非相似邊界層方程的同倫級(jí)數(shù)解.pdf

1、1.研究?jī)?nèi)容、目的和意義
　　 邊界層理論自1904年由普朗特提出以來(lái),已成為流體力學(xué)的經(jīng)典研究領(lǐng)域,在過(guò)去的一個(gè)多世紀(jì)里獲得了長(zhǎng)足的進(jìn)展。這主要是由于這種流動(dòng)廣泛存在于許多與流體相關(guān)的科學(xué)與工程應(yīng)用領(lǐng)域里。邊界層是物體表面一層薄薄的流體,其中有很大的速度梯度,以至于即使對(duì)于粘性系數(shù)很小的流體,粘性力也不能忽略。邊界層在許多流動(dòng)場(chǎng)合中存在,比如自來(lái)水管中的流動(dòng)、明渠流動(dòng)、地面附近的大氣流動(dòng)、建筑物壁面上的流動(dòng)、汽車或機(jī)翼繞流等。

2、在船舶工程中,船舶的粘性阻力的計(jì)算、邊界層控制與減阻等應(yīng)用均與邊界層有關(guān)。邊界層理論解決了高雷諾數(shù)流動(dòng)中如果忽略粘性采用勢(shì)流理論來(lái)計(jì)算物體在流體中的受力情況時(shí),會(huì)得到物體所遭受的阻力為零這一與事實(shí)相矛盾的結(jié)論。引入邊界層近似之后,對(duì)于像水和空氣這種粘性很小的流體,粘性對(duì)流動(dòng)的影響只限于物面附近的邊界層中。邊界層以外的流動(dòng)可以按理想流體流動(dòng)處理。對(duì)于邊界層內(nèi)這部分粘性流動(dòng),由于它在幾何上的特點(diǎn)為一薄層流體流動(dòng),可以把Navier-Stok

3、es方程簡(jiǎn)化為邊界層微分方程,從而使許多重要的實(shí)際問(wèn)題可以得到比較滿意的解答。
　　 普朗特提出邊界層概念之后,在1908年Blasiusi應(yīng)用它來(lái)求解順流放置的半無(wú)限長(zhǎng)平板上的層流邊界層獲得了成功。這也是成功應(yīng)用邊界層理論的第一個(gè)重要實(shí)例。在平板邊界層流動(dòng)中,由于假設(shè)平板為半無(wú)限長(zhǎng),整個(gè)流動(dòng)問(wèn)題中找不到一個(gè)x方向的特征長(zhǎng)度,因此可以設(shè)想在任一x值處的流速分布圖形都是互相相似的。相似性解是邊界層研究中的一個(gè)非常重要的概念。當(dāng)邊界

4、層方程具有相似性解時(shí),其流速u(x,y)的分布具有如下性質(zhì):如果把任意x斷面的流速分布圖形u～y的坐標(biāo)用有關(guān)尺度因素均化為無(wú)量綱坐標(biāo),則任意x斷面處無(wú)量綱的流速分布圖形均相同。當(dāng)邊界層微分方程式存在相似性解時(shí),可以把偏微分方程化為常微分方程,從而帶來(lái)數(shù)學(xué)上很大的簡(jiǎn)化。從數(shù)學(xué)上來(lái)看,相似解即是利用微分方程的對(duì)稱性所做的相似約化。
　　 然而,相似解的存在是有條件的。比如邊界條件的引入應(yīng)該不能破壞相似性,這等于給邊界條件設(shè)定了一些限

5、制,即只有在某些特殊的邊界條件下才存在相似解。比如平板邊界層流動(dòng),只有當(dāng)外部勢(shì)流流速U與xm成比例時(shí),邊界層方程才具有相似解。實(shí)際的許多流動(dòng)很難滿足這樣的條件,因此,客觀上說(shuō),相似邊界層流動(dòng)是很有限的,絕大多數(shù)的邊界層流動(dòng)是非相似的。即相似是特殊情況,非相似是一般情況。在非相似情況下,流動(dòng)的控制方程仍然為偏微分方程,在數(shù)學(xué)處理上面臨極大的困難。正是由于這個(gè)因?yàn)?許多邊界層研究都只是限于一些特殊情況下的相似流動(dòng)。但是,正因?yàn)榉窍嗨屏鲃?dòng)是普

