參數(shù)具有對(duì)稱(chēng)性的等變分歧問(wèn)題的開(kāi)折與分類(lèi).pdf

1、1979年，M.Golubitsky和D.G.Schaeffer[32,33]首先引入了應(yīng)用奇點(diǎn)理論方法和群論方法研究分歧問(wèn)題的思想，他們對(duì)分歧問(wèn)題研究所使用的主要工具來(lái)自光滑映射芽的奇點(diǎn)理論中的相關(guān)技巧。它主要包括三個(gè)方面：(1)分歧問(wèn)題的開(kāi)折，研究分歧問(wèn)題在一般擾動(dòng)下的變化狀態(tài)。如果一個(gè)分歧問(wèn)題存在通用開(kāi)折，那么對(duì)做擾動(dòng)產(chǎn)生的每一個(gè)開(kāi)折都可以由它的通用開(kāi)折導(dǎo)出，這說(shuō)明研究通用開(kāi)折是很有意義的。(2)分歧問(wèn)題的識(shí)別。為探討一

2、個(gè)分歧問(wèn)題在什么條件下等價(jià)于給定的標(biāo)準(zhǔn)形式，必須尋找這一標(biāo)準(zhǔn)形在等價(jià)群D作用下的軌道特征。借助于奇點(diǎn)理論中的一個(gè)基本概念(有限決定性)，這一問(wèn)題常?？梢院?jiǎn)化為有限維情形來(lái)處理。D模去高階項(xiàng)將以Lie群方式作用，其軌道是半代數(shù)集，因而可以將軌道描述成由這樣的一些映射芽組成，它們的Taylor系數(shù)滿足有限多個(gè)多項(xiàng)式約束，并以等式和不等式形式表示，這一描述正是識(shí)別問(wèn)題的解。(3)分歧問(wèn)題的分類(lèi)，這是一個(gè)非常有意義但又是棘手的問(wèn)題

3、。到目前為止，只對(duì)幾類(lèi)分歧問(wèn)題在低余維條件下的分類(lèi)問(wèn)題予以解決。近二十年來(lái)，運(yùn)用奇點(diǎn)理論研究分歧問(wèn)題主要圍繞上述三個(gè)方面展開(kāi)討論。例如，在開(kāi)折理論研究中，對(duì)于含一個(gè)分歧參數(shù)的等變分歧問(wèn)題，當(dāng)它的狀態(tài)空間與靶空間相同時(shí)，文獻(xiàn)[31]給出了通用開(kāi)折定理。其后許多學(xué)者對(duì)此繼續(xù)研究，建立了各種形式的通用開(kāi)折理論(見(jiàn)[19,2l,24,26,30,40,46,47,49,50,54,56,67,73,74,75,76])。在分歧問(wèn)題的識(shí)

4、別研究中，文獻(xiàn)[25]引入冪單代數(shù)群和冪零Lie代數(shù)作為研究工具，建立了多參數(shù)分歧問(wèn)題的D(Г)-等價(jià)理論，文獻(xiàn)[59]研究含一個(gè)分歧參數(shù)的等變分歧問(wèn)題，建立了U(Г)-等價(jià)理論，文獻(xiàn)[53]則討論了多參數(shù)等變分歧問(wèn)題的U(Г)-等價(jià)理論；在分歧問(wèn)題分類(lèi)研究方面，Keyfitz[44]得到了余維數(shù)不超過(guò)7的不帶對(duì)稱(chēng)性的單狀態(tài)變量的分歧問(wèn)題的分類(lèi)。Golubitsky和Schaeffe[34]得到了余維數(shù)不超過(guò)3的單狀態(tài)變量以

5、Z2為對(duì)稱(chēng)群的單參數(shù)等變分歧問(wèn)題的分類(lèi)。Golubitsky和Roberts[35]得到了單參數(shù)兩狀態(tài)變量關(guān)于D4對(duì)稱(chēng)的分歧問(wèn)題在拓?fù)溆嗑S數(shù)不超過(guò)2的條件下的分類(lèi)。Melbourne[58]討論了三狀態(tài)變量關(guān)于八面體群對(duì)稱(chēng)的單參數(shù)等變分歧問(wèn)題在拓?fù)溆嗑S數(shù)不超過(guò)1的條件下的分類(lèi)。Manoel與Stewart[56]討論了具有隱藏對(duì)稱(chēng)性的分歧問(wèn)題的分類(lèi)。Peter[62]研究了兩參數(shù)單狀態(tài)變量分歧問(wèn)題在余維不超過(guò)1的條件下的分類(lèi)。

6、Furter，Sitta和Stewart[24]研究了分歧參數(shù)與狀態(tài)變量具有相同的對(duì)稱(chēng)性的多參數(shù)等變分歧問(wèn)題，并給出了參數(shù)與狀態(tài)變量均關(guān)于D4對(duì)稱(chēng)的兩參數(shù)等變分歧問(wèn)題在余維數(shù)不超過(guò)1的條件下的分類(lèi)。值得指出的是對(duì)分歧問(wèn)題研究常常不考慮分歧參數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，即使考慮也僅限于參數(shù)空間與狀態(tài)空間有相同的對(duì)稱(chēng)性。本文研究分歧參數(shù)帶有對(duì)稱(chēng)性的靜態(tài)多參數(shù)等變分歧問(wèn)題，而且分歧參數(shù)所具有的對(duì)稱(chēng)性可與狀態(tài)變量所擁有的對(duì)稱(chēng)性不同，從而建立起更一

7、般的參數(shù)具有對(duì)稱(chēng)性的靜態(tài)等變分歧理論，包括靜態(tài)等變分歧問(wèn)題的開(kāi)折、穩(wěn)定性、識(shí)別。在此基礎(chǔ)上對(duì)狀態(tài)變量以D4對(duì)稱(chēng)群、分歧參數(shù)以S1對(duì)稱(chēng)群的靜態(tài)分歧問(wèn)題在拓?fù)溆嗑S數(shù)不超過(guò)2的條件下進(jìn)行分類(lèi)，這就是本文研究的內(nèi)容之一。在靜態(tài)分歧問(wèn)題的研究中，需要引入分歧問(wèn)題及其開(kāi)折的等價(jià)關(guān)系。通常的開(kāi)折理論借助于奇點(diǎn)理論中光滑映射芽的接觸等價(jià)來(lái)定義分歧問(wèn)題及其開(kāi)折的等價(jià)，本文考慮引入奇點(diǎn)理論中的左右等價(jià)關(guān)系，對(duì)于以緊李群為對(duì)稱(chēng)群的分歧問(wèn)題的等價(jià)

8、賦予新的含義，因而將要建立的開(kāi)折理論區(qū)別于通常的等變分歧問(wèn)題的開(kāi)折理論，這是本文研究的內(nèi)容之二。本文由相對(duì)獨(dú)立的兩部分組成，第一部分包含第一章和第二章，討論多參數(shù)等變分歧問(wèn)題的開(kāi)折理論、分歧問(wèn)題及其開(kāi)折的穩(wěn)定性和分歧問(wèn)題的識(shí)別，并給出了狀態(tài)變量以D4對(duì)稱(chēng)群、分歧參數(shù)以S1對(duì)稱(chēng)群的靜態(tài)分歧問(wèn)題在拓?fù)溆嗑S數(shù)不超過(guò)2的條件下進(jìn)行分類(lèi)。第二部分研究多參數(shù)等變分歧問(wèn)題關(guān)于左右等價(jià)的開(kāi)折，主要結(jié)果是命題3.2.1，定理3.4.1.推廣了