畢業(yè)論文----概率論的發(fā)展簡介及其生活中的應(yīng)用

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p>　　論文(設(shè)計)題目： 概率論的發(fā)展簡介及其 </p><p>　　在生活中的若干應(yīng)用 </p><p>　　專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　班級：

2、 </p><p>　　學(xué)號： </p><p>　　學(xué)生姓名： </p><p>　　指導(dǎo)教師姓名： </p><p>　　2010 年 5 月

3、</p><p>　　概率論的發(fā)展簡介及其在生活中的若干應(yīng)用</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　概率論是一門研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的科學(xué)，已有300 余年的歷史。了解概率論的起源及其在實踐中的發(fā)展很有必要，隨著社會的發(fā)展，概率論的理論方法已成為研究工農(nóng)生產(chǎn)、國民經(jīng)濟、現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不可缺少的工具。概率論進入其他科

4、學(xué)領(lǐng)域的趨勢在不斷發(fā)展為此更有必要進一步分析概率論在生活中的應(yīng)用,重點探討日常生活中如抽簽，經(jīng)濟效益，相遇，如何追究責(zé)任及其正常運作的問題。 充分體現(xiàn)了把概率論作為日常生活中問題解決的必備工具。</p><p><b>　　關(guān) 鍵 詞</b></p><p>　　概率論；概率論的理論基礎(chǔ)；概率論的應(yīng)用；抽簽；經(jīng)濟效益；相遇問題</p><p>

5、　　About the development of probability theory and its application in a number of life</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Probability theory is the study of the number of laws of rando

6、m phenomena of science, has more than 300 years of history. Understanding the origins of probability theory and its development in practice are necessary, along with social development, methods of probability theory have

7、 become an indispensable tool as researching industry and agriculture production, the national economy, modern science and technology. Probability of the trend into other fields of science is even more necessary in the&l

8、t;/p><p><b>　　Key words</b></p><p>　　Probability theory; On the basis of probability theory; Application of probability theory; ballot; economic benefits; encounter problems.</p>

9、<p><b>　　目 錄</b></p><p>　　引言………………………………………………………………………………………3</p><p>　　1. 概率論的發(fā)展簡介……………………………………………………………………3</p><p>　　1.1 概率論的起源…………………………………………………………………3</

10、p><p>　　1.2 現(xiàn)代概率論在實踐的曲折發(fā)展………………………………………………3</p><p>　　1.3 概率論的理論基礎(chǔ)……………………………………………………………4</p><p>　　1.4 概率論的進一步發(fā)展…………………………………………………………5</p><p>　　2. 概率論在生活中的應(yīng)用………………………………

11、………………………………5</p><p>　　2.1 抽簽先后是否公平……………………………………………………………6</p><p>　　2.2 經(jīng)濟效益………………………………………………………………………7</p><p>　　2.3 相遇問題………………………………………………………………………7</p><p>　　2.4 如何追

12、究責(zé)任…………………………………………………………………8</p><p>　　2.5 正常運作的問題………………………………………………………………9</p><p>　　2.6 校對錯誤………………………………………………………………………9</p><p>　　結(jié)論………………………………………………………………………………………10</p>&

13、lt;p>　　參考文獻…………………………………………………………………………………10</p><p><b>　　引言</b></p><p>　　17、18世紀，數(shù)學(xué)獲得了巨大的進步。數(shù)學(xué)家們沖破了古希臘的演繹框架，向自然界和社會生活的多方面汲取靈感，數(shù)學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)了眾多嶄新的生長點，而后都發(fā)展成完整的數(shù)學(xué)分支。除了分析學(xué)這一大系統(tǒng)之外，概率論就是這一時期&

14、quot;使歐幾里得幾何相形見絀"的若干重大成就之一。20世紀以來，由于物理學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)、農(nóng)業(yè)技術(shù)和軍事技術(shù)發(fā)展的推動，概率論飛速發(fā)展，理論課題不斷擴大與深入，應(yīng)用范圍大大拓寬。在最近幾十年中，概率論的方法被引入各個工程技術(shù)學(xué)科和社會學(xué)科。為此，應(yīng)用概率論來探討生活中的應(yīng)用有必然的重要性。</p><p>　　1. 概率論發(fā)展簡介</p><p>　　1.1 概率論論的起

15、源</p><p>　　概率是一門研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的科學(xué)，它起源于博弈問題。15-16世紀，意大利數(shù)學(xué)家帕喬利(L.Pacioli,1445-1517)、塔塔利亞(N.Tartaglia,1499-1557)和卡爾丹(G.cardano,1501-1576)的著作中都曾討論過倆人賭博的賭金分配等概率問題。17世紀中葉，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯(C.Huygens,1629-1695)發(fā)表了《論賭博中的計算》，這是最

