二水平因析設計若干問題的研究.pdf

1、二水平因析設計在實踐中是一種非常常用的試驗方案，在很多科學研究項目里，我們經(jīng)常需要了解的是一些二水平因子的效應；二水平因析設計更常常用于因子篩選試驗。 二水平因析設計的結構相對比較簡單，它是因析設計的基礎理論。許多重要的開創(chuàng)性的因析設計理論都是首先在這種設計里提出來，然后再被推廣到更為復雜的情形中。這篇博士論文著力于現(xiàn)代二水平因析設計理論的幾個方面，包括基礎的混雜結構和別名性質，一些選擇最優(yōu)設計的準則及其與混雜結構的聯(lián)系，也包括

2、近來快速發(fā)展的實用性非常強的穩(wěn)健參數(shù)設計。其中關于非正規(guī)設計混雜結構的結果具有較好的理論意義。 第一章我們討論因析設計的混雜結構。這里所說的一個設計的混雜結構是指它的別名集的結構、同一別名集內的效應值之間的關系以及不同別名集的效應值之間的關系．為了便于論證、避免混淆，我們首次定義了因子效應的表示概念。我們稱效應e在設計F中的對照為這個效應的表示，記作E<,F>(e)。這個效應e的值則記為V(e)，注意V(e)的大小并不依賴于設計

3、F的選擇。 因為上世紀三十年代R．A．Fisher在英國 Rothamsted農業(yè)試驗站的開創(chuàng)性工作以及 F.Yates和 D.J.Finney的突出貢獻就是基于正規(guī)設計，經(jīng)過研究者不斷的努力，正規(guī)設計的混雜關系在理論上正在逐步清析，正規(guī)設計的別名結構也可以較好地用代數(shù)子群理論加以描述。 為了克服計算手段的不足，當年Yates提出的計算因子效應值的算法對試驗者非常方便。在此基礎上Wu and Hamada(2000)給出

4、了計算因子效應的計算公式。 其中τ(x<,i>)表示水平組合x<,i>的處理效應。這個結論可以用線性回歸嚴格證明。 盡管對于正規(guī)部分因析設計，試驗者沿用上面全設計的公式，其實在理論上這是基于一定的假設的。在Mukerjee and Wu(2006)中作者用投影幾何的方法嚴格證明了正規(guī)設計的別名集內因子效應值的關系，其中A<,i>代表一個別名集，而E<,F>(A<,i>)則是這個別名集中所有效應的共同表示。方程右端正是Wu

5、 and Hamada(2000)計算正規(guī)設計中因子效應的公式。 在Bose(1947)關于正交陣的劃時代理論之后，人們將視野從正規(guī)設計開拓到一般正交設計上來。Plackett and Burman(1946)給出一系列非正規(guī)設計如12個水平組合的正交設計。這些設計有較復雜的別名關系，Hamada and Wu(1992)稱之為部分別名關系，Kulahci and Bisgaard(2006)討論了它的限于二階因子效應的別名矩陣

6、。受制于缺少象正規(guī)設計的嚴格的因子效應值的混雜結構，Tang and Deng(1999)和 Deng and Tang(1999)雖然將正規(guī)設計的MA準則(我們稱之為最小低階混雜準則)推廣到非正規(guī)的情形，卻沒有給出嚴格的理論依據(jù)。 本篇論文在第一章對非正規(guī)設計因子效應混雜問題給出了清楚明確地解答，這個結論不止是適用非正規(guī)正交設計，同時也適合非正交的任意部分因析設計。所以它的理論價值同時也適合平衡和不平衡的超飽和設計。通過引進單

7、位子群及非正規(guī)設計的別名集的概念，其中b<,ij>是E<,F>(A<,i>)與E<,F>(A<,i>)的內積的n分之一。這個結論同時也涵蓋了前面提到的全設計因子效應的計算公式、正規(guī)設計的因子效應混雜關系。 在第一章我們還給出利用非正規(guī)設計混雜結構來估計重要的因子效應值的一種方法，從中我們可以看到非正規(guī)設計優(yōu)于正規(guī)設計的一個方面。 論文的第二章，我們從混雜結構的視角出發(fā)，審視了現(xiàn)有的針對正規(guī)因析設計和非正規(guī)因析設計的最優(yōu)準

8、則，得到一些新的結果并提出相關的新的準則。 MA 準則是由 Fries and Hunter(1980)提出，它以正規(guī)設計的定義對照子群為基礎，通過順序最小化字長型來選擇最優(yōu)設計。近二十年來MA準則成為正規(guī)設計理論的主流，許多工作都是沿著這個方向展開的。它的權威性最近受到多方面的質疑。Zhang et al．(2006)發(fā)現(xiàn) MA 準則并非真正意義下的最小低階混雜準則，并給出一個新的GMC準則(稱為一般最小低階混雜準則)，該準則

