概率論在生活中的若干應(yīng)用畢業(yè)論文

1、<p>　　湖 南 科 技 大 學(xué)</p><p>　　畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)（ 論 文 ）</p><p><b>　　二〇一三年五月 </b></p><p>　題目概率論在生活中的若干應(yīng)用</p><p>　作者鄒宇龍</p><p>　學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院</p><

2、;p>　專(zhuān)業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)</p><p>　學(xué)號(hào)0907020220</p><p>　指導(dǎo)教師彭丹</p><p><b>　　湖南科技大學(xué)</b></p><p>　　畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書(shū)</p><p>　　指導(dǎo)教師： （簽名）</p><p&

3、gt;　　學(xué) 生： （簽名）</p><p>　　湖 南 科 技 大 學(xué)</p><p>　　畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）指導(dǎo)人評(píng)語(yǔ)</p><p>　　[主要對(duì)學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的工作態(tài)度，研究?jī)?nèi)容與方法，工作量，文獻(xiàn)應(yīng)用，創(chuàng)新性，實(shí)用性，科學(xué)性，文本（圖紙）規(guī)范程度，存在的不足等進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)]</p><p>　　指導(dǎo)人：

4、 （簽名）</p><p><b>　　年 月 日</b></p><p>　　指導(dǎo)人評(píng)定成績(jī)： </p><p>　　湖 南 科 技 大 學(xué)</p><p>　　畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）評(píng)閱人評(píng)語(yǔ)</p><p>　　[主要對(duì)學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的文本格式、

5、圖紙規(guī)范程度，工作量，研究?jī)?nèi)容與方法，實(shí)用性與科學(xué)性，結(jié)論和存在的不足等進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)]</p><p>　　評(píng)閱人： （簽名）</p><p><b>　　年 月 日</b></p><p>　　評(píng)閱人評(píng)定成績(jī)： </p><p>　　湖 南 科 技 大 學(xué)</p&g

6、t;<p>　　畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）答辯記錄</p><p>　　日期：2013年6月1日</p><p>　　學(xué)生： 鄒宇龍 學(xué)號(hào)： 0907020220 班級(jí)： 09級(jí)信息與計(jì)算科學(xué)2班 </p><p>　　題目： 概率論在生活中的若干應(yīng)用 </p><p>　　提交畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）答辯委員會(huì)下列材

7、料：</p><p>　　1 設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū)共頁(yè)</p><p>　　2 設(shè)計(jì)（論文）圖 紙共頁(yè)</p><p>　　3 指導(dǎo)人、評(píng)閱人評(píng)語(yǔ)共頁(yè)</p><p>　　畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）答辯委員會(huì)評(píng)語(yǔ)：</p><p>　　[主要對(duì)學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的研究思路，設(shè)計(jì)（論文）質(zhì)量，文本圖紙規(guī)范程度和

8、對(duì)設(shè)計(jì)（論文）的介紹，回答問(wèn)題情況等進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)]</p><p>　　答辯委員會(huì)主任： （簽名）</p><p>　　委員： （簽名）</p><p><b>　　（簽名）</b></p><p><b>　?。ê灻?lt;/b><

9、/p><p><b>　?。ê灻?lt;/b></p><p>　　答辯成績(jī)： </p><p>　　總評(píng)成績(jī)： </p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門(mén)科學(xué)，已有300 余年的歷史。隨

10、著社會(huì)的發(fā)展，概率論的理論方法已成為研究國(guó)民經(jīng)濟(jì)、社會(huì)現(xiàn)象、現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的一個(gè)工具，了解概率論的起源及其在實(shí)踐中的發(fā)展很有必要。本文通過(guò)對(duì)日常生活現(xiàn)象中所包含的概率論思想進(jìn)行分析，討論了福利彩票、經(jīng)濟(jì)效益問(wèn)題、責(zé)任追究問(wèn)題、市場(chǎng)分析與預(yù)測(cè)、商業(yè)評(píng)估等生活中常見(jiàn)的概率問(wèn)題，同時(shí)就生活中有趣的概率現(xiàn)象也進(jìn)行闡述和分析，最后得出了概率論不僅是一門(mén)課程、一門(mén)科學(xué)，更是一門(mén)生活哲學(xué)的最終論斷。</p><p>　　

11、關(guān) 鍵 詞：概率論；理論發(fā)展；生活現(xiàn)象；</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　Probability theory is a scientific study of random phenomenon law of quantity,has a history of 300 years.With the development o

12、f society,the theory of probability method has become a tool for the study of the national economy,the social phenomenon of modern science and technology,it is necessary to understand the essential,the origin of probabil

13、ity theory and its development in practice.In this paper,through the probability contained in daily life phenomenon in the theory analysis,discusses the </p><p>　　Key words:Probability theory; theoretical de

14、velopment; life phenomena; </p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　第一章 引 言1</p><p>　　1.1 概率論發(fā)展簡(jiǎn)介1</p><p>　　第二章 概率論在生活中的應(yīng)用3</p><p>　　2.1古典概率典型分析3&l

15、t;/p><p>　　2.1.1福利彩票中的概率分析3</p><p>　　2.2 獨(dú)立事件的概率分析5</p><p>　　2.2.1最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益問(wèn)題5</p><p>　　2.3 條件概率分析6</p><p>　　2.3.1討論抽簽先后是否公平（全概率公式的應(yīng)用）6</p><p>

16、　　2.3.2追究責(zé)任問(wèn)題 （葉貝斯公式的應(yīng)用）7</p><p>　　2.3.3 在疾病預(yù)測(cè)上的應(yīng)用（ 葉貝斯公式的應(yīng)用）8</p><p>　　2.4 概率論中期望和方差的應(yīng)用9</p><p>　　2.4.1 在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用10</p><p>　　2.4.2 產(chǎn)品是否符合標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題（方差分析）11</p>&

17、lt;p>　　2.5 伯努利概型的應(yīng)用12</p><p>　　2.5.1 正常運(yùn)作的問(wèn)題12</p><p>　　2.5.2在比賽方面的應(yīng)用13</p><p>　　2.6 泊松分布的應(yīng)用13</p><p>　　2.6.1 保險(xiǎn)業(yè)務(wù)問(wèn)題14</p><p>　　2.7 正態(tài)分布的應(yīng)用16<

18、/p><p>　　2.7.1 確定巴士門(mén)的高度16</p><p>　　2.8 中心極限定理的應(yīng)用16</p><p>　　2.8.1 誤差分析17</p><p>　　2.8.2商業(yè)評(píng)估問(wèn)題17</p><p>　　2.8.3電影院的座位問(wèn)題18</p><p>　　2.9 馬爾科夫鏈的

19、應(yīng)用19</p><p>　　2.9.1 預(yù)測(cè)市場(chǎng)占有率問(wèn)題19</p><p>　　第三章 生活中趣味概率問(wèn)題22</p><p>　　3.1巴拿郝火柴問(wèn)題（負(fù)二項(xiàng)分布）22</p><p>　　3.2“運(yùn)氣輪”賭博中的概率問(wèn)題（二項(xiàng)分布）22</p><p>　　3.3麻雀逃殺問(wèn)題（期望的性質(zhì) 期望公式）

20、23</p><p><b>　　結(jié) 論25</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)26</b></p><p><b>　　致 謝27</b></p><p><b>　　附 錄28</b></p><p>

21、　　基于JAVA 開(kāi)發(fā)的福彩搖獎(jiǎng)程序28</p><p><b>　　第一章 引 言</b></p><p>　　17、18世紀(jì)，數(shù)學(xué)獲得了巨大的進(jìn)步。隨著人類(lèi)的社會(huì)實(shí)踐，人們需要了解各種不確定現(xiàn)象中隱含的必然規(guī)律性，并用數(shù)學(xué)方法研究各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小，從而產(chǎn)生了概率論，并使之逐步發(fā)展成一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科。概率與統(tǒng)計(jì)的方法日益滲透到各個(gè)領(lǐng)域，并廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)

