保正半群的h(_h)-變換,廣義狄氏型的擾動及相關(guān)問題的研究.pdf

1、從1957年Doob，L.J.考慮并構(gòu)造條件布朗運(yùn)動開始(見[30])，Doob-h-變換一直是很多學(xué)者關(guān)心的問題(見[6，25，32，36，62，65，66，81]等及其參考文獻(xiàn))。任給一對L2(E；m)上的有保正性的強(qiáng)連續(xù)壓縮對偶半群(Tt)t>0和(Tt)t>0，通過它們的一對α-過分函數(shù)h及共軛-α-過分函數(shù)h對它們做hh-變換，本文得到一對L2(E；hh·m)上的強(qiáng)連續(xù)壓縮的次馬氏半群(Tht)t>0和(Tht)t>0(見定理

2、2.2.1，定理2.2.2)，并且得到它們在新的空間L2(E；hh·m)上是對偶的(見定理2.2.3)，還分析了它們的無窮小生成元(見命題2.2.1及命題2.2.2)。特別地，如果(Tt)t>0和(Tt)t>0中的一個(不妨設(shè)(Tt)t>0)有次馬氏性，則我們得到一對L2(E；h·m)上的對偶的強(qiáng)連續(xù)壓縮次馬氏半群(e-αtTt)t>0和(Tht)t>0(見定理2.2.4)。最后在擬正則狄氏型框架下，本文給出了(Tt)t>0和(Tt)t

3、>0在一定意義下結(jié)合一對右過程的充要條件為其聯(lián)系的保正型(ε，D(ε))是擬正則的，進(jìn)而得到這對右過程在新的測度hh·m下是弱對偶的，并且滿足一般的Hunt-假設(shè)：從幾乎所有點(diǎn)出發(fā)都不能立即到達(dá)的集合永遠(yuǎn)不能到達(dá)(即是ε-例外集)(見定理2.2.6)。特別地，當(dāng)(Tt)t>0和(Tt)t>0聯(lián)系著一個擬正則半狄氏型時，也有類似的結(jié)果(見定理2.2.7)。
　　 擬正則狄氏型與右過程的一一對應(yīng)關(guān)系(見[14，52，53]等)，為研

4、究經(jīng)典的位勢論及隨機(jī)分析提供了一個有力的工具。狄氏型的擾動以及與之緊密聯(lián)系的算子擾動以及廣義Feynman-Kac半群等，一直是國際上狄氏型及其相關(guān)領(lǐng)域的一個研究熱點(diǎn)。而有關(guān)廣義狄氏型的符號光滑測度擾動卻一直沒多少人討論，在這個問題上本文做了一些探討，給出了擾動后的二次型仍然是廣義狄氏型的幾個充分條件(見定理3.2.1，定理3.2.2，定理3.2.3)，以及擾動后的廣義狄氏型結(jié)合馬氏過程的充分條件(見定理3.2.5)。特別地，本文還研究

5、了非對稱狄氏型擾動的相關(guān)問題。任給一個非對稱的擬正則狄氏型，本文研究了一類特殊的位勢項，得到它們是擬連續(xù)的，并且刻畫了這類特殊的位勢項在擾動后狄氏型定義域中的充分條件(見定理3.3.1)；然后利用這一結(jié)果直接證明了兩個常用的轉(zhuǎn)換等式(見命題3.3.1)。
　　 在最后一章中，本文綜合利用h-變換，狄氏型擾動以及Girsanov變換三種方法，刻畫了布朗運(yùn)動零能量可加泛函的漸近性(見定理4.2.3)。
　　 下面我們按章節(jié)順

6、序簡單敘述一下本文的主要內(nèi)容。
　　 第一章第一節(jié)敘述本文的研究背景及主要研究結(jié)果；第二節(jié)介紹一些基本概念及一些已有的結(jié)論。
　　 第二章第一節(jié)給出保正型的h-變換的一些最新結(jié)果并引入本文要解決的問題。第二節(jié)首先定義了L2(E；m)空間上保正半群(Tt)t>0和(Tt)t>0的hh-變換：容易驗證變換后的半群都有次馬氏性，然后我們證明了(Tht)t>0和(Tht)t>0分別是L1(E；hh·m)和L∞(E；hh·m)上的

7、壓縮算子(見命題2.2.1)，再利用Riesz-Thorin插值定理，得到它們都是L2(E；hh·m)上的壓縮算子(見命題2.2.1)，進(jìn)而證明它們都是L2(E；hh·m)上的強(qiáng)連續(xù)壓縮的對偶半群(見定理2.2.1，定理2.2.2，定理2.2.3)。最后在擬正則狄氏型框架下，本文給出了(Tt)t>0和(Tt)t>0在一定意義下結(jié)合一對對偶右過程的充要條件(見定理2.2.6)。特別地，對于一對與擬正則半狄氏型結(jié)合的半群，我們得到了類似的結(jié)

8、果。
　　 第三章研究廣義狄氏型的擾動，并探討了非對稱狄氏型擾動后的一類位勢項的性質(zhì)。第一節(jié)，我們簡單敘述廣義狄氏型以及非對稱狄氏型擾動的研究背景。第二節(jié)主要研究如下形式的廣義狄氏型的擾動：得到當(dāng)μ屬于Hardy-類的光滑測度時，擾動后的二次型εμ的定義域以及范數(shù)保持不變(見引理3.2.1)，且εμ仍然是廣義狄氏型(見定理3.2.1)；還給出了當(dāng)μ是符號光滑測度時，εμ是廣義狄氏型的充分條件(見定理3.2.3)，及這個廣義狄氏型

9、結(jié)合右過程的一個充分條件(見定理3.2.5)。在第三節(jié)中，設(shè)(X，X)為與擬正則的(非對稱)狄氏型(ε，D(ε))聯(lián)系的一對對偶的馬氏過程。μ為光滑測度，對任意的f∈L2(E；μ)，任意實數(shù)α，p>0，定義如下位勢項：我們得到Uα+PμAf以及Uα+PμAf是擬連續(xù)的并且在擾動后的狄氏型定義域D(εμ)中(見定理3.3.1)；進(jìn)而利用狄氏型理論得到了兩個轉(zhuǎn)換等式(見命題3.3.1)，并給出了該結(jié)果的一個應(yīng)用(見命題3.3.2)：當(dāng)一對對

10、偶過程(X，X)聯(lián)系著一個狄氏型時，任給一個光滑測度μ及其唯一對應(yīng)的正的連續(xù)可加泛函At以及At，(Y，Y)是分別由At以及At誘導(dǎo)的(X，X)的時間變換過程，則Y和Y是L2(E：μ)上的一對對偶的右過程。
　　 第四章主要給出h-變換以及狄氏型的擾動在廣義Feymnan-Kac泛函的漸近性以及對偶過程時間變換等方面的應(yīng)用，得到如下結(jié)果(見定理4.2.3)：如果L-ut是鞅，u有界，▽u∈Kd-1，||E[eM-ut]||q<∞