從一致雙曲到一般的微分自映射.pdf

1、我們主要研究的是微分動(dòng)力系統(tǒng)中的一致雙曲以外的一些動(dòng)力系統(tǒng)的性質(zhì)。
　　 我們?cè)噲D去理解那些在一致雙曲系統(tǒng)中熟知的、非常理想的結(jié)論是否在在更大的一類系統(tǒng)中成立。我們的研究分成三個(gè)層次：部分雙曲系統(tǒng)、控制分解系統(tǒng)和一般的微分自映射。
　　 首先我們證明，對(duì)一般的、具有正體積的部分雙曲子集，該集合一定包含了‘相當(dāng)多的'點(diǎn)上面的整體強(qiáng)穩(wěn)定流形和整體強(qiáng)不穩(wěn)定流形。如果一個(gè)正體積的部分雙曲子集中有相當(dāng)多的回復(fù)點(diǎn)，我們證明這個(gè)集合一

2、定包含了一個(gè)正體積的、bi–saturated的子集。我們利用這些性質(zhì)來(lái)深入研究accessible 部分雙曲系統(tǒng)的性質(zhì)。如果一個(gè)accessible 部分雙曲系統(tǒng)有一個(gè)絕對(duì)連續(xù)不變概率測(cè)度（簡(jiǎn)稱為ACIP），那么這個(gè)系統(tǒng)一定是傳遞的，該ACIP是全支撐的，并且關(guān)于該測(cè)度幾乎所有的點(diǎn)的軌道都在整個(gè)流形上稠密。在center bunching的條件下，我們證明這樣的系統(tǒng)至多存在一個(gè)ACIP，并且如果存在的話，這個(gè)測(cè)度其實(shí)是個(gè)光滑的測(cè)度：該

3、測(cè)度相對(duì)于流形體積的Radon–Nikodym 導(dǎo)數(shù)是Holder 連續(xù)的，并且有上界和正的下界。
　　 其次我們考慮一個(gè)有整體控制分解的微分同胚。我們證明這樣的系統(tǒng)一定有非平凡的真子系統(tǒng)，從而一定不是極小系統(tǒng)。這個(gè)證明主要用到了MaN′e的一個(gè)找出非回復(fù)點(diǎn)的手法和廖山濤先生關(guān)于控制分解的篩濾引理和跟蹤引理。
　　 最后我們考慮最一般的一個(gè)可微自映射（一般是不可逆的）。這時(shí)候我們主要考慮該系統(tǒng)的一個(gè)有緊支撐的遍歷測(cè)度的分

4、形維數(shù)。我們證明該測(cè)度的下逐點(diǎn)維數(shù)不少于該測(cè)度的測(cè)度熵與該測(cè)度的最大的Lyapunov指數(shù)的比值。進(jìn)一步，如果我們假設(shè)映射在該測(cè)度的支撐上非退化，并且最小的Lyapunov指數(shù)為正的，那么該測(cè)度的上逐點(diǎn)維數(shù)不超過(guò)該測(cè)度的測(cè)度熵與該測(cè)度的最小的Lyapunov指數(shù)的比值。再利用Young的一個(gè)經(jīng)典的判別法則，我們給出了許多經(jīng)典的維數(shù)型指標(biāo)的類似的估計(jì)。最后我們證明，如果系統(tǒng)有多出的一點(diǎn)正則性（具體地說(shuō)，即C1+α）,那么前面非退化的要求可