22、、經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)學(xué)、金融保險(xiǎn)甚至人文科學(xué)中。</p><p>　　概率論進(jìn)入其他科學(xué)領(lǐng)域的趨勢(shì)在不斷發(fā)展。下面簡(jiǎn)略介紹一下概率論本身在現(xiàn)代的應(yīng)用情況。</p><p>　　物理方面，放射性衰變，粒子計(jì)數(shù)器，原子核照相乳膠中的徑跡理論和原子核反應(yīng)堆中的問(wèn)題等的研究，都要用到泊松過(guò)程和更新理論。</p><p>　　化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)中，研究化學(xué)反應(yīng)的時(shí)變率及影響這些時(shí)變率的因

23、素問(wèn)題,自動(dòng)催化反應(yīng)，單分子反應(yīng),雙分子反應(yīng)及一些連鎖反應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型等，都要以生滅過(guò)程（馬爾柯夫）來(lái)描述。</p><p>　　許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話(huà)通信，船舶裝卸，機(jī)器損修，病人候診，紅綠燈交換，存貨控制，水庫(kù)調(diào)度，購(gòu)貨排隊(duì)，等等，都可用一類(lèi)概率模型來(lái)描述。在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定增長(zhǎng)等問(wèn)題，也大量采用概率論方法。</p><p>　　同時(shí)它對(duì)各種應(yīng)用數(shù)學(xué)如

24、統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和心理學(xué)的數(shù)學(xué)化起著中心作用。</p><p>　　20世紀(jì)以來(lái)，由于物理學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)、農(nóng)業(yè)技術(shù)和軍事技術(shù)發(fā)展的推動(dòng)，概率論飛速發(fā)展，理論課題不斷擴(kuò)大與深入，應(yīng)用范圍大大拓寬。在最近幾十年中，概率論的方法被引入各個(gè)工程技術(shù)學(xué)科和社會(huì)學(xué)科。為此，應(yīng)用概率論來(lái)探討生活中的應(yīng)用有必然的重要性。</p><p>　　1.1 概率論發(fā)展簡(jiǎn)介</p>

25、<p>　　如果一定要追述概率思想的產(chǎn)生，那應(yīng)該可以回到2000多年前的愛(ài)琴海岸了，亞里士多德曾經(jīng)表達(dá)過(guò)現(xiàn)實(shí)世界的現(xiàn)象中的一些現(xiàn)象總是這樣發(fā)生的，而另一些發(fā)生的原因是不確定的，而這不確定性正是概率存在和發(fā)展的前提，但是在那個(gè)年代，這種不確定性更多地成了神的領(lǐng)地，人類(lèi)的禁區(qū)，沒(méi)有人知道應(yīng)當(dāng)如何去面對(duì)這種不確定性。同樣有意思的是，雖然如此，古希臘人已經(jīng)知道用抽簽決定一些爭(zhēng)端，不知道那隱含在等概率條件下的公平在他們的腦海中是怎樣的

26、形象。 </p><p>　　真正開(kāi)始引起對(duì)這種不確定性認(rèn)識(shí)還是從賭博開(kāi)始。17世紀(jì)中葉，在法國(guó)出現(xiàn)了對(duì)賭博問(wèn)題的研究，也正是對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，使一門(mén)嶄新的學(xué)科—概率論誕生。1654年法國(guó)著名數(shù)學(xué)家帕斯卡（B.Pascal，1623-1662）與費(fèi)爾馬（Fermat，1651-1665）寫(xiě)信，商量如何解決其好友德梅雷（De mere,1610-1684）提出的關(guān)于賭博的賭金分配等概率問(wèn)

27、題。17世紀(jì)中葉，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯(C.Huygens,1629-1695)夜試圖解決帕斯卡與費(fèi)爾馬通信中所提出的問(wèn)題，撰寫(xiě)了《論賭博中的計(jì)算》一書(shū)，建立了概率和數(shù)學(xué)期望等重要概念，揭示了他們的性質(zhì)和演算方法，這是最早的概率論著作。這些數(shù)學(xué)家的著述中所出現(xiàn)的第一批概率論概念與定理，標(biāo)志著概率論的誕生。</p><p>　　到18世紀(jì)，有不少數(shù)學(xué)家從事概率的研究。瑞士著名數(shù)學(xué)家雅格布?伯努利(J.Bernoulli

28、，1654-1705)的巨著《精度術(shù)》是一項(xiàng)重大的成就，在這部著作中，伯努利提出了新的概念和定理，尤其是論證了概率論的重要定律之一的“大數(shù)定理”，這使得建立在經(jīng)驗(yàn)之上的頻率穩(wěn)定性推測(cè)進(jìn)一步理論化。從此，由對(duì)特殊問(wèn)題的求解，發(fā)展到了一般理論概括，為概率論這門(mén)學(xué)科的承受奠定了基礎(chǔ)。繼伯努利之后，法國(guó)數(shù)學(xué)家德莫瓦佛（De Moivre，1667-1754）的《機(jī)遇原理》(Doct rine of Chances, 1718, 倫敦出版) 提出

29、了概率乘法法則，以及“正態(tài)分布”和“非正態(tài)分布”的概念，為概率論的“中心極限定理”的建立奠定了基礎(chǔ)。</p><p>　　19世紀(jì)初期，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Laplace,1749-1827）的經(jīng)典著作《分析概率論》總結(jié)了這一時(shí)代的研究，這部巨作明確的表述了概率的基本定義和定理，嚴(yán)格的證明了德莫瓦佛-拉普拉斯定理，建立了誤差理論和最小二乘法，研究了廣泛的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。后來(lái)德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（ Gauss.Garl Fri

30、edrich，1777-1855）和法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松（ Poisson，1781-1840）等人進(jìn)一步發(fā)展了概率論，高斯確立了最小二乘法的誤差論的基礎(chǔ)；泊松推廣了大數(shù)定理引入十分重要的“泊松分布”。19世紀(jì)后期，極限理論成為概率論所要研究的核心課題，俄國(guó)著名數(shù)學(xué)家切比雪夫（Chebyshev，1821-1894）在此方面做出了重大貢獻(xiàn)。他建立的大數(shù)定律，推廣了德莫弗-拉普拉斯極限定理。19世紀(jì)末，一方面概率論在統(tǒng)計(jì)物理等領(lǐng)域的應(yīng)用提出了對(duì)

31、概率論基本概念與原理進(jìn)行解釋的需要，另一方面，科學(xué)家們?cè)谶@一時(shí)期發(fā)現(xiàn)的一些概率論悖論也揭示出古典概率論中基本概念存在的矛盾與含糊之處。</p><p>　　概率論的創(chuàng)立與發(fā)展的過(guò)程極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)思想和方法的發(fā)展，尤其是形成了獨(dú)具特色的概率論的思想方法，推進(jìn)概率論的應(yīng)用和對(duì)生活中概率問(wèn)題的解決方法。</p><p>　　第二章 概率論在生活中的應(yīng)用</p><p>

32、　　概率論這一門(mén)產(chǎn)生于生活的典型問(wèn)題，經(jīng)過(guò)幾代數(shù)學(xué)家們的努力，不但將理論發(fā)展到一個(gè)空前的規(guī)模，更將它應(yīng)用到了生活的方方面面，下面簡(jiǎn)單介紹概率論在生活中常見(jiàn)的應(yīng)用以及理論基礎(chǔ)。</p><p>　　2.1古典概率典型分析</p><p>　　定義 概率發(fā)生的方式是利用時(shí)間發(fā)生的頻率。定義如下：一個(gè)實(shí)驗(yàn)的樣本空間為S，在相同的條件下可重復(fù)進(jìn)行。對(duì)于樣本空間S里的事件E，記你n（E）為n次重復(fù)試