6、遍情形,我們更應(yīng)該關(guān)注非相似現(xiàn)象的研究。這也是本論文的研究動(dòng)機(jī)之一。
　　 承上所述,邊界層近似是N-S方程在大雷諾數(shù)情況下的一種近似解。通過(guò)邊界層近似,N-S方程中的一些項(xiàng)被忽略,方程得到簡(jiǎn)化,從而使許多實(shí)際的工程問(wèn)題(除平板繞流外,還有繞楔角流動(dòng)、駐點(diǎn)流動(dòng)、射流等)能得到比較滿意的解答。但是,邊界層近似并未改變上述方程的非線性性質(zhì)。邊界層方程的求解在數(shù)學(xué)上仍然存在很大的困難。正是由于這一因?yàn)?數(shù)值方法成為邊界層方程求解的主要

7、方法。但是數(shù)值方法也有其局限性,例如,難于處理無(wú)窮域問(wèn)題、不容易發(fā)現(xiàn)多解、難以分析各種參數(shù)的物理影響等等,因此,仍有必要發(fā)展邊界層方程的解析方法。
　　 匹配漸近展開(kāi)法是應(yīng)用得較多的解析方法之一。但該方法的具有依賴于某個(gè)小參數(shù)、且高階近似的收斂性無(wú)法保障、低階近似精度不高等缺點(diǎn)。因此,發(fā)展新的邊界層解析方法就成為必要。
　　 為了克服這些困難和不足,廖世俊教授于1992年發(fā)展了一種新的非線性分析方法-同倫分析方法(Hom

8、otopy Analysis Method,HAM)。該方法不依賴于某個(gè)小參數(shù),并且所獲得的近似級(jí)數(shù)解的收斂性可以通過(guò)引入的輔助參數(shù)h來(lái)控制和調(diào)節(jié)。同倫分析方法在解的基函數(shù)表達(dá)、線性算子和初始解的選取上具有很大的靈活性。合理地選取這些要素,能夠進(jìn)一步增強(qiáng)解級(jí)數(shù)的收斂性,從而能夠以較低的階數(shù)獲得高精度近似。同倫分析方法已經(jīng)在許多非線性邊界層問(wèn)題上獲得了成功,如邊界層傳熱傳質(zhì)、非定常邊界層問(wèn)題、邊界層多解問(wèn)題等。在非線性振動(dòng)問(wèn)題、非線性波動(dòng)

9、問(wèn)題、波流相互作用問(wèn)題、金融數(shù)學(xué)中的美式看跌期權(quán)等問(wèn)題上也獲得了成功的應(yīng)用。這些都表明了同倫分析方法處理非線性問(wèn)題的有效性和巨大潛力。
　　 本論文將應(yīng)用同倫分析方法求解非相似邊界層流動(dòng)。非相似邊界層方程一般都是偏微分方程。因此本論文以非相似邊界層的偏微分方程為例,給出同倫分析方法求解偏微分方程的一些思路,對(duì)完善同倫分析方法具有很強(qiáng)的理論意義,也為流體力學(xué)中的許多其他的偏微分方程的求解提供借鑒。
　　 綜上所述,本論文的

10、研究目的是兩方面的。首先在物理上,由于許多邊界層流動(dòng)本質(zhì)上是非相似的,因此本論文對(duì)非相似現(xiàn)象的研究,將會(huì)極大地開(kāi)拓邊界層理論的應(yīng)用范圍。論文首次提供的非相似邊界層流動(dòng)在整個(gè)時(shí)間域、空間域內(nèi)一致有效的解析近似解能夠幫助我們更好地理解非相似現(xiàn)象的物理本質(zhì)。其次在數(shù)學(xué)上,我們以非相似邊界層問(wèn)題為對(duì)象,研究非線性、非定常偏微分方程的解析近似解法,這既是對(duì)同倫分析方法的完善,也為非線性偏微分方程的求解提供了新的思路和應(yīng)用。論文的研究既具有很強(qiáng)的理

11、論意義,又具有較高的應(yīng)用價(jià)值。
　　 2.論文的主要工作
　　 論文的第1章對(duì)邊界層理論和同倫分析方法作了簡(jiǎn)單介紹。論文的主要工作在第2、3、4章中展開(kāi)。其中第2章求解了繞楔形體的定常非相似邊界層流動(dòng)。第3章求解了突然拉伸平板上的非定常非相似邊界層流動(dòng)。第4章求解了垂直板上的定常非相似對(duì)流傳熱耦合問(wèn)題。
　　 2.1繞楔形體的非相似邊界層流動(dòng)
　　 第2章研究繞楔角的定常非相似邊界層流動(dòng)。楔角壁面上允許流

