KAM理論若干問題的研究.pdf

1、本文應(yīng)用KAM理論有關(guān)的技巧與方法，主要研究了以下的幾個問題：
　　 1、非線性擬周期系統(tǒng)的約化
　　 考慮了下面實解析非線性擬周期系統(tǒng)：(x)=Ax+f(t,x,ε),|x|≤r,(1)其中x∈R2，A是一個2×2階的實矩陣，f(t,0,ε)=O(ε)，(a)xf(t，O，ε)=O(ε)當(dāng)ε→0。在系統(tǒng)的頻率和矩陣A的特征值滿足一定的非共振條件下，我們不需要任何的非退化條件，對絕大多數(shù)充分小的擾動參數(shù)ε，通過一個仿射的

2、擬周期變換，把上面的系統(tǒng)在零平衡點附近約化成(y)=A*y+O(y2)，或(y)=A*y+O(y)，的形式。從而對絕大多數(shù)充分小的ε，系統(tǒng)(1)有實解析的擬周期解，其頻率與系統(tǒng)的頻率相同。
　　 2、哈密頓系統(tǒng)不變環(huán)面的保持性
　　 考慮下面實解析近可積的哈密頓：(公式略)
　　 3、可逆系統(tǒng)KAM環(huán)面的Gevrey正則性
　　 本文還考慮了下面形式的解析可逆系統(tǒng)KAM環(huán)面的Gevrey正則性問題：(化學(xué)

3、式略)這里(x，y，u，v)∈Tn×Rm×Rp×Rp，A=diag(λ1，…,λp),ξ∈O(∩)Rn是參數(shù)，其中O是閉的有界連通區(qū)域，fν(1≤ν≤4)是擾動項。對應(yīng)的對合變換G：(x，y，u，v)→(-x，y，-u，v)。在ω(ξ)和λ(ξ)=(λ1(ξ)，…,λp(ξ))滿足Rüssmann非退化條件和Melnikov非共振條件下，我們證明了當(dāng)擾動項充分小時，存在一個非空康托爾集O*(∩)O，使得對(A)ξ∈O*，未擾動系統(tǒng)的不變

4、環(huán)面都可以保持下來，并且關(guān)于參數(shù)ξ在Whitney意義下是Gevrey光滑的。
　　 4、可逆系統(tǒng)不變環(huán)面的保持性
　　 考慮下面形式的可逆系統(tǒng)：(公式略)
　　 我們得到以下的結(jié)論：
　　 (i)如果矩陣Ω的所有特征值有非零實部，并且Q(x)的平均[Q]滿足Rark([Q])=n，在上面的條件下，我們證明了未擾動系統(tǒng)的不變環(huán)面在小擾動下能保持下來，并且不變環(huán)面頻率為ω.
　　 (ii)當(dāng)矩陣Ω有