33、驗(yàn)E發(fā)生的次數(shù)，那么，該事件發(fā)生的概率為</p><p>　　我們生活中的福利彩票，存在簡(jiǎn)單的概率問(wèn)題。福利彩票的規(guī)則是這樣的：</p><p>　　2.1.1福利彩票中的概率分析</p><p>　　例1：每一期彩票獎(jiǎng)金：三、四、五、六等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金固定，一、二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金浮動(dòng)。例如，如果紅球是“○○○○○○”，藍(lán)球?yàn)?“●”，那么各獎(jiǎng)項(xiàng)的中獎(jiǎng)號(hào)碼和每注所得的獎(jiǎng)金 ，如

34、下表所列 ：</p><p>　　分析：中獎(jiǎng)概率以一注為單位，計(jì)算每一注彩票的中獎(jiǎng)概率。</p><p>　　中一等獎(jiǎng)(無(wú)順序、無(wú)重復(fù)數(shù)、紅球由6個(gè)數(shù)組成，藍(lán)球只有一個(gè)數(shù))共有m1種可能存在的排序方式： </p><p>　　中二等獎(jiǎng)共有m2種排序方式：</p><p>　　中三等獎(jiǎng)共有m3種排序方式：</p><p

35、>　　中二等獎(jiǎng)共有m4種排序方式：</p><p>　　中二等獎(jiǎng)共有m5種排序方式：</p><p>　　中二等獎(jiǎng)共有m6種排序方式：</p><p>　　解：通過(guò)計(jì)算我們可得：</p><p>　　一等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率P1=1/m1=0.784×10-10；</p><p>　　二等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率P2=1/m2

36、=0.125×10-8；</p><p>　　三等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率P3=1/m3=0.219×10-8;</p><p>　　四等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率P4=1/m4=0.351×10-7;</p><p>　　五等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率P5=1/m5=0.636×10-7;</p><p>　　六等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率P6=1/m6=0.6

37、64×10-6;</p><p>　　所以綜合中獎(jiǎng)率P=P1+P2+P3+P4+P5+P6=0.766×10-6。</p><p>　　通過(guò)對(duì)本例的研究，我們可以了解到：每 1000000注彩票，約有 7.7注彩票(包括高等獎(jiǎng)到低等獎(jiǎng))中獎(jiǎng)，另外有注的彩票全部都未能得到回報(bào)。由此可見(jiàn)，通過(guò)博彩來(lái)賺錢(qián)絕對(duì)是不合算的，從純數(shù)學(xué)的角度來(lái)講，當(dāng)概率低于1/1000時(shí)我們就可以忽

38、略不計(jì)。在實(shí)際生活上，也只有極少數(shù)人中獎(jiǎng)，購(gòu)買(mǎi)者應(yīng)保持平常心，決不能將它當(dāng)做一種純粹的投資，也不能把它視為純粹的賭博。只能將其作為一種娛樂(lè)，甚至也可以將此視為公益事業(yè)。作貢獻(xiàn) 、獻(xiàn)愛(ài)心，達(dá)到“濟(jì)困、助殘、扶老、救孤”的目的，從而在購(gòu)買(mǎi)彩票的活動(dòng)中使我們更具有理性。</p><p>　　2.2 獨(dú)立事件的概率分析</p><p>　　定義 如果已知事件A的發(fā)生不會(huì)影響事件B發(fā)生的可能性，那么

39、事件A和B就是獨(dú)立的，事件A和B都稱(chēng)為獨(dú)立事件。</p><p>　　2.2.1最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益問(wèn)題 </p><p>　　在相互獨(dú)立的條件下，做經(jīng)濟(jì)效益的抉擇時(shí)也可以用概率論的只是來(lái)解決，在省錢(qián)的前提下，達(dá)到最大的經(jīng)濟(jì)效益，下面就做例述。</p><p>　　例2：某公司為防止某突發(fā)事件發(fā)生，有甲、乙、丙、丁四種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可以采用，單獨(dú)采用甲、乙、丙、丁預(yù)防措

40、施后不發(fā)生此突發(fā)事件的概率(記為P)，所需費(fèi)用情況如下表所示： </p><p>　　這家公司的預(yù)防方案可以單獨(dú)采用一種預(yù)防措施或者聯(lián)合采用多種預(yù)防措施。但必須保證總費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元。請(qǐng)問(wèn)：我們應(yīng)該采取怎樣的策略達(dá)到防止突發(fā)事故所需費(fèi)用和概率達(dá)到最優(yōu)？</p><p>　　分析：每種預(yù)防措施都是相互獨(dú)立的，這樣，可根據(jù)事件的獨(dú)立性性質(zhì)及加法公式進(jìn)行計(jì)算。</p><

41、p>　　方案1：?jiǎn)为?dú)采用一種預(yù)防措施的費(fèi)用均不超過(guò)120萬(wàn)元。通過(guò)上表可知，當(dāng)采用甲措施時(shí)，可使不發(fā)生此突發(fā)事件的概率達(dá)到最大，其概率為P1=0.9。</p><p>　　方案2：采用聯(lián)合兩種預(yù)防措施,并使得費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元。由上表可知，聯(lián)合甲和丙兩種措施時(shí)，得到不發(fā)生突發(fā)事件的概率的概率為:</p><p>　　方案3：采用聯(lián)合三種預(yù)防措施，并使得費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元。由上表可

42、知，聯(lián)合乙、丙、丁三種預(yù)防措施，得到不發(fā)生突發(fā)事件的概率為：</p><p>　　通過(guò)上述三種預(yù)防方案可知，該公司在總費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元的大前提下，聯(lián)合乙、丙、丁三種預(yù)防措施時(shí)，可以將突發(fā)事件控制在最低發(fā)生水平，概率為0.976。</p><p>　　2.3 條件概率分析</p><p>　　在談及隨機(jī)試驗(yàn)及其中各個(gè)事件的概率的時(shí)候，總是在一組確定的條件下討論。附

43、加一些條件。通常以某個(gè)事件已經(jīng)發(fā)生的形式給出，這就是已知某事件已發(fā)生后的條件概率。</p><p>　　2.3.1討論抽簽先后是否公平（全概率公式的應(yīng)用）</p><p>　　全概率公式：設(shè)B1，B2，...,Bn為樣本空間Ω的一個(gè)分割，即B1，B2，...,Bn互不相容，且 ，如果 則對(duì)任意事件A有</p><p&g

44、t;<b>　　。</b></p><p>　　生活中，我們有時(shí)要用抽簽的方法來(lái)決定一件事情。我們就來(lái)研究一下，從概率的方面來(lái)說(shuō)明抽簽次序是否影響抽簽結(jié)果？</p><p>　　例3：在一次判定物品歸屬的決策時(shí)，眾人決定通過(guò)抽簽決定。設(shè)共有n張紙簽，其中有一張做了彩色標(biāo)記，抽到就可以得到判定物。問(wèn)第二個(gè)人就抽到彩簽的概率是多少。</p><p>

45、;　　解：設(shè)Ai表示事件“第i人抽到彩簽”，i=1,2,...,n?，F(xiàn)在目的是求P（Ai）。因?yàn)锳1是否發(fā)生直接關(guān)系到A2發(fā)生的概率，即</p><p>　　而A1與 是兩個(gè)概率大于0的事件：</p><p>　　于是由全概率公式得：</p><p><b>　　同理可得</b></p><p>　　這說(shuō)明，在抽簽過(guò)

46、程中，無(wú)論先抽還是后抽，抽中的機(jī)會(huì)是相同的。</p><p>　　2.3.2追究責(zé)任問(wèn)題 （葉貝斯公式的應(yīng)用）</p><p>　　定理1：通過(guò)乘法規(guī)則（ ）和全概率公式，我們可以推倒出著名的葉貝斯公式：</p><p>　　設(shè) 是樣本空間的一個(gè)分割，即

47、 互不相容，且 ，如果 則：</p><p>　　例4：某工廠有4個(gè)車(chē)間同時(shí)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%、20%、30%和35%，各個(gè)車(chē)間的次品率分別為5%，4%，3%，2%，有一用戶(hù)買(mǎi)了該廠的一件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)是次品。當(dāng)廠長(zhǎng)追究車(chē)間生產(chǎn)責(zé)任時(shí)，發(fā)現(xiàn)該產(chǎn)品的生產(chǎn)車(chē)間標(biāo)志已脫落。問(wèn)廠長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)如何追究各個(gè)車(chē)間的生產(chǎn)責(zé)任？<