12、體的進(jìn)出。自由來(lái)流和壁面上的流速假定為冪率分布。我們應(yīng)用同倫分析方法求得了該問(wèn)題的解析近似解,并討論了各種物理參數(shù)對(duì)表面摩擦系數(shù)和邊界層位移厚度的影響。
　　 繞楔角邊界層流動(dòng)最早由Falkner和Skan在上世紀(jì)30年代提出。通過(guò)相似變換,他們得到現(xiàn)在稱為Falkner-Skan的常微分方程。這里我們考慮定常的非相似的Falkner-Skan方程。其非相似性是由壁面流體的進(jìn)出引起的。
　　 這里u和υ分別為沿流向及其垂

13、直方向上的流速,ν為流體的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。Vw(x)=bxn為流體抽出(b＞0)或注入(b＜0)速度,U∞(x)=axm表示外部流速,a＞0為任意常數(shù),m與楔角πθ的關(guān)系為m=θ/(2-θ)。
　　 引進(jìn)流函數(shù)和如下的G(o)rtler變換:
　　 其中γ=-√2a-к-1/2b[ν(m+1)]к-1/2,к=(m+1)-1[n-(m-1)/2]均為常數(shù)。注意到當(dāng)U∞(x)=axm時(shí),β變成常數(shù)2m/(m+1)。這里,γ為

14、注入/抽出參數(shù),b∈R,a＞0,κ定義壁面流速指數(shù)n和楔角參數(shù)m之間的關(guān)系。需要指出的是γ=0為相似解存在的必要條件。
　　 我們應(yīng)用同倫分析方法求解該問(wèn)題。同倫方法基于這樣的思路,即將所考慮的非線性問(wèn)題的解與一個(gè)參數(shù)q聯(lián)系起來(lái),即構(gòu)造這樣的函數(shù)φ(ξ,η；q),使得當(dāng)q從0漸變至1時(shí),φ(ζ,η；g)從一個(gè)初始解f0(ξ,η)漸變至所考慮非線性問(wèn)題的解.f(ξ,η)。為達(dá)到這一目的,可構(gòu)造如下的同倫:
　　 這里()為

15、輔助線性算子,N[φ(ξ,η；q)]與原方程具有相同的形式,只是所有f(ξ,η)均以φ(ξ,η；q)代替。從上述構(gòu)造的同倫方程,我們可以看到,當(dāng)q=0時(shí),同倫方程的解為
　　 這樣從初始解至最終解的漸變就通過(guò)同倫方程聯(lián)系起來(lái)了。
　　 假定這種隨q的漸變過(guò)程足夠光滑,可以將φ(ξ,η；q)展開(kāi)成關(guān)于q的Maclaurin級(jí)數(shù):
　　 這樣,如果我們能夠求得Maclaurin級(jí)數(shù)的各階系數(shù),利用上式,就能得到f(ξ

16、,η)的以級(jí)數(shù)表達(dá)的解析近似解。
　　 各階系數(shù)的控制方程可通過(guò)將所構(gòu)造的同倫對(duì)參數(shù)q在q=0處求導(dǎo)數(shù)的方式獲得。這樣我們就得到如下的各階系數(shù)的控制方程
　　 注意到上述所得的方程為線性方程,因此同倫分析方法就將一個(gè)非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了一系列的線性問(wèn)題。
　　 從上述過(guò)程可以看到,同倫分析方法中有輔助線性算子和初始解的選取等問(wèn)題。一般來(lái)講,同倫分析方法根據(jù)物理問(wèn)題的特點(diǎn),將方程的解以一個(gè)合適的基函數(shù)來(lái)表達(dá),輔助線性

17、算子和初始解等都依據(jù)基函數(shù)來(lái)確定。同倫分析方法提供了一定的自由度來(lái)進(jìn)行線件算子、基本解和初始解等的選取。本問(wèn)題中f(ξ,η)可由如下的基函數(shù)
　　 注意到這個(gè)線性算子僅含關(guān)于η的導(dǎo)數(shù),這樣我們就將原始的非線性PDE轉(zhuǎn)換為一系列的線性的ODE。顯然求解ODE比解PDE要容易得多。而且,可以看到,該輔助線性算子與原始方程中的線性算子并沒(méi)有直接的聯(lián)系。
　　 記線性方程的特解為
　　 這里常數(shù)C1,C2由邊界條件確定,

