（α,β）-度量的廣義獨(dú)角獸問(wèn)題和重要共形性質(zhì).pdf

1、Finsler度量作為推廣的黎曼度量是定義在切叢上的函數(shù)F:TM→[0，∞）滿(mǎn)足條件(1)F(x，y）是裂紋切叢TM\{0}上的光滑函數(shù);(2)F（x，y）是關(guān)于y的一階正齊次函數(shù);(3)基本張量（gij（x，y):=1/2[F2]yiyj）是正定的。若gij與x無(wú)關(guān)，則稱(chēng)F是Minkowski度量。若gij與y無(wú)關(guān)，則稱(chēng)F是黎曼度量。
　　給定一個(gè)黎曼度量α=√aijyiyj與一個(gè)1-形式β=biyi。令F=αφ(s)，s=β/

2、α，其中φ(s)是定義在開(kāi)區(qū)間（-bo，bo）上的正光滑函數(shù)。若Finsler度量F滿(mǎn)足條件(1)‖βx‖α:=√aijbi(x）bj(x）＜ bo，(2)φ(s)-sφ'(s)+（b2-s2）φ"＞0，|s|≤b＜bo，則稱(chēng)F是正則（α，β）-度量。本文針對(duì)（α，β)-度量研究了兩類(lèi)問(wèn)題，其一是正則（α，β）-度量的廣義獨(dú)角獸問(wèn)題，其二是（α，β）-度量的共形問(wèn)題。
　　Finsler流形(M，F(xiàn))上非零向量U∈TxM沿著曲線(xiàn)σ

3、(t)(σ(0)=x)的典型平移由微分方程(U)i(t)+Uj(t)Γijk(σ(t)，U(t))(σ)k=0確定，其中Γijk:=(Gi)yiyk。Berwald空間中的典型平移都是線(xiàn)性平移，即Γijk=Γijk(x)。由典型平移可以定義穿刺切空間之間的微分同胚φt:TxM\{0}→T(σ)(t)M\{0}，φt（x，U):=（σ（t),U（t))。該微分同胚是保持F不變的，即滿(mǎn)足φ*tF=F。然而φt關(guān)于切空間TxM\{0}上的誘導(dǎo)

4、黎曼度量(g)x:=gij（x，y）dyi(⊕)dyj不一定是等距的。若φ*tgσ(t)=gx，則稱(chēng)F是Landsberg度量。在Finsler幾何中，眾所周知Berwald度量一定是Landsberg度量，而尋找非Berwald型的Landsberg度量成為Finsler幾何中一個(gè)長(zhǎng)久存在的公開(kāi)問(wèn)題。D.Bao將之命名為獨(dú)角獸問(wèn)題。
　　Landsberg度量也等價(jià)定義為L(zhǎng)andsberg曲率L:=Lijkdxi(⊕)dxj(⊕

5、)dxk為零的度量，其中Lijk(x，y):=Cijk;mym。用gjk縮并Lijk產(chǎn)生Ji:=gjkLijk。平均Landsberg曲率J定義為J:=Jidxi。Finsler度量F是弱Landsberg度量當(dāng)且僅當(dāng)J=0。顯然Landsberg度量同時(shí)也是弱Landsberg度量，而反之則不一定。已經(jīng)證明在正則（α，β）-度量中沒(méi)有非Berwald型的Landsberg度量而同時(shí)又存在非正則的Landsberg度量不是Berwald

6、度量。我們定義非Berwald型的弱Landsberg度量為廣義獨(dú)角獸，并且在正則（α，β)-度量中研究了廣義獨(dú)角獸的存在性問(wèn)題。我們證明了:在高維（維數(shù)大于2）空間中，若正則(α，β)-度量F=αφ(s)，s=β/α滿(mǎn)足φ(s)是關(guān)于s的多項(xiàng)式，則F是弱Landsberg的充要條件是F是Berwald度量。該結(jié)論說(shuō)明在多項(xiàng)式型的正則(α，β)-度量中不存在廣義獨(dú)角獸。
　　一個(gè)Finsler度量F若滿(mǎn)足方程J+c(x)FI=0，

7、則稱(chēng)F具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率。其中I為平均Cartan曲率。平方度量是一類(lèi)特殊的（α，β)-度量具有形式F=(α+β)2/α。我們證明了在高維（維數(shù)大于2）空間中，具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率的平方度量一定是Berwald度量。顯然弱Landsberg度量一定具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率。該結(jié)論是屬于對(duì)廣義獨(dú)角獸后續(xù)問(wèn)題的研究。
　　兩個(gè)Finsler度量F與F稱(chēng)為是共形相關(guān)的當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)流

8、形上的數(shù)量函數(shù)κ(x)滿(mǎn)足(F)=eκ(x)F。若一個(gè)Finsler度量F共形相關(guān)于一個(gè)Minkowski度量，則稱(chēng)F是共形平坦的Finsler度量。我們研究了共形平坦的弱Landsberg(α，β)-度量，得到:若F是共形平坦的弱Landsberg(α，β)-度量，則F或者是黎曼度量，或者是局部Minkowski度量。同時(shí)我們也研究了具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率的（α，β)-度量在共形平坦條件下的分類(lèi)問(wèn)題，證明了:共形平坦且

9、具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率的（α，β）-度量F=αφ(s)，s=β/α，若滿(mǎn)足φ(s)是關(guān)于s的多項(xiàng)式，則F或者是黎曼度量，或者是局部Minkowski度量。
　　Finsler度量F的測(cè)地系數(shù)Gi完全由F確定:Gi:=1/4gil(x，y){[F2]xkyl(x，y)yk-[F2]xl（x，y）}。F稱(chēng)為是Douglas度量當(dāng)且僅當(dāng)測(cè)地系數(shù)Gi滿(mǎn)足關(guān)系式Gi=1/2Γijk(x)yjyk+P(x，y)yi，其中Γij

10、k(x）是M上的函數(shù)而P（x，y）是關(guān)于y的一階齊次函數(shù)。我們研究了Douglas型（α，β)-度量間的共形變換，得到:在高維（維數(shù)大于2）空間中，F(xiàn)和F作為共形相關(guān)的兩個(gè)非黎曼的正則（α，β)-度量，若F是既非黎曼又非Randers型的Douglas度量，則F為Douglas度量的充要條件為F和F之間的共形變換是位似變換。
　　畸變?chǔ)?=ln[√det(gij(x,y)/σ(x)](σ(x):=Vol(Bn(1))/Vol{(y