一致域、John域和雙曲等距映射的特征及擬測地線的擬凸性.pdf

1、為了研究復(fù)平面C上的bi-Lipschitz映射的近似理論和單葉性問題，1961年，John引進(jìn)了一類域．此類域于1978年被Martio和Sarvas命名為John域．為了推廣Ahlfors關(guān)于擬圓中共形映射單葉性性質(zhì)的研究，1978年，Martio和Sarvas提出了一類新的域：一致域．眾所周知，關(guān)于擬圓性質(zhì)的研究已有許多，并已得到廣泛應(yīng)用．由于John域和一致域均為擬圓的推廣，從而這兩類域能保持?jǐn)M圓的哪些性質(zhì)、又具有哪些獨(dú)特性質(zhì)等

2、受到了人們極大的關(guān)注．雙曲空間Hn中關(guān)于Poincaré度量的等距映射是Klein群和雙曲流形中的基本組成元素，故它們具有哪些特性是一個基本而又重要的問題． 本學(xué)位論文主要內(nèi)容包括兩個方面．第一個方面，利用擬雙曲度量、jD度量、Apollon度量及其對應(yīng)的內(nèi)度量等來刻劃一致域和John域，得到了一系列結(jié)果，從而解決了由Broch、Hasto、Ponnusamy、Sahoo、Vaisala在《Results in Mathemat

3、ics》等上提出的三個公開問題．另一方面，討論了Hn中關(guān)于Poincaré度量的等距映射的特征問題，并完全解決了最近由李?？鸵湓凇禡athematical Proceedingsof Cambridge Philosophy Society》上提出的猜測． 第一章，主要介紹了研究問題的背景和得到的主要結(jié)果． 第二章，討論了Euclid空間Rn(n≥3)中擬共形映射中的Riemann映射定理，證明了Rn中的有界凸域一

4、定是擬球，從而推廣了已有的相關(guān)結(jié)果，也說明擬共形映射中的Riemann映射定理對Rn(n≥3)中的有界凸域是成立的． 第三章，利用雙曲度量和λ-Apollon度量得到了C中的Jordan域是John圓的一個充分條件，同時構(gòu)造了兩個例子說明此結(jié)果的逆不成立．從而完全解決了Broch于2004年提出的一個猜測． 第四章，利用測地線的最大最小性質(zhì)、擬雙曲度量及Apollon度量等，得到了John域的三條特征．這些特征是Gehr

5、ing、Hag、Herron及Broch等所得相應(yīng)結(jié)果的推廣． 第五章，主要研究Apollon內(nèi)度量和一致域之間的關(guān)系．利用Apol-lon內(nèi)度量，得到了一致域的一個充要條件．此結(jié)果說明，完全解決了Hasto、Ponnusamy、sahoo于2006年提出的公開問題．同時，本文討論了擬迷向域、Apollon擬凸域和A-一致域彼此之間的關(guān)系． 第六章，作為第五章中討論的繼續(xù)，利用類似于第五章中的方法，討論了Apollon內(nèi)

6、度量和John域之間的關(guān)系，得到了有界Jordan域是John域的一個充分條件，從而完善了第五章中的相應(yīng)討論． 第七章，研究了Rn中John域的可分解性和可去性．在此章中，定義了John域可分解性的概念，證明了Rn中的域是John域當(dāng)且僅當(dāng)此域是John域可分解的；同時還得到了Rn中的任意一個John域去掉其中有限個點(diǎn)后還是John域，并給出了所得結(jié)果的應(yīng)用．還構(gòu)造例子說明結(jié)論中的條件“有限個點(diǎn)”的最佳性． 第八章，主要

7、研究了Rn中一致域的可分解性及實(shí)賦范向量空間中擬測地線的擬凸性．首先，在Rn中定義了一致域可分解性這一概念，它是擬共形可分解性的推廣．利用構(gòu)造的方法，證明了Rn中的域是一致域當(dāng)且僅當(dāng)此域是一致域可分解的．作為應(yīng)用，構(gòu)造實(shí)例說明Rn中存在不是擬球的一致域．其次，證明了實(shí)賦范向量空間中的擬測地線是擬凸的．此結(jié)果肯定回答了Vaisala于2005年提出的一個公開問題． 第九章，討論了Hn中關(guān)于Poincaré度量的等距映射的特征問題．