16、早的概率論著作。這些數(shù)學(xué)家的著述中所出現(xiàn)的第一批概率論概念與定理，標(biāo)志著概率論的誕生。</p><p>　　17、18世紀之交，有不少數(shù)學(xué)家從事概率的研究。雅格布?伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705)的巨著《猜度術(shù)》是一項重大的成就，“伯努利定理”著稱的極限定理是是“大數(shù)定律”的最早形式。伯努利之后，德莫瓦佛的《機會的學(xué)說》(Doct rine of Chances, 1718, 倫敦出版

17、) 包含“德莫佛—拉普拉斯定理”。開辟了概率論的新時期。泊松則推廣了大數(shù)定律, 提出了著名的“泊松分布”。</p><p>　　19世紀后期，極限理論的發(fā)展稱為概率論研究的中心課題，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫?qū)Υ俗龀隽酥卮筘暙I。他建立了關(guān)于獨立隨機變量序列的大數(shù)定律，推廣了德莫弗—拉普拉斯的極限定理。19世紀末，一方面概率論在統(tǒng)計物理等領(lǐng)域的應(yīng)用提出了對概率論基本概念與原理進行解釋的需要，另一方面，科學(xué)家們在這一時期發(fā)現(xiàn)

18、的一些概率論悖論也揭示出古典概率論中基本概念存在的矛盾與含糊之處。</p><p>　　1.2 現(xiàn)代概率論在實踐中曲折發(fā)展</p><p>　　在概率問題早期的研究中，逐步建立了事件、概率和隨機變量等重要概念以及它們的基本性質(zhì)。后來由于許多社會問題和工程技術(shù)問題，如：人口統(tǒng)計、保險理論、天文觀測、誤差理論、產(chǎn)品檢驗和質(zhì)量控制等。這些問題的提法，均促進了概率論的發(fā)展。但是，隨著概率論中各個領(lǐng)

19、域獲得大量成果，以及概率論在其他基礎(chǔ)學(xué)科和工程技術(shù)上的應(yīng)用，由拉普拉斯給出的概率定義的局限性很快便暴露了出來，甚至無法適用于一般的隨機現(xiàn)象。</p><p>　　由于19 世紀的分析沒有嚴格化, 以其為研究工具的概率論的嚴格化就成了空中樓閣。雖后來分析的基礎(chǔ)嚴密化了, 但測度論尚未發(fā)明。因此, 20 世紀前的概率論明顯缺乏數(shù)學(xué)的嚴格化和嚴密性, 甚至連龐加萊(J. H. Po incare, 1854- 1912

20、) 也不能把概率論演繹成邏輯上嚴密完美的學(xué)科。</p><p>　　諸如“貝特朗悖論”以及概率論在物理、生物等領(lǐng)域的應(yīng)用都需要對概率論的概念、原理做出解釋。正是這些問題促使人們思考概率論的基礎(chǔ)問題及概率論所依賴的數(shù)學(xué)技術(shù)問題。1900 年, 希爾伯特(D. H ilbert, 1862- 1943) 在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上所作報告中的第六個問題, 就是呼吁把概率論公理化。[10 ]很快該問題就成為當(dāng)時數(shù)學(xué)乃至整個

21、自然科學(xué)界亟待解決的問題之一。最早對概率論嚴格化進行嘗試的是俄羅斯數(shù)學(xué)家伯恩斯坦(C. H. Bern stein, 1880- 1968) 和奧地利數(shù)學(xué)家米澤斯(R. vonM ises, 1883- 1953)。</p><p>　　因此可以說，到20世紀初，概率論的一些基本概念，諸如概率等尚沒有確切的定義，概率論作為一個數(shù)學(xué)分支，缺乏嚴格的理論基礎(chǔ)。</p><p>　　1917 年

22、伯恩斯坦發(fā)表了題為“論概率論的公理化基礎(chǔ)”的論文, 隨后的幾年里他仍致力于研究概率論公理化。1927 年其《概率論》第一版問世, 最后一個版本即第四版出現(xiàn)于1946 年。伯恩斯坦在書中給出了一個詳細的概率論公理體系。</p><p>　　1.3 概率論的理論基礎(chǔ)</p><p>　　概率論的第一本專著是1713年問世的雅各·貝努利的《推測術(shù)》。經(jīng)過二十多年的艱難研究，貝努利在該樹

23、種，表述并證明了著名的"大數(shù)定律"。所謂"大數(shù)定律"，簡單地說就是，當(dāng)實驗次數(shù)很大時，事件出現(xiàn)的頻率與概率有較大偏差的可能性很小。這一定理第一次在單一的概率值與眾多現(xiàn)象的統(tǒng)計度量之間建立了演繹關(guān)系，構(gòu)成了從概率論通向更廣泛應(yīng)用領(lǐng)域的橋梁。因此，伯努利被稱為概率論的奠基人。</p><p>　　定義隨機事件、概率等概念后, 伯恩斯坦引進了三個公理?；谶@三個公理構(gòu)造出整個概率

