滲流力學(xué)模型的多步特征數(shù)值方法.pdf

1、油藏的運(yùn)移聚集、油氣資源的開采、地下水的污染、海水入浸問題以及其它眾多的滲流問題，從物理本質(zhì)上考慮，它們都是流體在地下復(fù)雜的多孔介質(zhì)間的運(yùn)移，這種運(yùn)移常常是對(duì)流占優(yōu)或強(qiáng)對(duì)流占優(yōu)的擴(kuò)散(包括機(jī)械彌散)運(yùn)動(dòng)。對(duì)于這些大規(guī)模長(zhǎng)時(shí)間的應(yīng)用問題，數(shù)值方法求解其數(shù)學(xué)模型常常遇到很大的困難。顯著的困難在于強(qiáng)對(duì)流占優(yōu)對(duì)流擴(kuò)散方程的解具有移動(dòng)的陡峭的前沿，求解一般拋物方程所用的標(biāo)準(zhǔn)有限元或有限差分法會(huì)產(chǎn)生難以接受的數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散。為克服數(shù)值震蕩，工業(yè)

2、中求解這類問題所使用的加權(quán)迎風(fēng)法又會(huì)產(chǎn)生較強(qiáng)的數(shù)值彌散。上世紀(jì)八十年代，美國(guó)著名計(jì)算數(shù)學(xué)家Jim Douglas等提出了修正特征方法(簡(jiǎn)稱MMOC)，該方法很大程度上消除了數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散等不足．可用于大步長(zhǎng)大規(guī)模數(shù)值計(jì)算，并成功應(yīng)用于油藏問題的數(shù)值模擬。然而，特征方法也存在自身的不足；尤其它不能保持物理問題所故有的質(zhì)量守恒特性。在接下來的時(shí)間里，特征方法又得到了不斷的改進(jìn)，在原有的思想上又提出了帶局部修正的特征方法(簡(jiǎn)稱MMOCAA

3、)，該方法能保持流體的局部質(zhì)量守恒特性。上述兩種方法的缺點(diǎn)主要表現(xiàn)在對(duì)邊界條件的處理很不方便。Euler-Lagrange局部共軛方法(簡(jiǎn)稱ELLAM)，作為改進(jìn)的特征方法不僅保持質(zhì)量守恒，而且能夠方便地處理邊界條件。 MMOCAA方法和ELLAM方法都已成功的應(yīng)用于滲流問題的數(shù)值求解。 作為提高運(yùn)算效率的重要方法，多步方法已廣泛應(yīng)用于常微分方程和拋物型偏微分方程的數(shù)值求解．經(jīng)典的向后差分法(簡(jiǎn)稱BDF)，是一類全隱的離散

4、格式．著名計(jì)算數(shù)學(xué)家Grouzeix于上世紀(jì)八十年代初提出的基于算子分解的隱一顯多步方法在最近得到了發(fā)展，成為求解某些拋物方程的高效方法．該方法對(duì)時(shí)間的離散基于線性多步法，離散方程的一部分為隱格式，另一部分為顯格式．這種隱、顯結(jié)合的多步方法每一步求解的線性方程組系數(shù)矩陣是相同的，因而其格式非常高效．另外，還是穩(wěn)定和相容的。 本文所做研究工作集中以下兩個(gè)方面；首先，對(duì)兩類典型的滲流問題提出并分析了向后多步特征方法．它們分別是強(qiáng)化采

5、油問題的向后多步特征有限元方法、向后多步特征混合元和向后多步特征差分法，海水入浸問題的問題的向后多步特征有限元方法．其次，基于MMOC方法，提出和分析了對(duì)流占優(yōu)擴(kuò)散方程的隱一顯多步特征有限元方法，該方法具有特征法的思想，而且是非常高效、穩(wěn)定和相容的。我們還明顯的注意到：一方面，隱一顯多步特征有限元方法，可以直接的推廣為基于MMOCAA方法的修正隱一顯多步特征有限元方法，從而質(zhì)量守恒得以保持．另一方面，隱一顯多步特征法可以直接應(yīng)用于滲流問

6、題的數(shù)值模擬．對(duì)于這兩個(gè)方面，我們將在未來研究工作作仔細(xì)討論．本文還討論了有限體積元方法，該方法介于有限元和有限差分法之間，具有接近有限元的精度卻只需要接近有限差分法的計(jì)算量；而且，體積元方法能夠保持局部質(zhì)量守恒，這對(duì)求解流體問題的是很重要的特點(diǎn)．由于實(shí)際滲流問題數(shù)學(xué)模型中對(duì)流擴(kuò)散方程的擴(kuò)散(彌散)系數(shù)矩陣可能是半正定的，而本文其他地方均附加了正定性假設(shè)，因此，我們也給出海水入浸問題在擴(kuò)散系數(shù)矩陣半正定情形下特征有限元方法的收斂性分析．