18、常數(shù)C3根據(jù)無(wú)窮遠(yuǎn)處條件應(yīng)為零。上述過(guò)程借助于Mathematica等符號(hào)計(jì)算工具很容易實(shí)施。
　　 同倫分析方法給出的是級(jí)數(shù)形式的近似解,它的收斂性是個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。注意到,我們所得的級(jí)數(shù)解中含有參數(shù)(h)和(h)b,在解表達(dá)中有參數(shù)λ,它們對(duì)解的收斂性有影響。為簡(jiǎn)單起見(jiàn),我們?nèi)?h)b=(h)。合理選取(h)和λ,可以控制和調(diào)節(jié)級(jí)數(shù)的收斂性。我們以γ=0,β=1情況為例,來(lái)討論這兩個(gè)參數(shù)的選取。γ=0即為Falkner-Skan

19、研究過(guò)的壁面無(wú)流體進(jìn)出的相似邊界層問(wèn)題。我們可以先固定其中的一個(gè)參數(shù),讓另外一個(gè)參數(shù)變化,考查可變參數(shù)對(duì)級(jí)數(shù)解的收斂性的影響。首先,將(h)設(shè)定為-1,考察λ對(duì)解的影響。通過(guò)繪制f"(ξ,0)隨λ的變化曲線來(lái)達(dá)到這一目的。我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)λ≥5,級(jí)數(shù)f"(ξ,0)收斂到同一值。其次,固定λ=5,考察(h)的影響。通過(guò)方程的平方余量誤差來(lái)分析。我們發(fā)現(xiàn)取(h)=-1時(shí)余量最小。我們同時(shí)還應(yīng)用了同倫-培德技術(shù)來(lái)對(duì)解級(jí)數(shù)的收斂性進(jìn)行了改進(jìn),發(fā)現(xiàn)當(dāng)(

20、h)=-1,λ=5時(shí),我們的結(jié)果與Hartree的數(shù)值結(jié)果吻合良好,見(jiàn)表2.1。
　　 對(duì)γ=1(即流體有抽出的非相似情形)可作同樣的收斂性分析。圖2.2表明當(dāng)λ＞5時(shí),即使對(duì)大的ξ也能得到收斂的結(jié)果。圖2.3表明了(h)對(duì)余量誤差的影響。圖2.4中,取λ=5,(h)=-1就能得到在整個(gè)0≤ξ＜∞,0≤η＜∞(相應(yīng)于0≤x＜∞,0≤y＜∞)內(nèi)都收斂的解。而且可以看到,20階和25階的結(jié)果與8階、12階的同倫-培德近似吻合很好。表

21、2.2表明,余量誤差隨著近似階數(shù)的增加而減小。這說(shuō)明我們的結(jié)果是收斂的。
　　 在物理上我們感興趣的是局部壁面摩擦系數(shù)和邊界層位移厚度。它們與壁面流體進(jìn)出速度的關(guān)系尤為重要。圖2.5和2.6給出了壁面流速分布к=1/2(κ與壁面流速分布中的指數(shù)n有關(guān))、β=1時(shí)壁面摩擦系數(shù)和位移厚度隨注入/抽出參數(shù)γ的變化關(guān)系,其中。fηη(ξ,0)是與摩擦系數(shù)有關(guān)的量?？梢钥吹?流體注入會(huì)增加邊界層厚度,減小壁面摩擦。流體抽出會(huì)減小邊界層厚度

22、,增加壁面摩擦。圖中還表明了非相似解在к＞0,ξ→0時(shí)趨近于相似解。
　　 圖2.7和2.8給出了另外一種壁面流速分布к=-1/4、β=1情況下的壁面摩擦系數(shù)和位移厚度隨注入/抽出參數(shù)γ的變化關(guān)系。可以看出同樣的依賴關(guān)系。但是,在к＜0的情況下,非相似解卻是在ξ→∞時(shí)趨近于相似解。
　　 參數(shù)β對(duì)局部壁面摩擦系數(shù)和邊界層厚度的影響示于圖2.9和圖2.10中?？梢钥吹?γ＞0時(shí),當(dāng)β從0至2變化時(shí),壁面摩擦系數(shù)增加,位移厚

