多孔介質(zhì)流體的數(shù)值方法及其分析與計(jì)算.pdf

1、多孔介質(zhì)中的流體流動(dòng)過程廣泛應(yīng)用于人們生產(chǎn)和生活的各個(gè)方面,大到油氣田的生產(chǎn)開發(fā)、地下水源污染狀況的預(yù)測(cè)與治理、海水入侵、為減緩氣候變暖而實(shí)施的二氧化碳地下埋存、衛(wèi)星和電動(dòng)汽車的燃料電池的設(shè)計(jì)、以及生物數(shù)學(xué)和醫(yī)學(xué)的應(yīng)用,小到嬰兒尿片的設(shè)計(jì)、照片和紙張中油墨的分布、高級(jí)防寒服及鞋的設(shè)計(jì)等等,所以對(duì)多孔介質(zhì)中流體流動(dòng)的研究引起了包括數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、環(huán)境、生物和醫(yī)學(xué)等許多領(lǐng)域的研究人員的興趣,而且他們的研究工作也在逐漸影響和改變著人們的生活

2、.
　　 我們知道流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)的過程中會(huì)發(fā)生多種復(fù)雜的物理化學(xué)變化,而用來描述這些變化的數(shù)學(xué)模型通?？蓺w結(jié)為依賴時(shí)間的強(qiáng)耦合的非線性偏微分方程組,特別是隨著科學(xué)與工程的迅速發(fā)展以及計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的提高,我們?cè)絹碓揭庾R(shí)到該方程組的解的結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜,而且解本身具有動(dòng)態(tài)的變化劇烈的界面.尤其是界面周邊的區(qū)域往往是物理和化學(xué)變化最為強(qiáng)烈的地方,所以需要準(zhǔn)確的求解；但是由其自身的復(fù)雜性,必然會(huì)給數(shù)值模擬帶來這樣那樣的困難.那么如何

3、采取更有效的數(shù)值方法,使得問題的物理過程得到更加直觀的模擬,進(jìn)而為工業(yè)生產(chǎn)提供理論基礎(chǔ)和科學(xué)依據(jù),這是數(shù)學(xué)科研工作者需要共同面對(duì)的任務(wù).
　　 本文主要針對(duì)由多孔介質(zhì)中流體流動(dòng)過程(當(dāng)然也包括其它問題)的數(shù)學(xué)模型所確定的依賴時(shí)間的對(duì)流擴(kuò)散方程或耦合的偏微分方程組做了部分研究工作,其中包括構(gòu)造合理有效的數(shù)值算法,然后對(duì)數(shù)值算法進(jìn)行理論分析,并通過科學(xué)計(jì)算加以驗(yàn)證.雖然在算法的構(gòu)造和分析過程中我們主要考慮一般的對(duì)流擴(kuò)散方程或方程組(

4、就是說不假定這些問題必須出現(xiàn)于多孔介質(zhì)流體),但是會(huì)不時(shí)地回顧多孔介質(zhì)流體的應(yīng)用背景,這樣可以更加明確這些模型的物理及數(shù)學(xué)特性,從而有助于我們有針對(duì)性地構(gòu)造有效的算法及進(jìn)行分析與計(jì)算.因?yàn)樯婕暗降膯栴}面比較廣,所以具體問題的實(shí)際研究背景我們?cè)诰唧w的章節(jié)中再做詳細(xì)的介紹.
　　 本文的主要內(nèi)容可分為四部分:第一部分基于實(shí)際應(yīng)用的物理背景,構(gòu)建了本文要討論的數(shù)學(xué)模型.第二部分到第四部分是本文的主體,其中第二部分主要討論依賴時(shí)間的對(duì)流

5、擴(kuò)散方程,我們?yōu)槠錁?gòu)造了多種數(shù)值算法,并通過理論分析,獲得了許多重要的分析結(jié)果,比如關(guān)于小參數(shù)一致的最優(yōu)誤差估計(jì)、關(guān)于退化系數(shù)一致的最優(yōu)誤差估計(jì)和間斷有限元方法的最優(yōu)誤差估計(jì)等等.第三部分的研究對(duì)象是由依賴時(shí)間的對(duì)流擴(kuò)散方程和壓力方程組成的耦合偏微分方程組,我們?yōu)槠錁?gòu)造了數(shù)值方法,并做了相應(yīng)的理論分析.第四部分主要介紹針對(duì)近年來逐漸引起研究者興趣的新數(shù)學(xué)模型而構(gòu)造的數(shù)值算法,其中包括多尺度對(duì)流擴(kuò)散方程的多尺度拉格朗日方法、含界面的對(duì)流擴(kuò)

6、散方程的特征線浸入有限元方法和分?jǐn)?shù)階偏微分方程的快速算法.
　　 下面我們?cè)敿?xì)介紹各部分的主要內(nèi)容.
　　 第一部分也就是本文的第一章,建立本文要討論的數(shù)學(xué)模型,主要包括兩方面內(nèi)容:§1.1討論多孔介質(zhì)中的流體的混融驅(qū)動(dòng)問題,推導(dǎo)描述混溶驅(qū)動(dòng)問題的由依賴時(shí)間的對(duì)流擴(kuò)散方程和壓力方程組成的耦合非線性偏微分方程組,本文中大部分?jǐn)?shù)值方法的分析和計(jì)算都是針對(duì)這個(gè)模型展開的；在§1.2中我們介紹近年來多孔介質(zhì)流體領(lǐng)域中在數(shù)學(xué)模型方