48、;/p><p>　　分析：由于不知該產(chǎn)品哪個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的，因此每個(gè)車(chē)間都要負(fù)責(zé)任。各車(chē)間所負(fù)責(zé)任的大小應(yīng)該正比該產(chǎn)品是各個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的概率。</p><p>　　解：設(shè)Aj=“該產(chǎn)品是j車(chē)間生產(chǎn)的”，j=1，2，3，4;</p><p>　　B=“從該廠的產(chǎn)品中任取1件恰好取到次品”．</p><p>　　則第j個(gè)車(chē)間所負(fù)責(zé)任的大小（比例）為條件概率

49、 ;</p><p>　　由貝葉斯公式，得： </p><p><b>　　又因 </b></p><p><b>　　從而</b></p><p>　　即第1，2，3，4車(chē)間所負(fù)責(zé)任比重為0.238，0.254，0.286，0.222。</p><

50、;p>　　2.3.3 在疾病預(yù)測(cè)上的應(yīng)用（ 葉貝斯公式的應(yīng)用）</p><p>　　例5：假設(shè)在是否進(jìn)行手術(shù)決策時(shí)，藥劑師考慮如下方案：如果有80%的可能確定病人有此病，那么他將會(huì)建議手術(shù)；而如果他并不確定，那么他將會(huì)推薦做進(jìn)一步檢查?，F(xiàn)在，開(kāi)始他僅僅只有60%的把握認(rèn)為小李患有此病，因此他推薦做了C項(xiàng)檢查，該檢查對(duì)于確有此病的患者給出養(yǎng)性結(jié)果，而對(duì)健康人卻不會(huì)給出陽(yáng)性結(jié)果。經(jīng)檢查小李的結(jié)果是陽(yáng)性后，正當(dāng)他

51、建議手術(shù)時(shí)，小李給他了另一消息，他患有糖尿病。這個(gè)消息所附帶的信息是：盡管它不影響一開(kāi)始認(rèn)為小李患有此病60%的把握，但是卻影響了檢查項(xiàng)目C的效果。因?yàn)殡m然該檢查項(xiàng)目對(duì)健康人不給出陽(yáng)性，但對(duì)于患有糖尿病卻不患有此病的人來(lái)說(shuō)，有30%的可能給出陽(yáng)性結(jié)果。那么，這名藥劑師該如何做？是做進(jìn)一步檢查還是立即手術(shù)？</p><p>　　解：決定是否手術(shù)，藥劑師首先要計(jì)算在檢查項(xiàng)目C為陽(yáng)性結(jié)果的情況下，小李患該病的概率。&l

52、t;/p><p>　　令A(yù)表示“小李患此病”事件。B表示“項(xiàng)目C為陽(yáng)性結(jié)果”事件，那么在檢查項(xiàng)目C為陽(yáng)性結(jié)果的情況下，小李患該病的條件P(A|B)概率為：</p><p>　　我們以小李是否患此病為條件，計(jì)算了項(xiàng)目C為陽(yáng)性結(jié)果的概率，并且利用了如下事實(shí)：因?yàn)樾±罨加刑悄虿?，已知其不患上述疾病的條件下項(xiàng)目C為陽(yáng)性結(jié)果的條件概率等于0.3.因此，藥劑師現(xiàn)在能80%多的概率卻仍小李已經(jīng)患病，所以應(yīng)建

53、議手術(shù)。</p><p>　　2.4 概率論中期望和方差的應(yīng)用</p><p>　　前面在提到概率論起源時(shí)我們提到，早在17世紀(jì)，有一個(gè)賭徒向數(shù)學(xué)家帕斯卡提出了一道題目：甲乙兩個(gè)人賭博，他們兩人獲勝的機(jī)率相等，比賽規(guī)則是先勝三局者為贏家，贏家可以獲得100法郎的獎(jiǎng)勵(lì)。當(dāng)比賽進(jìn)行到第三局的時(shí)候，甲勝了兩局，乙勝了一局，這時(shí)由于某些原因中止了比賽，那么如何分配這100法郎才比較公平？用概率論的

54、知識(shí)，不難得知，甲獲勝的概率為 ，或者分析乙獲勝的概率則為 。因此由此引出了甲的期望所得值為 法郎，乙的期望所得值為25法郎。這個(gè)故事里出現(xiàn)了“期望”這個(gè)詞，數(shù)學(xué)期望由此而來(lái)。</p><p>　　定義 離散型數(shù)學(xué)期望是指隨機(jī)變量的一切可能的取值Xi與對(duì)應(yīng)的概率P(Xi)之積的和稱(chēng)為的數(shù)學(xué)期望（設(shè)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂），記為E。隨機(jī)變量是最基本的數(shù)學(xué)特征之一。它反映隨機(jī)變量平均取

55、值的大小。</p><p>　　數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式為：</p><p>　　方差是指表示一系列數(shù)據(jù)或統(tǒng)計(jì)總體的分布特征的值，即方差表示的是和中心偏離的程度，用來(lái)衡量一批數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小）并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差。在樣本容量相同的情況下，方差越小，說(shuō)明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，越穩(wěn)定；反之，波動(dòng)方差越大，表示數(shù)據(jù)波動(dòng)越不穩(wěn)定。 </p><p>　　設(shè)X

56、的期望是E(X)，則X的方差記為Var（X），定義為：</p><p>　　2.4.1 在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用</p><p>　　例6：在產(chǎn)品性能試驗(yàn)中，如果樣品報(bào)廢，則企業(yè)損失2萬(wàn)元；如果樣品試驗(yàn)后仍然完好，則降價(jià)處理后只損失1萬(wàn)元。假若樣品報(bào)廢和完好的概率分別是1/4和3/4，試求為試驗(yàn)該產(chǎn)品性能，企業(yè)平均每次支付費(fèi)用。</p><p>　　解：在本例中平均支付費(fèi)

57、用就是期望值</p><p>　　例7：某服裝廠準(zhǔn)備參加某市舉辦的服裝展銷(xiāo)會(huì)，打算租用該會(huì)陳設(shè)的攤位出手其服裝產(chǎn)品。展銷(xiāo)會(huì)的攤位分設(shè)于會(huì)場(chǎng)的不同三個(gè)區(qū)域。展銷(xiāo)產(chǎn)品收益的大小，受攤位的位置和展銷(xiāo)期間天氣的影響。根據(jù)過(guò)去的資料估計(jì)，展銷(xiāo)時(shí)間天氣屬于晴朗、多云、多雨三種情況的概率分別為0.35、0.40、0.25；如選A區(qū)展銷(xiāo)，天氣晴朗、多云、多雨時(shí)，可獲利率分別為4000元、6000元和1000元；如選B區(qū)展銷(xiāo)，天氣

58、晴朗、多云、多雨時(shí)，可獲利率分別為5000元、4000元和1100元；如選C區(qū)展銷(xiāo)，天氣晴朗、多云、多雨時(shí)，可獲利率分別為4000元、3000元和2000元；問(wèn)在上述情況下，該廠應(yīng)選哪個(gè)區(qū)域攤位展銷(xiāo)服裝產(chǎn)品？</p><p>　　解：三種方案的期望利率分別為：</p><p>　　比較三種方案的利潤(rùn)期望，可知租用A攤位展銷(xiāo)產(chǎn)品期望利潤(rùn)最多。</p><p>　　例8

59、： 某糧油期貨公司,決定下季度銷(xiāo)售三種不同的糧食大米 、面粉 和玉米 三個(gè),其收益與市場(chǎng)狀態(tài)有關(guān),若把未來(lái)的市場(chǎng)劃分為好、中、差三個(gè)等級(jí),其發(fā)生的概率分別為 , , ,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研的情況，可知不同等級(jí)狀態(tài)下的各種投資收益(萬(wàn)元)，見(jiàn)表:</p><p>　　請(qǐng)問(wèn):該糧油公司下季度銷(xiāo)售什么產(chǎn)品最好? </p><p>　　分析：要達(dá)到銷(xiāo)售平均回報(bào)的最

