一般形式積分方程解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì).pdf

1、在這篇文章中,我們研究方程
　　 u(x)=∫Rn1/|x-y|n-af(y,u(y))dy
　　 在一般情境下的解的性質(zhì).證明了解的正則性、對稱性和單調(diào)性,也證明了積分方程(0-1)和微分方程
　　 (-△)a/2u=f(x,u(x))(0-2)
　　 之間的等價性,并由此得到了相關(guān)的幾個推論.
　　 我們主要的結(jié)論是
　　 定理1 設(shè)u∈Lq(Rn)是方程(0-1)的—個解,當(dāng)q>n/

2、n-a并且
　　 ∫Rn|f(y,u(y))/u(y)|n/a<∞和|f(x)|≤C|u(x)|k,這里k>n/n-a.
　　 那么u(x)屬于L∞(Rn)空間,因此是連續(xù)的.
　　 定理2 設(shè)u∈Lq(Rn)是方程(0-1)的一個解,對于某個q>n/n-a,
　　 假設(shè)有
　　 i)f(x,u)和(δ)f/(δ)u關(guān)于u是嚴(yán)格單調(diào)增的,
　　 ii)∫Rn|(δ)f/(δ)u(y,u(y

3、))|n/ady<∞,和
　　 iii)f(x,u)在x1-方向上關(guān)于原點是對稱并且單調(diào)減的.
　　 那么u在x1-方向上關(guān)于原點是對稱并且單調(diào)減的.
　　 推論1設(shè)u∈Lq(Rn)是方程(0-1)的一個解,并且滿足定理二中的條件i)和ii).另外,假設(shè)f=f(|x|,u)和f關(guān)于|x|嚴(yán)格單調(diào)減,那么u在Rn上關(guān)于原點是徑向?qū)ΨQ并且單調(diào)減的.
　　 推論2設(shè)u∈Lq(Rn)是方程(0-1)滿足定理2中條

4、件I)和ii)的—個解,如果f=f(u),那么方程的解u在Rn關(guān)于某點徑向?qū)ΨQ并單調(diào)減.
　　 推論3方程(0-1)的任意一個解乘以某一個常數(shù)也是-△a/2u=f(x,u(x))的弱解,反之亦然.
　　 定理3 方程(0-1)的任意一個解乘以某一個常數(shù)C是方程
　　 -△a/2u=f(x,u(x))的—個弱解,反之亦然.
　　 本文在第三部分,用正則性提升定理證明了解的正則性,運用移動平面法的思想證明了解