7、面的最新進(jìn)展,包括多尺度問題和分?jǐn)?shù)階的偏微分方程.
　　 第二部分包括從第二章到第六章的內(nèi)容,主要研究依賴時(shí)間的對(duì)流擴(kuò)散方程的數(shù)值方法的開發(fā)、分析與計(jì)算.首先需要聲明的是,雖然這部分我們討論的是線性的對(duì)流擴(kuò)散方程,但我們的研究目標(biāo)還是求解第一章建立的耦合系統(tǒng)(1.1.10)-(1.1.11)中的擬線性對(duì)流擴(kuò)散方程(1.1.11).因?yàn)榻?jīng)過第七章的有效線性化以后,在每個(gè)離散時(shí)間步上原擬線性對(duì)流擴(kuò)散方程(1.1.11)都可視為依賴時(shí)

8、間的線性對(duì)流擴(kuò)散方程,所以這一部分的所有數(shù)值方法原則上都可以用來求解耦合方程組(1.1.10)-(1.1.11).第二部分的工作分如下幾個(gè)課題:
　　 (1)為了讓大家更清晰的了解歐拉-拉格朗日方法,在第二章我們集中介紹各種歐拉-拉格朗日方法,其中包括修正的特征線方法(MMOC)、調(diào)整對(duì)流項(xiàng)的修正特征線方法(MMOCAA)和歐拉-拉格朗日局部共軛方法(ELLAM).
　　 (2)第三章證明依賴時(shí)間的對(duì)流擴(kuò)散方程的歐拉-拉

9、格朗日方法和Galerkin有限元方法關(guān)于小參數(shù)ε一致的最優(yōu)誤差估計(jì).雖然已經(jīng)有大量文獻(xiàn)討論依賴時(shí)間的對(duì)流擴(kuò)散方程的歐拉-拉格朗日方法的誤差估計(jì),但是這些誤差估計(jì)中的一般常數(shù)往往與小參數(shù)ε有關(guān),當(dāng)ε很小時(shí),常數(shù)會(huì)變得很大,從而消弱誤差的收斂速度.
　　 (3)在第四章中我們討論依賴時(shí)間的系數(shù)退化的對(duì)流擴(kuò)散方程,獲得歐拉-拉格朗日方法關(guān)于退化系數(shù)一致的最優(yōu)誤差估計(jì).由于多孔介質(zhì)的非均質(zhì)性,對(duì)流擴(kuò)散方程的擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)在有些地方往往會(huì)發(fā)

10、生退化,結(jié)果導(dǎo)致所有依賴于擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)的正下界的誤差分析[31,106,109]的意義大打折扣.在§4.2中我們證明在強(qiáng)正則性條件下不依賴于擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)的下界的誤差估計(jì),該估計(jì)在一般區(qū)域上當(dāng)Couran七數(shù)有正下界時(shí)可以達(dá)到最優(yōu)階；否則可以達(dá)到(不可改進(jìn)的)次最優(yōu)階；§4.3利用解的穩(wěn)定性和插值空間理論,在弱正則性條件下,給出初始函數(shù)和右端函數(shù)在Besov空間范數(shù)意義下的關(guān)于退化系數(shù)一致的誤差估計(jì).
　　 (4)第五章證明多維空間一

11、般邊界條件下依賴時(shí)間的對(duì)流擴(kuò)散方程在非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上的ELLAM方法的最優(yōu)誤差估計(jì).許多歐拉一拉格朗日方法在多維空間區(qū)域上針對(duì)對(duì)流擴(kuò)散方程的誤差分析,要么要求空間區(qū)域是特殊區(qū)域,比如矩形區(qū)域,要么要求對(duì)流擴(kuò)散方程是在特殊的邊界條件下,比如周期性邊界條件或noflow邊界條件.這些限制條件極大地消減了方法的實(shí)用性,而本章中我們將對(duì)多維空間中任意凸區(qū)域上一般邊界條件下的對(duì)流擴(kuò)散方程構(gòu)造ELLAM數(shù)值方法,證明L2范數(shù)意義下的最優(yōu)誤差估計(jì)和能量范

12、數(shù)意義下的超收斂估計(jì),而且需要強(qiáng)調(diào)的是所用的空間網(wǎng)格剖分只需要是擬一致的網(wǎng)格剖分.
　　 (5)在第六章中我們證明依賴時(shí)間的對(duì)流擴(kuò)散方程和對(duì)流反應(yīng)方程的特征線間斷有限元方法的最優(yōu)誤差估計(jì).§6.2針對(duì)對(duì)流擴(kuò)散方程構(gòu)造幾種特征線間斷有限元方法,而且證明它們的最優(yōu)L2誤差估計(jì)；在§6.3中我們?yōu)閷?duì)流-反應(yīng)方程構(gòu)造不受CFL條件限制的特征線間斷有限元方法,而且通過數(shù)值算例驗(yàn)證該算法的模擬效果；除此之外,我們還要考慮多維空間的擴(kuò)散方程的