60、大，當(dāng)然要求出當(dāng)銷(xiāo)售這種產(chǎn)品的數(shù)學(xué)期望，而對(duì)風(fēng)險(xiǎn)，我們就必須使用方差進(jìn)行評(píng)估。</p><p>　　解：我們首先考察數(shù)學(xué)期望,可知 </p><p><b>　??；</b></p><p><b>　??；</b></p><p><b>　　；</b></p>&

61、lt;p>　　然后對(duì)方差進(jìn)行求解，得：</p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　;</b></p><p>　　在上例中，根據(jù)數(shù)學(xué)期望可知,銷(xiāo)售大米的平均收益最大,可能選擇銷(xiāo)售大米,但同時(shí)投資也要考慮風(fēng)險(xiǎn),我們?cè)賮?lái)考慮它們的方差，為方差愈大,則收益的波動(dòng)大,從而風(fēng)險(xiǎn)也大,所以從方差看,銷(xiāo)售

62、大米的風(fēng)險(xiǎn)比銷(xiāo)售面粉的風(fēng)險(xiǎn)大得多,若收益與風(fēng)險(xiǎn)綜合權(quán)衡,該投資者還是應(yīng)該選擇投資面粉為好,雖然平均收益少 萬(wàn)元,但風(fēng)險(xiǎn)要小一半以上。</p><p>　　通過(guò)以上實(shí)例說(shuō)明在進(jìn)行經(jīng)濟(jì)決策之前,存在很多不確定的隨機(jī)因素,從而所作的任何決策都存在風(fēng)險(xiǎn),只有通過(guò)正確、科學(xué)的決策才能以最小的成本獲得最大的安全保障的總目標(biāo),才能盡可能節(jié)約成本。而期望和方差的數(shù)字特征含義可以幫助我們可以進(jìn)行合理的選擇,為我們的科學(xué)決策提供

63、良好的依據(jù)，從而最優(yōu)地實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。</p><p>　　2.4.2 產(chǎn)品是否符合標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題（方差分析）</p><p>　　例9：一汽車(chē)輪胎制造商聲稱(chēng)，他們生產(chǎn)的某一等級(jí)的輪胎平均壽命在一定汽車(chē)重量和正常行駛條件下大于50 000 ?，F(xiàn)對(duì)這一等級(jí)的120個(gè)輪胎組成的隨機(jī)樣本進(jìn)行了測(cè)試，測(cè)得平均每一個(gè)輪胎的壽命為51 000 ，樣本標(biāo)準(zhǔn)差是5000 .已知這種輪胎壽命服從正態(tài)分布。試

64、根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)在顯著水平 下判斷該制造商的產(chǎn)品是否與他所說(shuō)的標(biāo)準(zhǔn)相符合。</p><p>　　解：設(shè) 表示制造商生產(chǎn)的某一等級(jí)輪胎的壽命 。由題意知， ，方差 未知。</p><p><b>　　設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)</b></p><p>　　設(shè) 時(shí)，臨界值 </p>

65、<p><b>　　拒絕域</b></p><p>　　由于 ，所以拒絕域 ,接受 ，即認(rèn)為該制造商的聲稱(chēng)可信，其生產(chǎn)的輪胎平均壽命顯著地大于50 000 。</p><p>　　2.5 伯努利概型的應(yīng)用</p><p>　　定理2 如果試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果：與 ,并且

66、 ,把 獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次的試驗(yàn)構(gòu)成了一個(gè)試驗(yàn)，這個(gè)試驗(yàn)稱(chēng)作重伯努利試驗(yàn)或伯努利概型。</p><p>　　在n重伯努利試驗(yàn)中事件出現(xiàn)k次的概率為</p><p>　　下面我們應(yīng)用伯努利概型來(lái)解決日常生活中遇到的問(wèn)題。</p><p>　　2.5.1 正常運(yùn)作的問(wèn)題 </p><p>　　例10：某車(chē)間有10臺(tái)同類(lèi)型的設(shè)備，

67、每臺(tái)設(shè)備的電動(dòng)機(jī)功率為10千瓦.已知每臺(tái)設(shè)備每小時(shí)實(shí)際開(kāi)動(dòng)12分鐘，它們的使用是相互獨(dú)立的.因某種原因，這天供電部門(mén)只能給車(chē)間提供50千瓦的電力.問(wèn)該天這10臺(tái)設(shè)備能正常運(yùn)作的概率是多少？</p><p>　　分析：由題意知，所要求的概率就是求“該天同時(shí)開(kāi)動(dòng)的設(shè)備不超過(guò)5臺(tái)”這一事件的概率.因?yàn)槊颗_(tái)設(shè)備的使用是相互獨(dú)立的，且在某一時(shí)刻，設(shè)備只有開(kāi)動(dòng)與不開(kāi)動(dòng)兩種情況，所以本題可視為10重伯努利試驗(yàn)，可用二項(xiàng)概率公式

68、進(jìn)行求解.</p><p>　　解：設(shè)A表示事件“設(shè)備開(kāi)動(dòng)”，X表示“同時(shí)開(kāi)動(dòng)的設(shè)備數(shù)”，則由二項(xiàng)概率公式得：</p><p>　　同時(shí)開(kāi)動(dòng)不超過(guò)5臺(tái)的概率： ；</p><p>　　故該天這10臺(tái)設(shè)備能正常運(yùn)作的概率為0.994。</p><p>　　2.5.2在比賽方面的應(yīng)用</p><p>

69、　　例11：某大學(xué)的校足球隊(duì)與數(shù)學(xué)系足球隊(duì)進(jìn)行比賽。校足球隊(duì)的實(shí)力比系足球隊(duì)要強(qiáng)，當(dāng)此時(shí)校足球隊(duì)運(yùn)動(dòng)員與一個(gè)系足球隊(duì)運(yùn)動(dòng)員比賽時(shí)，校足球隊(duì)獲勝的概率為0.6?，F(xiàn)在校、系兩支球隊(duì)經(jīng)過(guò)商量比賽方式，提了三種方案：</p><p>　?。?）雙方各出3人，比三局；</p><p>　?。?）雙方各出5人，比五局；</p><p>　　（3）雙方各出7人，比七局。</

70、p><p>　　三種方案均以比賽中所得勝的人數(shù)多的一方獲勝。問(wèn)：對(duì)系隊(duì)來(lái)說(shuō)，哪種方案有利？</p><p>　　解： 設(shè)系隊(duì)得勝人數(shù)為，則在上述三種方案中，系隊(duì)獲勝的概率為：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　由此可第一種方案對(duì)系隊(duì)最有利（當(dāng)然，對(duì)校隊(duì)最為不利）。這在直覺(jué)上是容易理解的，因?yàn)閰⒓颖荣?/p>

71、的人數(shù)愈少，系隊(duì)僥幸獲勝的可能性也就愈大。很顯然，如果雙方只出一個(gè)人比賽，則系隊(duì)獲勝的概率大約就是0.4。所以，當(dāng)兩方實(shí)力有差距時(shí)，所比局?jǐn)?shù)越少，對(duì)實(shí)力弱的一方就越有利。</p><p>　　2.6 泊松分布的應(yīng)用</p><p>　　定理3 泊松分布是一種統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)里常見(jiàn)到的離散概率分布，由法國(guó)數(shù)學(xué)家莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisso

72、n）在1838年時(shí)發(fā)表。泊松分布的概率分布列是：</p><p>　　泊松分布常與單位時(shí)間（或單位面積、單位產(chǎn)品等）上的計(jì)數(shù)過(guò)程相聯(lián)系，譬如，</p><p>　　·在單位時(shí)間內(nèi)，總機(jī)電話(huà)接到來(lái)電的次數(shù)；</p><p>　　·在單位時(shí)間內(nèi)，一電路受電磁波沖擊的次數(shù)；</p><p>　　·一平方米內(nèi)，玻璃上所存

