函數(shù)的周期性與對稱性資料

1、第二章 第 5 煉 函數(shù)的對稱性與周期性 函數(shù)及其性質(zhì)本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城” ，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載第 5 煉 函數(shù)的對稱性與周期性一、基礎(chǔ)知識（一）函數(shù)的對稱性1、對定義域的要求：無論是軸對稱還是中心對稱，均要求函數(shù)的定義域要關(guān)于對稱軸（或?qū)ΨQ中心）對稱2、軸對稱的等價描述：（1） 關(guān)于 軸對稱（當(dāng) 時，恰好就

2、是偶函數(shù)） ? ? ? ? f a x f a x ? ? ? ? ? ? f x x a ? 0 a ?（2） 關(guān)于 軸對稱 ? ? ? ? ? ? f a x f b x f x ? ? ? ? 2a b x ? ?在已知對稱軸的情況下，構(gòu)造形如 的等式只需注意兩點，一是等 ? ? ? ? f a x f b x ? ? ?式兩側(cè) 前面的符號相同，且括號內(nèi) 前面的符號相反；二是 的取值保證 f x , a b 2a b x ? ?為

3、所給對稱軸即可。例如： 關(guān)于 軸對稱 ，或得到 ? ? f x 1 x ? ? ? ? ? 2 f x f x ? ? ?均可，只是在求函數(shù)值方面，一側(cè)是 更為方便 ? ? ? ? 3 1 f x f x ? ? ? ? ? ? f x（3） 是偶函數(shù)，則 ，進(jìn)而可得到： 關(guān)于 軸 ? ? f x a ? ? ? ? ? f x a f x a ? ? ? ? ? ? f x x a ?對稱。① 要注意偶函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值

4、相等，所以在 中， 僅是括號中 ? ? f x a ? x的一部分，偶函數(shù)只是指其中的 取相反數(shù)時，函數(shù)值相等，即 ， x ? ? ? ? f x a f x a ? ? ? ?要與以下的命題區(qū)分：若 是偶函數(shù)，則 ： 是偶函數(shù)中的 占據(jù)整個括號， ? ? f x ? ? ? ? f x a f x a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f x x所以是指括號內(nèi)取相反數(shù)，則函數(shù)值相等，所以有 ? ? ? ? f x a f x a

5、 ? ? ? ? ? ? ? ?② 本結(jié)論也可通過圖像變換來理解， 是偶函數(shù)，則 關(guān)于 軸對 ? ? f x a ? ? ? f x a ? 0 x ?稱，而 可視為 平移了 個單位（方向由 的符號決定） ，所以 關(guān)于 ? ? f x ? ? f x a ? a a ? ? f x對稱。 x a ?第二章 第 5 煉 函數(shù)的對稱性與周期性 函

6、數(shù)及其性質(zhì)本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城” ，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載，則稱函數(shù) 是一個周期函數(shù)，稱 為 的一個周期 ? ? ? ? f x T f x ? ? ? ? f x T ? ? f x2、周期性的理解：可理解為間隔為 的自變量函數(shù)值相等 T3、若 是一個周期函數(shù)，則 ，那么 ? ? f x ? ? ? ? f x T f x ? ? ? ? ? ? ? ? 2 f x T f x T f x ? ? ? ?

7、，即 也是 的一個周期，進(jìn)而可得： 也是 的一個周期 2T ? ? f x ? ? kT k Z ? ? ? f x4、最小正周期：正由第 3 條所說， 也是 的一個周期，所以在某些周期函 ? ? kT k Z ? ? ? f x數(shù)中，往往尋找周期中最小的正數(shù)，即稱為最小正周期。然而并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期，比如常值函數(shù) ? ? f x C ?5、函數(shù)周期性的判定：（1） ：可得 為周期函數(shù)，其周期 ? ? ? ? f x a

8、f x b ? ? ? ? ? f x T b a ? ?（2） 的周期 ? ? ? ? ? ? f x a f x f x ? ? ? ? 2 T a ?分析：直接從等式入手無法得周期性，考慮等間距再構(gòu)造一個等式：? ? ? ? 2 f x a f x a ? ? ? ?所以有： ，即周期 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 f x a f x a f x f x ? ? ? ? ? ? ? ? 2 T a ?注：遇到此類問題

9、，如果一個等式難以推斷周期，那么可考慮等間距再列一個等式，進(jìn)而通過兩個等式看能否得出周期（3） 的周期 ? ? ? ? ? ? 1 f x a f x f x ? ? ? 2 T a ?分析： ? ? ? ?? ?? ? 1 1 2 1 f x a f x f x af x? ? ? ? ?（4） （ 為常數(shù)） 的周期 ? ? ? ? f x f x a k ? ? ? k ? ? f x ? 2 T a ?分析： ，兩式相減可得： ?