13、非對(duì)稱間斷有限元方法,并且通過理論分析得到它的最優(yōu)L2誤差估計(jì).
　　 第三部分也就是本文的第七章,證明依賴時(shí)間的耦合的擬線性方程組(1.1.10)-(1.1.11)的混合有限元方法(MFEM)的最優(yōu)誤差估計(jì)和超收斂估計(jì).事實(shí)上,早在1983年Ewing等[42]就已經(jīng)提出了使用特征線方法和混合有限元方法相結(jié)合的辦法來求解該耦合方程組,而且他們也證明了最優(yōu)的誤差估計(jì),但是他們的證明對(duì)Courant數(shù)有嚴(yán)格的限制,只有當(dāng)Coura

14、nt數(shù)很小的時(shí)候才成立；而且該限制條件幾乎成為后續(xù)研究的一個(gè)必要條件,這與我們從數(shù)值試驗(yàn)觀察到的結(jié)果不吻合.在§7.2中,我們要放松這個(gè)限制條件,而且證明最優(yōu)的誤差估計(jì)；在§7.3中我們還證明壓力方程(1.1.10)沿高斯線的超收斂估計(jì).
　　 第四部分包含本文的最后三章,主要介紹針對(duì)近年來逐漸引起研究者興趣的新數(shù)學(xué)模型而構(gòu)造的數(shù)值算法.因?yàn)榈刭|(zhì)結(jié)構(gòu)中具有許多不同尺度的裂縫,第八章和第九章分別針對(duì)其中的微小裂縫和中等尺度的裂縫構(gòu)

15、造多尺度拉格朗日方法和特征線浸入有限元方法.第九章的討論對(duì)象是分?jǐn)?shù)階的偏微分方程,由于空間分?jǐn)?shù)階偏導(dǎo)數(shù)的非局部性,分?jǐn)?shù)階偏微分方程的有限差分方法的系數(shù)矩陣是一個(gè)滿陣,從而計(jì)算時(shí)需要耗費(fèi)極大的計(jì)算量和存儲(chǔ)量；為了克服這個(gè)困難,我們嘗試構(gòu)造分?jǐn)?shù)階偏微分方程的快速算法,以此降低計(jì)算和存儲(chǔ)的消耗,而且通過數(shù)值試驗(yàn)證明該快速算法能夠達(dá)到與一般算法同樣的計(jì)算精度.
　　 總結(jié)上述內(nèi)容,本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下:
　　 ●首次證明了依賴時(shí)

16、間的對(duì)流擴(kuò)散方程的歐拉-拉格朗日方法關(guān)于小參數(shù)一致的最優(yōu)誤差估計(jì)[王1、4、5、14、21](說明:本文中[王n]代表附錄中攻讀博士學(xué)位期間本人完成論文情況的列表中的第n篇文章).
　　 ●首次證明了依賴時(shí)間的退化的對(duì)流擴(kuò)散方程的歐拉-拉格朗日方法關(guān)于退化系數(shù)一致的最優(yōu)誤差估計(jì)[王8、16].
　　 ●首次證明了依賴時(shí)間的對(duì)流擴(kuò)散方程的Galerkn有限元方法關(guān)于小參數(shù)一致的最優(yōu)誤差估計(jì)[王19].
　　 ●首次

17、證明了一般區(qū)域上一般邊界條件下的依賴時(shí)間的對(duì)流擴(kuò)散方程的歐拉-拉格
　　 朗日局部共軛方法(ELLAM)的最優(yōu)誤差估計(jì)[王17].
　　 ●首次證明了依賴時(shí)間的對(duì)流擴(kuò)散方程的特征線間斷有限元方法的最優(yōu)誤差估計(jì)[王2、6].
　　 ●首次證明了多維空間的擴(kuò)散方程的非對(duì)稱間斷有限元方法在L2范數(shù)下的最優(yōu)誤差估計(jì)[王7].
　　 ●首次在合理的網(wǎng)格比條件下證明了依賴時(shí)間的耦合擬線性方程組的混合有限元方法的最優(yōu)誤

18、差估計(jì)和超收斂估計(jì)[王11].
　　 ●對(duì)依賴時(shí)間的多尺度的對(duì)流擴(kuò)散方程首次構(gòu)造了多尺度拉格朗日方法,并且通過數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的精度[王9、13].
　　 ●對(duì)含界面的對(duì)流擴(kuò)散方程構(gòu)造了特征線浸入有限元方法,并且首次證明了它的最優(yōu)誤差估計(jì).
　　 ●對(duì)依賴時(shí)間的分?jǐn)?shù)階的對(duì)流擴(kuò)散方程首次構(gòu)造了一種可極大地減少計(jì)算量和存儲(chǔ)量的快速算法,并且通過數(shù)值算例驗(yàn)證了該算法的優(yōu)越性[王18].
　　 由于篇幅限制,