23、度減小。γ＜0時(shí),流體注入的效果是使得邊界層厚度增加,壁面摩擦減小。
　　 2.2突然拉伸平板上的非定常非相似邊界層流動(dòng)
　　 邊界層流動(dòng)的非定常行為也是人們極為感興趣的。攝動(dòng)方法是研究非定常邊界層流動(dòng)的主要方法,但是攝動(dòng)方法所得的解只在小時(shí)間段或長(zhǎng)時(shí)間之后有效,而沒(méi)有在整個(gè)時(shí)間域內(nèi)都一致有效的解析解。因此,第3章應(yīng)用同倫分析方法研究非定常邊界層流動(dòng),目的是獲得在整個(gè)時(shí)間和空間域內(nèi)都有效的解析近似解,并分析邊界層流動(dòng)的非

24、定常行為。
　　 拉伸平板上的邊界層流動(dòng)在各種生產(chǎn)過(guò)程中存在。如玻璃纖維的制造,高分子材料的成型等過(guò)程中。Sakiadis最早研究了靜止流體中的拉伸平板上的流動(dòng),以后許多學(xué)者又研究了不同情形下拉伸平板上的邊界層流動(dòng)。廖世俊教授應(yīng)用同倫分析方法研究了拉伸平板上的定常非相似邊界層流動(dòng)。這里,我們進(jìn)一步研究其非定常行為。
　　 上式表明當(dāng)t＜0時(shí),板和流體都處于靜止?fàn)顟B(tài)。在t=0時(shí)刻,平板突然以速度u=Uw(x)拉伸。

25、　　 引進(jìn)如下的流函數(shù)和變換:
　　 相似解只對(duì)某些特殊的Uw(x)存在。當(dāng)相似解存在時(shí),系統(tǒng)的控制方程就由耦合的偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?。根?jù)G(o)rteler的研究,相似解是否存在由下述函數(shù)判定
　　 如果∧A(x)為常數(shù),則存在相似解。但實(shí)際上我們可以給出任意多的速度Uw(x)不滿足這個(gè)條件,這樣一般我們就只能得到非相似解。
　　 本文考慮如下的平板拉伸速度Uw=x/(1+x),即拉伸速度從0單調(diào)地增至

26、1。該速度分布下,只能得到非相似解。注意到當(dāng)x趨近于0時(shí),Uw～x,而當(dāng)x→+∞時(shí),Uw→1。因此物理上,在x=0附近,流動(dòng)漸近于Uw=x時(shí)的相似解,而在x→+∞處,流動(dòng)漸近于Uw=1時(shí)的相似解。對(duì)Uw=x和Uw=1的相似流動(dòng),相似變量分別為y/√νζ和y√νζx。因此根據(jù)變量η的定義,我們?nèi)ˇ?x)=√1+x,這樣當(dāng)x→0時(shí),我們就有η→y√νζ,當(dāng)x→+∞時(shí)有η→y√νζx。為簡(jiǎn)明起見(jiàn),我們定義
　　 同倫分析方法的具體實(shí)施

27、過(guò)程詳見(jiàn)第3章,這里不再贅述。
　　 如前所述,同倫級(jí)數(shù)解的收斂性強(qiáng)烈地依賴于參數(shù)(h)的選取。該參數(shù)的選取可以通過(guò)所謂(h)曲線或者令平方余量最小的方式獲得。定義如下的平方余量誤差我們就能得到最優(yōu)的(h)取值。該值將給出原方程的最小余量誤差。
　　 圖3.1表明,參數(shù)(h)取值在[-3/2,0]之間可以得到收斂的級(jí)數(shù)解。因此我們可以在該區(qū)間內(nèi)給(h)取值,以得到在整個(gè)0≤ζ＜1,0≤ξ＜1,0≤η＜∞(對(duì)應(yīng)于0≤τ＜∞

28、,0≤x＜∞,0≤y＜∞)內(nèi)都收斂的級(jí)數(shù)解。表3.1表明,(h)=-1/2時(shí),隨著近似階數(shù)的增加,方程的余量誤差逐漸減小,這說(shuō)明級(jí)數(shù)解是收斂的。我們還應(yīng)用同倫-培德技術(shù)來(lái)加速級(jí)數(shù)解的收斂性。圖3.2將ζ=0(即τ=0),并取(h)=-1/2時(shí)的15階同倫級(jí)數(shù)解和[2,2]同倫-培德近似解與精確解作了比較,發(fā)現(xiàn)它們?cè)谡麄€(gè)0≤ζ＜1,0≤η＜∞的空間域內(nèi)都吻合很好。還可以考察與局部表面摩擦系數(shù)Cf有關(guān)的f"(ξ,0,0)的值。我們還發(fā)現(xiàn),在