9、能夠全面利用所有別名集來考量設計低階效應的混雜程度。我們從混雜結構的觀點出發(fā)進一步分析評價了MA準則，它實際上是選擇能夠最好地估計效應值V(I)的正規(guī)設計為最優(yōu)設計，即總均值效應I受到有可能的最輕微的混雜。我們證明了MA最優(yōu)設計不能最好地去估計其它重要的效應，即其它重要的效應不能同時也被最輕微地混雜。在比較簡單的情況下MA最優(yōu)設計確實能平衡地照顧各個需要估計的效應。但復雜情況下MA設計不一定能達到這種平衡，因此我們提出了關于平衡的概念及

10、相應的平衡準則。同時我們給出最大分辯度準則、純凈效應準則、GMC準則的分析及其相互關系，給出它們和平衡準則的關系。 我們也研究了針對非正規(guī)因析設計的最小G-混雜準則和最小G<,2>-混雜準則。通過混雜關系我們發(fā)現(xiàn)，這些最優(yōu)準則的目的就是降低用 ? 來估計V(I)的風險?；诖擞^察，我們發(fā)現(xiàn)上面準則中的一些不合理的成份，并提出了一個新的準則-最小 G<,3>-混雜準則。這個新準則對于超飽和設計也有一定的意義與針對超飽和平衡設計的最

11、小E(s<'2>)準則有一定關聯(lián)。 在論文的第三部分，我們討論了關于選擇最優(yōu)二水平穩(wěn)健參數(shù)設計的問題。由于穩(wěn)健參數(shù)設計在理論上的重要性及其在工業(yè)中的應用價值，自從Taguchi(1987)提出穩(wěn)健參數(shù)設計以來就受到學者們及工業(yè)領域越來越多的關注。二水平穩(wěn)健參數(shù)設計是非常重要的二水平因析設計中的一種。假設系統(tǒng)的表現(xiàn)受到l<,1>+l<,2>個因子的影響，其中l(wèi)<,1>個是控制因子，這些因子的水平一但選定在常規(guī)運行中就不能改變；另外

12、l<,2>個是噪聲因子，這些因子的水平在常規(guī)運行中是不能控制的。穩(wěn)健參數(shù)設計的目的就是選擇好的控制因子組合，使得系統(tǒng)的表現(xiàn)不會由于噪聲因子的水平變化而產生顯著的波動。我們用2<'l<,1>+l<,2>-m>來表示一個有2<'l<,1>+l<,2>-m>個水平組合的正規(guī)設計矩陣。 文獻中很多作者在選擇用于穩(wěn)健參數(shù)實驗的最優(yōu)設計矩陣方面做了很多的貢獻和工作，如 Wu and Zhu(2003)、Bingham and Sitter(

13、1999)和Zhu(200a)。但他們主要的方法還是基于字長型及其推廣形式，而這些形式已被發(fā)現(xiàn)不能提供足夠的有關因子效應之間相互混雜的信息。通過一個例子發(fā)現(xiàn)，基于他們給出的一個最優(yōu)準則下的最優(yōu)設計并不能純凈地估計出最多的受到關注的因子效應值。我們有理由說，即使是對于穩(wěn)健參數(shù)設計試驗，效應等級原則(effect hierarchy principie)也是有效的；但試驗者對因子效應的興趣或關注點并不完全由它潛在的效應值的大小來決定，而是由

14、穩(wěn)健參數(shù)設計的目的決定的。所以我們定義了兩種因子效應排序：一種是基于試驗者的興趣，另一種是由效應等級原則決定。通過與Zhanget al．(2006)相似的方法，我們提出來出一種別名型用來衡量感興趣的因子被低階效應混雜的嚴重程度。一個新的準則隨即被給出來，用于挑選最優(yōu)的二水平設計矩陣以滿足穩(wěn)健參數(shù)設計的特殊性。在附錄中給出了一些最優(yōu)設計的表格以方便參照。 第一種因子效應排序是基于 Wu and Zhu(2003)提出來的如下數(shù)字

15、法則，其中e<,i,j>表示一個由i個控制因子和j個噪聲因子交互作用產生的因子效應，排序就是按照它們權重W(e<,i.j>)由小到大來排列，稱這個排序為興趣排序。排在第i級的因子效應記為(i)-階因子效應，i的值越小越受到關注。 另一個效應排序是按照它們的字長，遵照效應等級原則，由短至長進行排列。稱這個排序為潛在顯著性排序。 如果一個因子效應被正好k個j-階因子效應別名，它稱為被j-階效應以k級嚴重度別名。 根據(jù)