凸體體積比與等周不等式.pdf

1、凸體幾何是現(xiàn)代幾何學的-個重要分支。等周不等式是凸體幾何中最重要的不等式之一，關(guān)于其逆的研究涉及到John定理和卷積不等式等內(nèi)容。體積比是聯(lián)系Banach-Mazur距離和John定理的橋梁，體積比的估計在逆等周不等式的研究中起到了關(guān)鍵作用。Young不等式的幾何推廣使得用卷積具有了幾何意義。 本碩士論文以凸體的體積比和等周不等式為主要研究內(nèi)容。在第一章的前半部分我們介紹了凸幾何分析的發(fā)展以及一些著名數(shù)學家所作的工作，第一章的后

2、半部分介紹了我們所做的一些工作。 著名數(shù)學家F.John在1948年證明了凸體內(nèi)部最大體積橢球的存在性和唯一性，這是許多后來工作的重要基石之一。在Ball和Barthe等人所作工作的基礎(chǔ)上，我們得到了對稱凸體與其投影、截面的體積比的關(guān)系，這是第二章第二節(jié)的主要內(nèi)容。在第三節(jié)中，我們利用Santaló不等式以及其反向形式，證明了體積比的類似不等式。在第四節(jié)中我們證明了單形和超立方體體積比的漸進性質(zhì)。此外，在第六節(jié)中我們得到了關(guān)于凸