29、ξ=1時(shí),我們的解給出.f"(ξ,0,0)=-ξ/√π,它恰與ξ=1時(shí)的非定常相似流動(dòng)的精確解吻合。因此,應(yīng)用同倫分析方法,我們可以得到突然拉伸平板上的非定常非相似邊界層方程在整個(gè)時(shí)間域和空間域內(nèi)都一致有效的完全解析的近似解。
　　 我們發(fā)現(xiàn),對(duì)定常的相似流動(dòng),局部表面摩擦系數(shù)在x→0時(shí)為-2√ν/x,在x→∞時(shí)為-0.8875√ν/x。定常相似流動(dòng)的邊界層厚度在Uw(x)=x時(shí)為√ν,在Uw(x)=1為1.61613√νx。從

30、圖3.3和圖3.4中可以看到本文給出的同倫級(jí)數(shù)解在τ=10和(h)=-1/2時(shí)與Uw(x)=x及Uw(x)=1時(shí)的定常相似解吻合良好。圖3.3和圖3.4中還給出了最終穩(wěn)態(tài)(ζ=1)時(shí)的表面摩擦系數(shù)和邊界層厚度的計(jì)算結(jié)果?？梢钥吹轿覀兊耐耆嵌ǔ７窍嗨七吔鐚臃匠痰慕庠讦?10時(shí)與ζ=1時(shí)的定常解吻合良好。這些均證明了我們的方法的有效性。
　　 圖3.5給出了表面摩擦系數(shù)隨τ的非定常變化?？梢钥吹?隨著時(shí)間的增加,表面摩擦系數(shù)降低。

31、由于突然拉伸的因?yàn)?表面摩擦在拉伸的初始階段ζ=0(τ→0)有很大的值。但隨著時(shí)間的推移,它逐漸減小,最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)ζ=1(τ→∞)。邊界層厚度隨時(shí)間的演變行為則恰恰相反,示于圖3.6中。
　　 2.3等熱環(huán)境下可透垂直平板上的非相似自然對(duì)流傳熱
　　 非相似熱邊界層可有多種因?yàn)閷?dǎo)致。最常見(jiàn)的因?yàn)槭撬俣冗吔鐚拥姆窍嗨菩?。另?即使速度邊界層是相似的,熱邊界層也可能是非相似的。這可由平板表面溫度分布、表面熱通量和流場(chǎng)內(nèi)熱

32、源等的非相似性引起。
　　 第4章研究了可透等熱垂直平板上的非相似自然對(duì)流傳熱問(wèn)題。問(wèn)題的控制方程為其中γ=-√2a/(Gr)1/4Pr,撇號(hào)表示對(duì)η的微分。n為壁面流體進(jìn)出速度冪率分布的冪次指標(biāo),γ通過(guò)常數(shù)α與壁面流速Vw(x)關(guān)聯(lián)。當(dāng)α為負(fù)(即流體抽出)時(shí),γ＞0,而當(dāng)α為正(即流體注入)時(shí),γ＜0。
　　 詳細(xì)的同倫分析方法求解過(guò)程見(jiàn)第4章,在此不贅述。這里我們只討論計(jì)算結(jié)果所揭示的物理現(xiàn)象。圖4.4給出了普朗特?cái)?shù)

33、Pr對(duì)平板熱傳導(dǎo)的影響。可以看到局部Nusselt數(shù)隨Pr的增加而增加。這是由于Pr數(shù)較高的流體,有相對(duì)較低的熱導(dǎo)系數(shù),因此熱邊界層的厚度較薄,導(dǎo)致表面熱傳導(dǎo)率增加。另一方面,圖4.5顯示局部表面摩擦系數(shù)卻隨Pr數(shù)的增加而減小。實(shí)際上,高Pr數(shù)的流體意味著流體的粘性更大,因此增加了邊界層厚度,減小了剪切應(yīng)力。從圖4.4和圖4.5上還可看到,相似解在ξ→0和ξ→∞時(shí)存在。當(dāng)0.5≤ξ≤10時(shí)流動(dòng)是非相似的。因此,對(duì)所有Pr數(shù),非相似流動(dòng)在

