擬共形和擬正則映射中的一些問題.pdf

1、上海交通大學(xué)博士學(xué)位論文擬共形和擬正則映射中的一些問題摘要f擬共形和擬正則映射分別自二十世紀(jì)二十年代和六十年代創(chuàng)立以來在復(fù)解析動力系統(tǒng)、Teichmfiller空間和Sobolev空間、偏微分方程、幾何與拓?fù)?、物理和工程技術(shù)等領(lǐng)域有重要應(yīng)用，一直是復(fù)分析中最活躍的分支之一。無論是平面，還是高維，乃至Poe1、1aDp_流形上的擬共形和擬正則映射理論，都一直在蓬勃發(fā)展，并不斷取得新的重要進展。例如，1998年，Heinonen和Koske

2、la在研究擬共形映射得以建塞的空間條件時，引進了Loewner空間的概念，并建立了其上的擬共形艘對理論。7我們知道，Loewller空間和弱Poincar∈不等式得以成立的空間近似等“，它不但包含R”、Heisenberg群和Carnot群、CarnotCarath40dory空間，而且還包括緊致Pdemann流形以及單純復(fù)形。本文主要在這類空間上研究各種映射的性質(zhì)。在第一章中，我們研究了Loewuer空間中雙一Lipschitz映射的

3、“幾何”、“分析”和“距離”三種定義。筒先，我們證明同胚為雙一Lipschitz映射的充要條件是它適合環(huán)模不等式，即同胚對世環(huán)?！北３钟薪缙睢Ｔ摻Y(jié)果既推廣、又改進了R01。d。1997年的工作。他在l：t“上的自同胚有兩個不動點的假設(shè)之下，證明了雙Lipschitz映射的這三種定義等價。我們知道Loewner空間是一類比Rn更廣泛的空間，Rn上的自同胚也不一定有兩個不動點。在這里我們克服了一些困難。因為Rn中的“球環(huán)”拓廣到Loewn

4、er空間時未必是“環(huán)”，而且“環(huán)?！钡亩x也無法照搬過來。我們利用Loewner空間的深刻性質(zhì)一線性局部連通性一來構(gòu)造新的“環(huán)”，并在這種抽象的空間上重新定義了“環(huán)?！钡鹊?。其次，我們還證明了同胚為雙Lipsclzitz映射當(dāng)且僅當(dāng)它對幾乎所有曲線關(guān)于Q模絕對連續(xù)，并且它的極大和極小導(dǎo)數(shù)雙向有界。由于Loewner空間通常是非線性的，它不具有類似于n維Euclid空間的微分結(jié)構(gòu)，因此我們用“極大、極小和體積導(dǎo)數(shù)”以及“對幾乎所有曲線關(guān)于

5、Q模絕對連續(xù)”gr弋了n維Euclid空間中的普通“導(dǎo)數(shù)”和“ACL性質(zhì)”。)、在第二章中，我們首先在Loewner空間中證明同胚為擬對稱映射當(dāng)且僅當(dāng)它保持有界集，并對“環(huán)?！北３?jǐn)M不變性。在彤中，這是一個熟知的結(jié)論。摸次，我們通過體積導(dǎo)數(shù)，引進了擬對稱映射的正則集和內(nèi)伸張系數(shù)的概念，還荊用極大導(dǎo)數(shù)和極小導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，在比0正則Loewner空間更廣泛的Ahlfors，David正則空間中建立了擬對稱映射作用下的Vjis／ili不

6、等式和Gr69zsch。Teichmfiller型模不等式。它們在研究擬共形映射和擬正則映射的局部共形性時起著重要的作用，尤其值得一提的是：Bishop等人運用這些不等式和其它技巧，證明了高維空間擬正則映射的Teichmi[1er—Wittich定理。f』上海交通大學(xué)博士學(xué)位論文SOMEPROBLEMSOFQUASICONFORMALANDQUASIREGULARMAPPINGSABSTRACTQuasi—conformal(abbre

7、viatedqc)andquasi—regular(qr)mappingshavemanyimportantapplicationsincomplexanalyticdynamics，TeichmiillerspacesandSobo[evspacespartialdifferentialequationsgeometryandtopologyphysicsandengineeringtechnologysinceitwasfounde

8、dinthe1920’sand1960’SrespectivelytheyhavebeenoneofthemostflourishbranchofcomplexanalysisThetheoriesofqcandqrmappingsnotonlyinplanebutalsoinhigherdimensioneveninPdemanniaamauifoldsaredevelopingquickly，Agreatdealofadvances

9、havebeenobtainedForexamplein1998，HeinonenandKoskelaintroducedtheconceptofLoewnerspaceandestablishedthetheoryofqcmappingsinitwhentheystudiedtheconditionsOilspaceswherethetheoryofqcmappingscanbefoundedWeknowthatLoewnerspac

10、esareapproximatelyequivalenttospaceswhichadmitaweakPoincar6inequalitytheyincludenotonlyR“HeisenbergandCarnotgroupsCarnotCarath60doryspacesbutcompactPdemannianmanifoldsandsimplicialcomplexesInthisthesis、wemainlysfudylhepr

11、opertiesofvariousmappingsOUthesespacesInChapter1westudythe‘geometric““analytic”and“metric”definitionsofbi—LipschitzmapsinLoewnerspacesFirst，weprovethatahomeomorptfismisbi，Lipschitzifandonlyifitsatisfiesamodulusinequality

12、ofringsieitpreservesboundeddistortionformodulusofringsThisresultnotonlygeneralizesbutim—provesHohde‘Sworkobtainedin1997Heprovedthatthesethreedefinitionsofbi—Lipschitzmapsareequivalentundertheassumptionthattheselfhomeomor

13、phisms。fⅣflxtwopointsHoweverweknowthatLoewnerspaceismoregeneralthanR“andaseKhomeomorphismofR“mayhaven’ttwofixedpointsHereweresolvesomeproblemsBecausethe”sphericalrings’’inR“maynotberingsanylongerwhentheyaregeneralizedtoL