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文檔簡介
1、本文主要研究如下幾類非線性發(fā)展方程:MHD-α方程,Boussinesq方程,廣義Boussinesq方程,以及Newton-Boussinesq方程,共分四章.
在第一章,我們考慮磁流體動力學(xué)中MHD-α方程在不可壓條件下的Cauchy問題,其中2D的MHD-α方程為(公式略)對于這類問題,最關(guān)鍵的是要得到速度函數(shù)的先驗估計式以及如何構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕獾暮瘮?shù)空間.我們首先運(yùn)用Littlewood-Paley理論與Bony的仿積
2、分解技術(shù),通過建立能量衰減估計,得到了該方程在分?jǐn)?shù)階Sobolev空間中整體解的存在性與唯一性;進(jìn)一步地,我們得到,當(dāng)參數(shù)α→0時,二維不可壓MHD-α方程退化為相應(yīng)的MHD方程,且MHD-α方程的解收斂為相應(yīng)MHD方程的弱解.需要指出的是,在本章主要定理的證明過程中構(gòu)造的迭代格式,為MHD-α方程在進(jìn)行算法設(shè)計方面的進(jìn)一步研究奠定了基礎(chǔ).
在第二章,研究Boussinesq方程的正則性問題,其中3D的Boussinesq
3、方程
形式如下:(公式略)同樣地,這里的關(guān)鍵也是如何得到速度函數(shù)的先驗估計式.我們通過建立不同函數(shù)空間中的先驗估計武,得到了一系列該方程的正則性準(zhǔn)則,具體為:首先給出了該方程在不可壓條件下的對數(shù)型正則性準(zhǔn)則與Serrin類正則性準(zhǔn)則;其次,建立了該方程在Multiplier空間中的正則性準(zhǔn)則;最后,利用Littlewood-Paley理論與Bony的仿積分解技術(shù),得到該方程在非齊次Besov空間意義下的一個正則性準(zhǔn)則.
4、r> 第三章考慮廣義Boussinesq方程的正則性問題,其中3D的廣義Boussinesq
方程如下:(公式略)對于該問題,難點(diǎn)是如何處理分?jǐn)?shù)次指標(biāo).為此,我們通過建立先驗估計式以及運(yùn)用Sobolev嵌入定理,得到該方程的一個正則性準(zhǔn)則.
在第四章,考慮Newton-Boussinesq方程的正則性問題,其中2D的NewtonBoussinesq方程為:(公式略)對于二維情形,難點(diǎn)是如何處理旋度和梯度
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