34、ξ→0和ξ→∞區(qū)域都趨向于相似解。
　　 圖4.6和4.7給出了壁面流體出入對(duì)局部Nusselt數(shù)的影響?？梢钥吹?流體抽出時(shí)的板面?zhèn)鳠崧瘦^流體注入時(shí)的高。這是由于流體抽出使得表面剪切應(yīng)力增加,使得局部Nusselt數(shù)增加。圖4.8和圖4.9給出了對(duì)于水(Pr=7)和空氣(Pr=0.72)兩種流體,壁面流體的出入對(duì)壁面摩擦系數(shù)的影響。可以看到,低Pr時(shí),流體的抽出使壁面摩擦增加,而高Pr數(shù)時(shí),流體抽出則使壁面摩擦減小。流體注入的

35、效果則相反。這同樣是由于高Pr數(shù)下,流體更粘,邊界層更厚的因?yàn)樗隆?br>　　 3.論文的創(chuàng)新點(diǎn)
　　 本論文首次研究了非相似變換在邊界層流體力學(xué)中的應(yīng)用。首先求解了多孔楔形體周圍的粘性非相似邊界層繞流。給出了對(duì)所有參數(shù),在整個(gè)域內(nèi)都有效的級(jí)數(shù)解。我們發(fā)現(xiàn)壁面流體抽出減小了邊界層厚度,增加了剪應(yīng)力。壁面流體注入增加了邊界層厚度,減小了剪應(yīng)力。當(dāng)β從0至2變化時(shí),摩擦系數(shù)增加,邊界層位移厚度減小。還發(fā)現(xiàn),非相似流動(dòng)在ξ→0,к

36、＞0或ξ→∞,к＜0的情況下,趨近于相似流動(dòng)。
　　 首次給出了突然拉伸平板上的非定常、非相似邊界層流動(dòng)的解析近似解。我們應(yīng)用不同于Williams和Rhyne的時(shí)間尺度變換,這種變換能夠避免奇異性的對(duì)數(shù)函數(shù)ln(1-ξ)出現(xiàn)。所得的級(jí)數(shù)解對(duì)所有時(shí)間和在整個(gè)流場(chǎng)內(nèi)均有效。我們發(fā)現(xiàn),定常相似流動(dòng)的局部表面摩擦系數(shù)當(dāng)x→0時(shí)為-2√ν/x,當(dāng)x→∞時(shí)為-0.8875√ν/x。定常相似流動(dòng)的邊界層厚度當(dāng)Uw(x)=x時(shí)為√ν,當(dāng)Uw(

37、x)=1時(shí)為1.61613√νx。同倫級(jí)數(shù)解在τ=10和(h)=-1/2時(shí)與Uw(x)=x和Uw(x)=1時(shí)的定常相似解吻合良好。而且所得的完全非定常、非相似的邊界層解在τ=10時(shí)與ζ=1時(shí)的定常解吻合良好。
　　 應(yīng)用同倫分析方法解析求解了等熱環(huán)境下可穿透豎直板上的層流自然對(duì)流非相似邊界層流動(dòng)和熱傳導(dǎo)問(wèn)題。分析了流體注入(或抽出)參數(shù)γ、普朗特?cái)?shù)Pr等對(duì)流動(dòng)和傳熱的影響。觀察到對(duì)Pr=0.72(空氣)和Pr=7(水)的兩種流體

38、來(lái)說(shuō),流體的抽出能增加局部Nusselt數(shù)。而流體注入的影響則相反。普朗特?cái)?shù)Pr的增加,將導(dǎo)致表面摩擦系數(shù)的降低,但局部Nusselt數(shù)則會(huì)增加。相似解在ξ≤0.5或ξ≥10時(shí)存在。在0.5≤ξ≤10范圍內(nèi),對(duì)所有普朗特?cái)?shù)Pr和注入(或抽出)參數(shù)γ來(lái)說(shuō),解是不相似的。
　　 數(shù)學(xué)上來(lái)講,非相似邊界層流動(dòng)的控制方程是非線性的偏微分方程。然而,通過(guò)HAM方法,這種非線性偏微分方程可以轉(zhuǎn)化成一系列的容易求解的線性常微分方程。從物理上解