希望通過一系列

3、的幾何手術(shù)得到一個等價類中的代表元，稱為極小模型。這一系列的幾何手術(shù)的核心是收縮映射(contraction)。所以我們必須首先保證收縮映射的存在性，這個定理的證明是本文的核心內(nèi)容。而另一方面，如果收縮映射造成過于奇異的奇點(diǎn)，我們通過一個叫做flip的操作來變換它。Flips的存在性和有限性仍然沒有解決，不過近年來已經(jīng)有很大的進(jìn)展。另一方面，我們需要保證極小模型的唯一性，事實(shí)上，它并不是唯一的，但是可以簡單的證明(如[Kawamata0

4、8])，某些條件下(很寬松的條件)，兩個極小模型可以被一列flops連接起來。
　　 本文通過引入一些概念來簡化原有的證明中的計(jì)算(如[KM98]和Shokurov的證明)，這也是近年來代數(shù)幾何學(xué)家研究一些奇性簇的結(jié)果的應(yīng)用。本文引入抽象K—簇的概念試圖簡化一些幾何描述，事實(shí)上，抽象K—簇上的除子的定義正是b—divisor的定義。文章的第二部分簡單的介紹了cone and contraction theorem，并且給出了完整

5、的證明。本文的證明思路大致和Fujino的想法類似，是一個偏幾何的證明。該定理保證了我們可以將一個不是極小的代數(shù)簇進(jìn)行收縮映射——將其上一些子簇收縮成維數(shù)更低的子簇。我們希望這個過程可以完好運(yùn)行直到達(dá)到極小模型。由于small contraction會制造過于奇性的奇點(diǎn)，其中的困難是，我們無法保證dlt flips的存在性和有限性。近年來最大的進(jìn)展有限生成定理保證了在一些假設(shè)下，dlt flips的存在性和有限性可以證明。本文暫不介紹這