非線性中立型泛函微分方程數(shù)值分析.pdf

1、中立型泛函微分方程(NFDEs)常出現(xiàn)于生物學(xué)、物理學(xué)、控制理論及工程技術(shù)等諸多領(lǐng)域，由于其重要性，近四十年來，人們對這類方程的適定性及其數(shù)值方法的收斂性和穩(wěn)定性進(jìn)行了大量研究；但另一方面，由于其困難性，迄今國內(nèi)外文獻(xiàn)中對于其理論解和數(shù)值解的穩(wěn)定性研究仍局限于線性問題和一些特殊的非線性問題．本文主要目的是試圖將這項研究進(jìn)一步發(fā)展到更為一般的中立型非線性問題．所獲主要結(jié)果如下：
　　 (1)提出了Banach空間中非線性NFDEs

2、試驗問題類(D)λ*(α，β，γ,L，τ1，τ2)和(L)λ* (α，β，γ,e，τ1，τ2)，獲得了其理論解的一系列穩(wěn)定性、收縮性、漸近穩(wěn)定性及指數(shù)漸近穩(wěn)定性結(jié)果．這些結(jié)果是本文數(shù)值穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)．
　　 應(yīng)當(dāng)指出，2005年，李壽佛建立了Banach空間中非線性剛性Volterra泛函微分方程(vFDEs)穩(wěn)定性的一般理論(參見[146])，本文的上述結(jié)果將該理論進(jìn)一步發(fā)展到非線性NFDEs在國內(nèi)外其他文獻(xiàn)中，迄今主要研究

3、了有限維空間中的中立型延遲微分方程(NDDEs)理論解的穩(wěn)定性，尚未見到關(guān)于Banach空間中一般的非線性NFDEs理論解的研究工作．而且其中大量工作是針對線性中立型問題的，例如可參見[32_65]，僅有Bellen，Guglielmi和zennaro[93]，張誠堅[95]，Vermiglio和Torelli[97]以及王晚生和李壽佛[105，109]等人研究了一些特殊的非線性NDDEs的理論解的穩(wěn)定性．
　　 (2)研究了B

4、anach空間中非線性NDDEs數(shù)值方法的穩(wěn)定性和收斂性，給出了求解一類多延遲中立型微分方程的線性θ-方法的穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定的充分條件，獲得了求解非線性變延遲中立型微分方程的一類變系數(shù)線性多步方法及若干類型的顯式和對角隱式Runge_Kutta法的一系列數(shù)值穩(wěn)定性結(jié)果，對于前者，同時獲得了收斂性結(jié)果．
　　 此前國內(nèi)外文獻(xiàn)中未見到有關(guān)Banach空間中非線性變延遲NDDEs數(shù)值方法的穩(wěn)定性和收斂性研究工作，只有少量文獻(xiàn)研究了有限

5、維空間中一些特殊的非線性NDDEs的數(shù)值穩(wěn)定性，例如可參見[83．93，95—109]．
　　 (3)利用一個單邊LipsChtiz條件和一些經(jīng)典Lipschtiz條件，對有限維歐氏空間中求解非線性變延遲中立型微分方程的單支方法和波形松弛方法的誤差進(jìn)行了估計．考慮了中立項的三種不同逼近方式，證明了帶線性插值的單支方法是p階E(或EB)一收斂的當(dāng)且僅當(dāng)該方法A-穩(wěn)定且經(jīng)典相容階為p(這里p：1，2)，同時給出了波形松弛方法的收斂性

6、結(jié)果，部分解決了Bartoszewski和Kwapisz于2004年提到的單邊LipsChitz條件不能應(yīng)用于NFDEs的問題，為今后開展這方面的研究打開了突破口．?dāng)?shù)值試驗結(jié)果驗證了所獲理論結(jié)果的正確性．
　　 (4)獲得了求解一類非線性中立型延遲積分微分方程(NDIDEs)的G(c，p)一代數(shù)穩(wěn)定的單支方法和(k，l)一代數(shù)穩(wěn)定的Runge_Kutta法的穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定的一系列準(zhǔn)則．同時利用單邊Lipschitz條件，獲得了G

7、-穩(wěn)定單支方法和代數(shù)穩(wěn)定Runge_Kutta方法求解此類型的非線性NDIDEs的收斂性結(jié)果．?dāng)?shù)值試驗驗證了上述理論結(jié)果的正確性．
　　 據(jù)我們所知，迄今僅有少數(shù)作者研究了線性NDIDEs的數(shù)值穩(wěn)定性(參見[63-65])．2006年，余越昕和李壽佛[98]，余越昕、文立平和李壽佛[103]研究了Runge_Kutta法用于求解另兩種類型非線性NDIDEs的穩(wěn)定性．需要指出的是，非線性延遲積分微分方程(DIDEs)是本文研究的非

8、線性NDIDEs的特殊情形，將本文所獲數(shù)值穩(wěn)定性結(jié)果應(yīng)用于DIDEs，相應(yīng)的結(jié)果比已有的結(jié)果更為一般和深刻(參見本文第五章第3和第4節(jié))．
　　 (5)獲得了Hilbert空間中非線性中立型分片延遲微分方程和非線性中立型變延遲微分方程本身散逸的充分條件．對中立型分片延遲微分方程，證明了一個Dt，一不可約的代數(shù)穩(wěn)定的Runge_Kutta方法是(弱)E(λ)-散逸的，只要下列二條件中至少有一個成立：
　　 1．A-1存在，

9、且|1-bTA-1e|<1；
　　 2．Asi=bi，I=1，2，…，s．
　　 對一般的中立型有界變延遲微分方程，利用一些新的技巧，獲得了DJ-不可約的代數(shù)穩(wěn)定的Runge-Kutta方法的有限維散逸性和無限維散逸性結(jié)果．
　　 在常微分方程(oDEs)和vFDEs系統(tǒng)本身的散逸性和數(shù)值方法的散逸性研究中，已經(jīng)獲得了大量重要研究成果，例如可參見[125-144]．2007年，程珍和黃乘明[145]給出了Hale