凸體及星體的不等式與極值問題.pdf

1、摘要本文首先介紹凸體幾何的發(fā)展歷史和各主要研究方向的發(fā)展概況，本博士論文以研究一般凸體、星體以及單形和超平行體等特殊類凸體的度量不等式和極值問題為主要內(nèi)容，研究工作分為兩個方面.一方面是利用幾何分析的漸近理論、局部理論和積分變換方法研究一般凸體和星體的度量不等式和極值間題，由第二章和第三章構(gòu)成.由于PettySchneider間題是凸體幾何中一個熱點(diǎn)問題，第二章首先推廣PettySchneider問題到二般的均質(zhì)積分情形Ball在研究P

2、ettySchneider問題時討論了球和立方體的截面性質(zhì)，受Bal思想的啟發(fā)，我們給出了球的截面的兩個新的度量不等式關(guān)于凸體的BrunnMinkowski不等式是凸體理論的精髓，混合投影體的BrunnMinkowski不等式也由Lutwak所證明，我們則證明了投影體的極體的BrunnMinkowski型不等式.星體的對偶BrunnMinkowski理論是上世紀(jì)70年代產(chǎn)生的新興研究領(lǐng)域，第三章我們建立了星體對偶均質(zhì)積分的兩個新型不等式

3、，它們形式上類似于正實(shí)數(shù)的初等對稱函數(shù)的MarcusLopes不等式和Bergstrom不等式，也類似于行列式的FanKy不等式。此外，我們還證明了星體的對偶混合均質(zhì)積分和對偶混合P一均質(zhì)積分的相關(guān)性質(zhì)。另一方面的工作是利用外微分和代數(shù)的方法研究一些特殊類的凸體(如單形、超平行體等)的度量不等式和極值性質(zhì)，這方面的研究工作由第四章、第五章和第六章構(gòu)成凸體的混合體積為幾何中的各類度量提供了統(tǒng)一的處理模式，它是有限個凸體的連續(xù)函數(shù)，本文第四

4、章引入凸體混合體積的離散形式，兩個有限向量集的混合體積的概念，同時利用外微分為工具證明了向量集的混合體積與由兩向量集分別張成的平行體體積之間的一個強(qiáng)有力的不等式CayleyMenger行列式是解決有限點(diǎn)集不等式和嵌入問題的極好工具，我們則定義了兩個點(diǎn)集的混合CayleyMenger行列式，獲得了混合CayleyMenger行列式與向量集的混合體積以及兩個單形體積乘積之間的關(guān)系，這個關(guān)系式容量大，包含了不少的經(jīng)典度量關(guān)系和近期被發(fā)現(xiàn)的新結(jié)

5、果我們還引入兩個單形的混合距離矩陣的概念，證明了它的行列式與兩單形的外徑的等量關(guān)系.在第四章最后，利用我們獲得的主要結(jié)論簡潔地證明了如單形的正弦定理和平行體的Hadamard不等式的逆形式等一些著名的結(jié)論.第五章的任務(wù)是利用一個分析不等式和楊路一張景中質(zhì)點(diǎn)組不等式和權(quán)變換的方法把關(guān)于兩個三角形的Klamkin不等式推廣到高維空間，同時建立一系列的涉及單形的體積、各面面積、任意點(diǎn)到單形的各頂點(diǎn)距離的新的不等式.第六章我們利用外微分的方II

6、IAbstractThedevelopmentsurveyandmainresearchdirectionsofconvexgeometryarepresentedinthepreface.ThisPh.D.dissertationresearchtheinequalitiesandextremumpropertiesforconvexbodiesstarbodiesandsomespecificconvexbodiessuchassi

7、mplitiesandparallelotopes.Theresearchworksofthisthesisconsistsoftwoparts.Inthefirstaspectsomeinequalitiesandextremumpropertiesareestablishedbyapplyingtheproblemhasasymptotictheorylocaltheoryandintegraltransforms.ThePetty

8、Schneiderattractedtheattentionofthoseworkingingeometry.Chapter2extendPettySchneidertheoremforprojectionbodies(zonoids)toquermassintegrals.Twoinequalitiesforsectionsofcenteredbodiesaregivenwhicharemotivatedbythesocalledhy

9、perplaneconjectureforconvexbodies.TheclassicalBrunnMinkowskisinequalityistheheartofconvexbodies七h(yuǎn)eory.TheBrunnMinkowskisinequalityformixedprojectionbodieswasobtained場Lutwak.WefindtheBrunnMinkowskisinequalityforthepolarof

10、mixedprojectionbodies.ThedualBrunnMinkowskitheoryearnsitsplaceasanessentialtoolingeometrictomography.InChapter3theinequalitiesaboutthedualquermassintegralsofstarbodiesinR“areestablishedwhichareanaloguenotonlytoMarcusLope

11、ssinequalityandBergstromsinequalityforelementarysymmetricfunctionsofpositiverealsbutalsotoFanKysinequalityfordeterminant.OntheotherhandthedualmixedQuermassintegralsandthedualmixedpQuermassintegralssaeintroduced.Wegeneral

12、izethedualBrunnMinkowskiTheory.TheotherpartoftheresearchworkispresentedinChapter4Chapter5andChapter6.Wefindtheinequalitiesandextremumpropertiesforspecificconvexbodiessuchassimpliciesandparalelotopesbyemployingtheexterior

13、differentialmethodsandalgebraicmeans.Thetheoryofmixedvolumesprovidesaunifiedtreatmentofvariousimportantmetricquantitiesingeometrysuchasvolumesurfaceareaandmeanwidth.Chapter4introducetheconceptofthemixedvolumeoftwofinitev

14、ectorsetsinRn.whichcanberegardasthediscreteformofmixedvolumeoftwoconvexbodies.Annewandpowerfulinequalityassociatingwiththemixedvolumeoftwofinitevectorsetsisobtained.TheCayleyMengerdeterminanthasprovedextraordinarilyusefu