73、在氣泡的數(shù)量；</p><p>　　·一鑄件上砂眼的個(gè)數(shù)；</p><p>　　·單位時(shí)間內(nèi)，一種放射性物質(zhì)進(jìn)行分裂后到某個(gè)區(qū)域的質(zhì)點(diǎn)數(shù)，等等。都服從泊松分布。</p><p>　　因此，泊松分布的應(yīng)用面是十分廣泛的。泊松分布還有一個(gè)非常實(shí)用的特性，即可以用泊松分布作為二項(xiàng)分布的一種近似。在n重伯努利試驗(yàn)中，記時(shí)間A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 （與

74、試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)），如果當(dāng) 時(shí)，有 ，則</p><p><b>　　。</b></p><p>　　2.6.1 保險(xiǎn)業(yè)務(wù)問(wèn)題</p><p>　　保險(xiǎn)行業(yè)是一個(gè)對(duì)投保人有利，同時(shí)也使保險(xiǎn)公司賺到錢(qián)的行業(yè)。投保人只需交納少許的保險(xiǎn)費(fèi)后，在保險(xiǎn)期間內(nèi)所遇到的意外傷害，將會(huì)得到保險(xiǎn)公司大數(shù)額的理賠補(bǔ)償。所以，有很多人都參加

75、保險(xiǎn)，而保險(xiǎn)公司也樂(lè)意經(jīng)營(yíng)。但是，這種雙收的結(jié)果導(dǎo)致的原因是什么呢?其實(shí)，保險(xiǎn)業(yè)的數(shù)學(xué)理論依據(jù)就是：統(tǒng)計(jì)推斷原理，小概率事件在少次試驗(yàn)中不會(huì)發(fā)生，或發(fā)生幾率及其低（幾乎可以不計(jì)），但在大量次數(shù)的試驗(yàn)中又是必然發(fā)生的。于是，人們?cè)凇耙苑廊f(wàn)一”的這種心理驅(qū)駛下，用少許的投資去買(mǎi)“平安”，買(mǎi)“放心”。保險(xiǎn)公司則通過(guò)調(diào)查投保人人群的發(fā)生意外傷害死亡和重大疾病的概率，制定投保金額標(biāo)準(zhǔn)，使保險(xiǎn)公司永遠(yuǎn)不會(huì)虧本。</p><p&g

76、t;　　例12：在某地有10000名同年齡段且同社會(huì)階級(jí)的人參加了某保險(xiǎn)公司的一項(xiàng)人壽保險(xiǎn)，每個(gè)投保人在每年初需繳納200元保費(fèi)，而在這一年中若投保人死亡，則受益人可從保險(xiǎn)公司獲得100000元的賠償費(fèi)。據(jù)生命表知這類(lèi)人的年死亡率為0.001.試求保險(xiǎn)公司在這項(xiàng)業(yè)務(wù)上（1）虧本的概率。（2）至少獲利500000元的概率。</p><p>　　解：設(shè)X為10000名投保人在這一年中死亡的人數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布b（1

77、0000,0.001）。保險(xiǎn)公司在這項(xiàng)業(yè)務(wù)上一年的總收入為200×100000=2000000（元）。因?yàn)閚=10000很大，p=0.001很小，所以用 的泊松分布進(jìn)行近似計(jì)算。</p><p>　　保險(xiǎn)公司在這項(xiàng)業(yè)務(wù)上“虧本”就相當(dāng)于{X>20}。因此所求概率為：</p><p>　　保險(xiǎn)公司在這項(xiàng)業(yè)務(wù)上“至少獲利500000元”相當(dāng)于{ }。

78、因此所求概率為： </p><p>　　由此可以看出，保險(xiǎn)公司在這項(xiàng)野望中至少獲利500000元的可能性很大。</p><p>　　通過(guò)上例題我們就可以明白為什么會(huì)有那么多的保險(xiǎn)公司成立，因?yàn)楸ｋU(xiǎn)公司虧本的可能性幾乎為零，并且我們還可以用類(lèi)似的方法算出保險(xiǎn)公司所推出的很多保險(xiǎn)種類(lèi)的利潤(rùn)概率。我們?cè)谏钪?，選擇保險(xiǎn)種類(lèi)的時(shí)候可以根據(jù)這些自己的算法，購(gòu)買(mǎi)適合自己的保險(xiǎn)。</p>

79、<p>　　2.6.2在銷(xiāo)售方面的應(yīng)用</p><p>　　例13：某商店通過(guò)過(guò)去的銷(xiāo)售記錄表明：某種一商品每月的銷(xiāo)售件數(shù)可以用參數(shù)λ=5的泊松分布來(lái)描述，問(wèn)這家商店在月底至少應(yīng)該進(jìn)多少件這種商品（假定上個(gè)月無(wú)存貨）才能有0.999以上的把握保證該產(chǎn)品不脫銷(xiāo)？</p><p>　　解：設(shè)該店每月銷(xiāo)售這種商品X件，月底應(yīng)進(jìn)貨N件，則當(dāng) 時(shí)，才不會(huì)脫銷(xiāo)。而</p&

80、gt;<p><b>　　依題意，要求</b></p><p><b>　　，即</b></p><p>　　查泊松分布表，得滿(mǎn)足上述不等式的最小值N+1=14，故N=13。</p><p>　　因此，這家商店在月底至少進(jìn)13件這種商品，才有可能有99.9%以上的把握，保證這種商品在下個(gè)月內(nèi)不會(huì)脫銷(xiāo)。<

81、/p><p>　　2.7 正態(tài)分布的應(yīng)用</p><p>　　定義 若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為</p><p><b>　　， </b></p><p>　　其中 為常數(shù)，則稱(chēng)服從參數(shù)為 的正態(tài)分布，記為 。習(xí)慣上，稱(chēng)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量為正態(tài)變量。</p>

82、<p>　　2.7.1 確定巴士門(mén)的高度</p><p>　　例14：巴士門(mén)的高度一般是按男子與車(chē)門(mén)頂碰頭的幾率在1%以下來(lái)設(shè)計(jì)的，設(shè)男子身高X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(170，62),試確定車(chē)門(mén)的高度。</p><p>　　解：設(shè)車(chē)門(mén)的高度為h(cm)。依題意應(yīng)有</p><p>　　即 </p&g

83、t;<p>　　因?yàn)?,所以 ,從而</p><p>　　查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得 。</p><p>　　所以取 ，即 ，故車(chē)門(mén)的設(shè)計(jì)高度至少應(yīng)為 方可保證男子與車(chē)門(mén)碰頭的概率在0.01以下。</p><p>

84、;　　2.8 中心極限定理的應(yīng)用</p><p>　　定理5：中心極限定理是研究獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布的問(wèn)題。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ)。</p><p>　　設(shè)n重伯努利試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p，記 為n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且記</p><p><b>　　則對(duì)任意實(shí)數(shù)y，有</b><

85、/p><p><b>　　。</b></p><p>　　棣莫弗—拉普拉斯定理是概率論歷史上第一個(gè)中心極限定理，他是專(zhuān)門(mén)針對(duì)二項(xiàng)分布的。相對(duì)于前面的“泊松定理”給出的“二項(xiàng)分布的泊松近似”，一般在p較小時(shí)，用泊松分布近似較好；而在 和 時(shí)，用正態(tài)分布近似較好。</p><p>　　2.8.1 誤差分析</p>

86、<p>　　例15：一本書(shū)共有100萬(wàn)個(gè)印刷符號(hào).排版時(shí)每個(gè)符號(hào)被排錯(cuò)的概率為0.0001，校對(duì)時(shí)每個(gè)排版錯(cuò)誤被改正的概率為0.9，求校對(duì)后錯(cuò)誤不多于15個(gè)的概率.</p><p>　　分析：根據(jù)題意構(gòu)造一個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，然后建立一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量，應(yīng)用中心極限定理求得結(jié)果.</p><p><b>　　解：設(shè)隨機(jī)變量<

