狄氏型的擾動及其對應(yīng)的位勢與無窮小生成元.pdf

1、狄氏型與半群、預(yù)解式的一一對應(yīng)關(guān)系，為我們研究算子半群及其拉普拉斯變換后得到的預(yù)解式的一些性質(zhì)提供了一種便利和可應(yīng)用的工具，而半群及其無窮小生成元與微分方程之間的密切聯(lián)系也讓我們對隨機(jī)過程有了某種更直觀的認(rèn)識。而有關(guān)Feynman-Kac半群的研究一直以來都是數(shù)學(xué)和物理學(xué)家們共同感興趣的研究課題。 本文主要討論與廣義的Feynman-Kac半群聯(lián)系的擾動型、相應(yīng)的位勢及以及廣義Feynman-Kac半群的無窮小生成元(見圖1-3

2、)。定義經(jīng)符號光滑測度“擾動狄氏型(ε，D(ε))及其半群得到的擾動型(ε<'u>，D(ε<'u>))及廣義的Feynman-Kac半裙如下：我們的出發(fā)點(diǎn)是想得到像對稱狄氏型一樣的結(jié)果：擾動型的下半有界與廣義Feynman—Kac半群的強(qiáng)連續(xù)等價。然而我們發(fā)現(xiàn)非對稱狄氏型經(jīng)光滑測度擾動后的情況是相當(dāng)復(fù)雜的，具體來說連非對稱無窮小生成元的譜分解以筆者的知識水平都無從談起。不過仍然可以得到非對稱情況下的廣義預(yù)解方程(見引理3．1．1)，本文

3、正是運(yùn)用廣義預(yù)解方程，通過比較兩個α-過分函數(shù)的大小關(guān)系的思想，得到了有關(guān)擾動型與相應(yīng)的位勢以及廣義Feynman-Kac半群的無窮小生成元之間的關(guān)系。 第一章，我們給出本文涉及到的基本的概念和記號，描述本文的背景以及主要結(jié)果，并在第二節(jié)中給出一些前人的研究成果。在第二章中我們證明了(ε，D(ε))經(jīng)光滑測度μ擾動后的擾動型(ε<'u>，D(ε<'u>))仍是狄氏型(見定理2．2．1)，并得到U<'A>即為與狄氏型(ε

4、<'u>，D(ε<'u>))對應(yīng)的相對核(見定理2．2．2)，還得到對任意的p>0，ε<'pu><,a>作用在U<'ap><,tA>上類似于ε<'a>作用在位勢函數(shù)U<'a><,A>上以及更一般的一個結(jié)果(見定理2．3．1以及注2．3．3)。而在第三章中我們主要討論符號光滑測度“對非對稱狄氏型的擾動。與對稱狄氏型的情況平行，我們得到了U<'a+u>(L<'2>(E；m))D(ε<'u>)的充分條件以及D(L<'u>)在L<'2>(E；m