抽象空間中非線性Volterra泛函微分方程的數(shù)值穩(wěn)定性分析.pdf

1、泛函微分方程廣泛出現(xiàn)于生物學、物理學、經濟及社會學、控制論及工程技術等諸多領域．其算法理論的研究對推動這些科技領域的發(fā)展無疑非常重要．近年來，泛函微分方程，特別是其特例一延遲微分方程的算法理論的研究得到了很大發(fā)展，獲得了豐碩成果，這些成果可參見Barwell，Bellen，Toreli，Zennaro,Spijker, Watanabe,Roth,in’t Hout，Baker,Paul，koto，Iserles以及李寺佛，匡蛟勛，劉明

2、珠，黃乘明，張減堅，田紅炯，胡廣大，甘四清等人的工作．但這些工作局限于討論有限維內秘空間中的初值問題，是以內秘范數(shù)和單邊Lipschitz條件為基礎的．然而，科學與工程技術中還存在大量剛性問題，盡管問題本身是整體良態(tài)的，但當使用內積范數(shù)時，其最小單邊Lipschitz常數(shù)卻小可避免地取非常巨大的正值．因此，突破內積范數(shù)和單邊Lipschitz常數(shù)的局限去建立泛函微分方程及其數(shù)值方法的理論是一項非常迫切而又富有意義的工作． 本文研

3、究求解Banach空間中Volterra泛函微分方程的幾類常用數(shù)值方法的非線性穩(wěn)定性以及Hilbert空間中Voterra泛函微分方程及其數(shù)值方法的散逸性．所獲主要結果如下： (1)提出了Banach空間中的Volterra泛函微分方程試驗問題類Dλ+(α,β,μ1,μ2)和Dλ+δ（α，β，μ1，μ2),獲得了理論解的一系列穩(wěn)定性結果，并獲得了Do(α,β,μ1,μ2)類問題的基于對數(shù)矩陣范數(shù)的條件估計．這些結果是文獻中已有的

4、關于Banach空間中常微分方程初值問題類K（μ，λ＊）和K（μ，λ＊，δ）及泛函微分方程問題類Do（α，β，μ1，μ2)的相應結果的推廣. (2)獲得了求解Banach空間中Do,o（α，β，μ1，μ2)類非線性Volterra泛函微分方程初值問題的θ-方法的一系列數(shù)值穩(wěn)定性結果．這些結果適用于延遲微分方程，秘分微分方程及實際問題中遇到的各種類型的泛函微分方程，同時還包含當α+β>0時的穩(wěn)定性結果，因而比文獻中已有的關于θ-方

5、法的數(shù)值穩(wěn)定性結果更為一般和深刻．同時還首次給出了Banach空間中非線性Volterra泛函微分方程θ-方法的數(shù)值漸近穩(wěn)定性結果． (3)建立了一類求解Banach空間中Dλ+(α,β,μ1,μ2)和Dλ+δ（α，β，μ1，μ2)類非線性volterra泛函微分方程初值問題的變系數(shù)線性多步方法及顯式和對角隱式Runge-Kutta方法的數(shù)值穩(wěn)定性準則，首次將文獻中已有的關于Banach空間中常微分方程數(shù)值方法相應的數(shù)值穩(wěn)定性結

6、果成功地推廣刮一般的Volterra泛函微分方程初值問題的情形． 據我們所知，僅僅對于有限維空間中延遲微分方程的特殊情形，Bellen發(fā)表過關于對角分裂Runge-Kutta方法在最大范數(shù)下保持微分方程收縮性的一篇論文，除此之外，此前國內外尚未見刮與上述（2），（3）兩項同類的研究工作． 應當強調指出，即使按內積范數(shù)其單邊Lipschjtz常數(shù)十分巨大的問題仍有可能屬于Dλ+(α,β,μ1,μ2)和Dλ+δ（α，β，μ1

7、，μ2)問題類，因而本文中所獲得的上述結果對于這些問題同樣是適用的． （4）首次研究了Hilbert空間中非線性Volterra泛函微分方程的散逸性，獲得了泛函微分方程本身散逸的充分條件．為非線性常微分方程，延遲微分方程，積分微分方程等各類泛函微分方程的散逸性研究提供了統(tǒng)一的理論基礎．我們發(fā)現(xiàn)，將上述一般理論應用于延遲微分方程所獲得的散逸性結果比文獻中已育的僅適用于常延遲、單延遲及α,β為常數(shù)的特殊情形的相應結果更加一般和深刻，