87、/b></p><p>　　則是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，有 。</p><p>　　作 ， 為校對(duì)后錯(cuò)誤總數(shù)。按中心極限定理，有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.8.2商業(yè)評(píng)估問(wèn)題</p

88、><p>　　例16：某調(diào)查公司受委托，調(diào)查某電視節(jié)目在S市的收視率p，調(diào)查公司將所有調(diào)查對(duì)象中收看此節(jié)目的平率作為p的估計(jì) ?，F(xiàn)在要保證有90%的把握，使得調(diào)查所得收視率 與真實(shí)收視率p之間的差異不大于50%。問(wèn)至少要調(diào)查多少對(duì)象。</p><p>　　解：設(shè)共調(diào)查n個(gè)對(duì)象，記</p><p>　　則Xi獨(dú)立同分布，且

89、 。</p><p>　　又記n個(gè)被調(diào)查對(duì)象中，收看此電視節(jié)目的人數(shù)為Yn，則有</p><p>　　由大數(shù)定理知，當(dāng)n很大時(shí)，頻率 與概率p很接近，即用頻率作為p的估計(jì)是合適的。根據(jù)題意有</p><p>　　所以 ，查正態(tài)分布表得</p><p><b>　　從

90、中解得</b></p><p>　　又因?yàn)?，所以 ,即至少調(diào)查271個(gè)對(duì)象。</p><p>　　2.8.3電影院的座位問(wèn)題（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）</p><p>　　林德貝格—勒維中心極限定理：設(shè){Xn}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E（Xi）=μ，Var(Xi)=σ2>0.記</p>

91、<p><b>　　則對(duì)任意實(shí)數(shù)y，有</b></p><p>　　例17：設(shè)某地?cái)U(kuò)建電影院，據(jù)分析平均每場(chǎng)觀眾數(shù) 人，預(yù)計(jì)擴(kuò)建后，平均3/4的觀眾仍然會(huì)去該電影院，在設(shè)計(jì)座位時(shí)，要求座位數(shù)盡可能多，但空座達(dá)到200或更多的概率不能超過(guò)0.1，問(wèn)應(yīng)該設(shè)多少座位？</p><p>　　解：把每日看電影的人編號(hào)為1,2，...，1600，且令&l

92、t;/p><p>　　則由題意 又假定各觀眾去電影院是獨(dú)立選擇，則X1、X2、... 是獨(dú)立隨機(jī)變量，現(xiàn)設(shè)座位數(shù)為m，則按要求</p><p>　　在這個(gè)條件下取m最大。</p><p>　　當(dāng)上式取等號(hào)時(shí)，取最大，因?yàn)?，由定理知，m應(yīng)滿(mǎn)足</p

93、><p>　　查正態(tài)分布表即可確定 ，所以，應(yīng)該設(shè)1377個(gè)座位。</p><p>　　2.9 馬爾科夫鏈的應(yīng)用</p><p>　　馬爾科夫鏈?zhǔn)且环N特殊的概率模式，它在經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中，可用馬爾科夫鏈來(lái)確定企業(yè)產(chǎn)品短期和長(zhǎng)期的市場(chǎng)占有率；而且可以 通過(guò)市場(chǎng)占有率的估計(jì)，來(lái)評(píng)估集中廣告策劃之間的有略；又如會(huì)計(jì)部門(mén)，可用馬爾科夫鏈

94、確定可以賬目的允許差額；營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)，可用馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)顧客是堅(jiān)持用某種品牌的商品，還是轉(zhuǎn)向其他品牌的商品的行為，馬爾科夫鏈成為市場(chǎng)研究的重要工具。</p><p>　　定義：馬爾科夫鏈?zhǔn)墙⒃凇跋到y(tǒng)的狀態(tài)”和“狀態(tài)轉(zhuǎn)移”等基本概念的基礎(chǔ)之上，系統(tǒng)的狀態(tài)，可用狀態(tài)概率向量表示。所謂概率向量是指各個(gè)元素不是負(fù)數(shù)，并且其和等于1的任意行向量。即A=(p1 p2 ... pn),其中 ,且

95、 。</p><p>　　2.9.1 預(yù)測(cè)市場(chǎng)占有率問(wèn)題</p><p>　　例18：某地區(qū)某年第一季度甲、乙、丙三種品牌洗發(fā)精的市場(chǎng)占有率分別是40%、25%和35%。三月底進(jìn)行抽樣調(diào)查，原來(lái)使用甲牌洗發(fā)精的100人中，有90人仍堅(jiān)持用，分別有4人和6人轉(zhuǎn)向使用乙、丙品牌的洗發(fā)精；原來(lái)使用乙牌洗發(fā)精的100人中，有80人仍堅(jiān)持用，分別有15人和5人轉(zhuǎn)向使用甲、丙品牌的洗發(fā)精；原來(lái)

96、使用丙品牌洗發(fā)精的100人中，有70人仍堅(jiān)持用，分別有20人和10人轉(zhuǎn)向使用甲、乙品牌的洗發(fā)精。試問(wèn)這年第二、第三季度，甲、乙、丙三種品牌的洗發(fā)精的市場(chǎng)占有率分別是多少（已確定個(gè)季度洗發(fā)精的市場(chǎng)占有率與前一季度的市場(chǎng)占有率有關(guān)）？</p><p>　　分析：第一季度甲、乙、丙三種品牌洗發(fā)精的市場(chǎng)占有率分別是40%、25%和35%，可用概率向量A0=(0.4 0.25 0.35)表示。如果系統(tǒng)從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變成為

97、另一種狀態(tài)完全是隨機(jī)的，則可用轉(zhuǎn)移概率舉證來(lái)表示，一個(gè)方陣P，當(dāng)他的每行都是由概率向量組成時(shí)，就稱(chēng)P是轉(zhuǎn)移概率矩陣，記為：</p><p>　　由概率向量可知，轉(zhuǎn)移概率矩陣的每一行個(gè)元素之和為1，而各列元素之和不一定為一，根據(jù)定義，顧客向甲、乙、丙三種品牌的洗發(fā)精轉(zhuǎn)移，可用下列轉(zhuǎn)移矩陣表示：</p><p>　　為了預(yù)測(cè)第二、三季度市場(chǎng)占有率，根據(jù)馬爾科夫過(guò)程理論：若隨機(jī)現(xiàn)象的概率轉(zhuǎn)移過(guò)程

98、 ，僅與前一周期狀態(tài)有關(guān)，而與過(guò)去狀態(tài)無(wú)關(guān)，則稱(chēng)它為一階馬爾科夫過(guò)程；如果與前兩周期狀態(tài)有關(guān)，則稱(chēng)為二階馬爾科夫過(guò)程；以此類(lèi)推，如果與前n-1個(gè)周期狀態(tài)有關(guān)，則稱(chēng)為n階馬爾科夫過(guò)程。由于這種隨機(jī)過(guò)程一環(huán)扣一環(huán)，所以又稱(chēng)為馬爾科夫鏈。若用AK表示第k周期的概率向量，則可證明。</p><p>　　解：由題意，第二季度市場(chǎng)占有率 即</p><p>　　即第二季度甲、乙、丙三種

99、品牌洗發(fā)精的市場(chǎng)占有率分別是46.75%、25.1%、28.15%；</p><p>　　同理，第三季度市場(chǎng)占有率 ，即</p><p>　　即第三季度甲、乙、丙三種品牌洗發(fā)精的市場(chǎng)占有率分別是51.47%、24.765%、23.765%；</p><p>　　以上是有關(guān)概率論在生活中普遍的應(yīng)用的例子。當(dāng)然在生活你會(huì)發(fā)現(xiàn)它還有很多有意思的例子，例如在軍事

100、上、在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中。通過(guò)以上的例述，我們可以從中領(lǐng)悟到概率論就像英國(guó)的邏輯學(xué)家的經(jīng)濟(jì)學(xué)家杰文斯說(shuō)的那樣，它是“生活真正的停路人，如果沒(méi)有對(duì)概率的某種估計(jì)，我們就寸步難行，無(wú)所作為”。</p><p>　　概率論已被廣泛地應(yīng)用到各個(gè)科學(xué)分支和各個(gè)生產(chǎn)部門(mén)。正如美籍中國(guó)數(shù)學(xué)家鐘開(kāi)萊先生在1974 年3 月所說(shuō)的那樣:“在過(guò)去半個(gè)世紀(jì)中, 概率論從一個(gè)較小的、孤立的課程發(fā)展成為一個(gè)與數(shù)學(xué)許多其它分支相互影響, 內(nèi)容寬廣而

101、深入的學(xué)科?！?lt;/p><p>　　第三章 生活中趣味概率問(wèn)題</p><p>　　3.1巴拿郝火柴問(wèn)題（負(fù)二項(xiàng)分布）</p><p>　　定理1：考慮獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p， ，試驗(yàn)一直累積進(jìn)行到一共累計(jì)成功了r次為止。令X表示此次試驗(yàn)的總次數(shù)，則：</p><p>　　例1：有一個(gè)抽煙的數(shù)學(xué)家一直隨身在左右兩個(gè)口袋里

102、各帶著一盒火柴，他每次需要火柴時(shí)，都隨機(jī)從兩個(gè)口袋里任取一盒，并取出一根使用。假設(shè)開(kāi)始時(shí)兩盒火柴各有N根火柴，問(wèn)在他第一次發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)盒子空了的時(shí)候，另一個(gè)盒子中恰好有K根火柴的概率。</p><p>　　解：令E表示“第一次發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)盒子空了的時(shí)候，另一個(gè)盒子中恰好有K根火柴”事件，這個(gè)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)?shù)冢∟+1+N-K）次抽火柴是取中的時(shí)左邊（或右邊）口袋，而且是第（N+1）次取中左邊（或右邊）口袋時(shí)才會(huì)發(fā)

103、生，因此事件E的概率為：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　3.2“運(yùn)氣輪”賭博中的概率問(wèn)題（二項(xiàng)分布）</p><p>　　定義 定義在樣本空間Ω上的實(shí)值函數(shù) 成為隨機(jī)變量。加入一個(gè)隨機(jī)變量?jī)H取有限個(gè)或可列個(gè)值，則稱(chēng)其為離散隨機(jī)變量。如果記X為n重伯努利試驗(yàn)中成功（記為事件A）的次數(shù)，則X的可能取值為

104、0,1，...，n。記p為每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率?？汕蟪鯴的分布列，即事件{X=k}的概率：</p><p>　　這個(gè)分布稱(chēng)為二項(xiàng)分布，記為X～b(n,p)。</p><p>　　例2：在世界各地的狂歡節(jié)和賭場(chǎng)都十分流行的一種賭博方式叫“運(yùn)氣輪”，賭徒押注于1到6之間的某一個(gè)數(shù)，然后莊家擲3枚骰子，如果賭徒押的數(shù)i，i=1,2,3次，那么他將贏得i單位。反之，如果賭徒押的數(shù)沒(méi)有出現(xiàn)，他將損

105、失一單位。問(wèn)這個(gè)賭博對(duì)賭徒是否公平？</p><p>　　解：我們假設(shè)骰子是均勻的，而且擲出的點(diǎn)數(shù)相互獨(dú)立，那么賭徒押的數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)就是一個(gè)二項(xiàng)隨機(jī)變量，其參數(shù)為（3,1/6），因此，令X表示賭徒贏得的數(shù)目，得到：</p><p>　　通過(guò)計(jì)算這場(chǎng)賭博的方差E（X），我們可以看出這種賭博方式對(duì)賭徒是否公平，得：</p><p>　　通過(guò)上面的計(jì)算可以看出，通過(guò)長(zhǎng)期的

106、賭博，每216局，賭徒將輸?shù)?7個(gè)單位。</p><p>　　3.3麻雀逃殺問(wèn)題（期望的性質(zhì) 期望公式）</p><p>　　定理2：設(shè)X的分布為二項(xiàng)分布，其參數(shù)為（n,p），我們可以將X寫(xiě)成，其中：</p><p>　　因此，Xi是一個(gè)伯努利隨機(jī)變量，其期望E(Xi)=1×p+0×(1-p)=p,因此：</p><p>

107、<b>　　。</b></p><p>　　例3：某日在公園里發(fā)現(xiàn)10個(gè)頑童在射麻雀，假設(shè)當(dāng)一群10只麻雀飛過(guò)頭頂時(shí)，10個(gè)頑童隨機(jī)瞄準(zhǔn)一直麻雀進(jìn)行攻擊，設(shè)每個(gè)頑童射中麻雀的概率都為p，求逃過(guò)這一劫的麻雀數(shù)的期望值。</p><p><b>　　解：記</b></p><p><b>　　于是，</b>

108、;</p><p>　　其中，X表示逃過(guò)這一劫的麻雀數(shù)量，E(Xi)=P{Xi=1}表示1號(hào)麻雀逃過(guò)一劫的概率，每個(gè)頑童是否擊中麻雀是相互獨(dú)立的，概率為p/10，因此</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而</b></p><p><b>　　。</

109、b></p><p>　　從上面三個(gè)例子我們可以看出，概率論思想其實(shí)已經(jīng)滲透進(jìn)我們的日常生活中，只要保持一顆探索的心和一雙探索的眼睛，生活中的任何意見(jiàn)是都包含了數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想，只要涉及到?jīng)Q策、評(píng)估甚至是簡(jiǎn)單的游戲都可以運(yùn)用概率論的思想去探究和解釋?zhuān)虼?，學(xué)好這門(mén)課程, 把概率論作為討論和解釋生活現(xiàn)象的必備工具, 是教育中必不可少的要求, 也是科學(xué)研究與應(yīng)用的需求。</p><p>&l

110、t;b>　　結(jié) 論</b></p><p>　　隨機(jī)現(xiàn)象在自然界和人類(lèi)生活中無(wú)處不在，隨著人類(lèi)社會(huì)的進(jìn)步，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，經(jīng)濟(jì)全球華的日益快速進(jìn)程，概率論在眾多領(lǐng)域內(nèi)扮演著重要的角色。本文就概率論的發(fā)展簡(jiǎn)介，具體從概率論的起源、發(fā)展、理論研究過(guò)程以及它在生活中方方面面的應(yīng)用作了論述。從而得知；概率論作為一門(mén)研究隨機(jī)現(xiàn)象中的數(shù)量規(guī)律的科學(xué)，已獲得當(dāng)今社會(huì)的廣泛應(yīng)用，正如拉普拉斯所說(shuō)：“生活中最重

111、要的問(wèn)題，其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問(wèn)題?！?lt;/p><p>　　在當(dāng)今的社會(huì)里，概率統(tǒng)計(jì)已經(jīng)滲透入我們生活的方方面面，他已經(jīng)不僅是科學(xué)研究中具有重要意義的理論，也已經(jīng)成為一種具有普遍意義的思想方法。但是，以我們目前的認(rèn)識(shí)水平來(lái)看，概率統(tǒng)計(jì)還只能是人類(lèi)認(rèn)識(shí)世界的一種重要方法，對(duì)于其本質(zhì)的認(rèn)識(shí)還不是我們現(xiàn)在能夠解決的問(wèn)題，正如數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于人類(lèi)來(lái)說(shuō)一樣無(wú)從證明其正確性一樣，我們只能說(shuō)，大膽地應(yīng)用它吧。</

112、p><p>　　概率論是一門(mén)充滿(mǎn)獨(dú)特色彩的學(xué)科，通過(guò)大學(xué)里對(duì)概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)課程的學(xué)習(xí)，我也深深被它所吸引。所謂“學(xué)以致用”，在今后的道路上，我將更加堅(jiān)定的使用科學(xué)的、數(shù)學(xué)的思想去看待問(wèn)題并解決問(wèn)題，概率論也將不再僅僅只是一門(mén)學(xué)科，更是一種生活的哲學(xué)。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 茆詩(shī)松、程依明、濮

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