24、論大廈,但其理論體系并不令人滿意。正如柯爾莫哥洛夫所言, 第一個系統(tǒng)的概率論公理化體系是伯恩斯坦所給, 其建立的基礎(chǔ)是依據(jù)隨機事件的概率對事件做定性比較的思想。在定性比較思想中概率的數(shù)值似乎是推導(dǎo)而來, 而不是基本概念。米澤斯的主要工作是概率論的頻率定義和統(tǒng)計定義的公理化。在《概率, 統(tǒng)計和真理》(1928) 一書中, 他建立了頻率的極限理論, 強調(diào)概率概念只有在大量現(xiàn)象存在時才有意義。雖然頻率定義在直觀上易于理解, 易為實際工作者和物

25、理學(xué)家所接受, 便于在實際工作中應(yīng)用, 但像某個事件在一獨立重復(fù)試驗序列中出現(xiàn)無窮多次這一事件的概率, 米澤斯理論是無法定義的。</p><p>　　為概率論確定嚴密的理論基礎(chǔ)的是數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫。1933年，他發(fā)表了著名的《概率論基礎(chǔ)》，這是概率論的一部經(jīng)典性著作。其中，科爾莫戈羅夫給出了公理化概率論的一系列基本概念，提出了六條公理，整個概率論大廈可以從這六條公理出發(fā)建筑起來?？茽柲炅_夫的公理體系逐漸得到數(shù)

26、學(xué)家們的普遍認可。由于公理化，概率論成為一門嚴格的演繹科學(xué)，并通過集合論與其它數(shù)學(xué)分支密切地聯(lián)系者。用公理化結(jié)構(gòu)，這個結(jié)構(gòu)明確定義了概率論發(fā)展史上的一個里程碑，為他以后的概率論的迅速發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。</p><p>　　1.4 概率論的進一步的發(fā)展</p><p>　　在公理化基礎(chǔ)上，現(xiàn)代概率論取得了一系列理論突破。公理化概率論首先使隨機過程的研究獲得了新的起點。1931年，科爾莫戈羅夫用

27、分析的方法奠定了一類普通的隨機過程。所謂隨機過程：如果固定某一觀測時刻t,事物在時刻t 出現(xiàn)的狀態(tài)是隨機的，即每次所得到的結(jié)果是不相同的一個過程。隨機過程論是起源于馬爾柯夫關(guān)于“成連續(xù)鎖的試驗”的研究。這一類普通的隨機過程是馬爾柯夫的理論基礎(chǔ)。</p><p>　　科爾莫戈羅夫之后，對隨機過程的研究做出重大貢獻而影響著整個現(xiàn)代概率論的重要代表人物有萊維(P.Levy,1886-1971)、辛欽、杜布(J.L.Do

28、b)和伊藤清等。1934年，辛欽提出平穩(wěn)過程的相關(guān)理論。1948年萊維出版的著作《隨機過程與布朗運動》提出了獨立增量過程的一般理論，并以此為基礎(chǔ)極大地推進了作為一類特殊馬爾可夫過程的布朗運動的研究。1939年，維爾(J.Ville)引進“鞅”的概念，1950年起，杜布對鞅概念進行了系統(tǒng)的研究而使鞅論成為一門獨立的分支。從1942年開始，日本數(shù)學(xué)家伊藤清引進了隨機積分與隨機微分方程，不僅開辟了隨機過程研究的新道路，而且為隨機分析這門數(shù)學(xué)新

29、分支的創(chuàng)立和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。概率論的發(fā)展史說明了理論與實際之間的密切關(guān)系。許多研究方向的提出，歸根到底是有其實際背景的。反過來，當(dāng)這些方向被深入研究后，又可指導(dǎo)實踐，進一步擴大和深化應(yīng)用范圍。</p><p>　　2. 概率論在生活中的應(yīng)用</p><p>　　概率論進入其他科學(xué)領(lǐng)域的趨勢在不斷發(fā)展。下面簡略介紹一下概率論本身在現(xiàn)代的應(yīng)用情況。</p><p>　　

30、物理方面，放射性衰變，粒子計數(shù)器，原子核照相乳膠中的徑跡理論和原子核反應(yīng)堆中的問題等的研究，都要用到泊松過程和更新理論。</p><p>　　化學(xué)反應(yīng)動力學(xué)中，研究化學(xué)反應(yīng)的時變率及影響這些時變率的因素問題,自動催化反應(yīng)，單分子反應(yīng),雙分子反應(yīng)及一些連鎖反應(yīng)的動力學(xué)模型等，都要以生滅過程（馬爾柯夫）來描述。</p><p>　　許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信，船舶裝卸，機器損修，病人候診，紅綠燈

31、交換，存貨控制，水庫調(diào)度，購貨排隊，等等，都可用一類概率模型來描述。在社會科學(xué)領(lǐng)域，特別是經(jīng)濟學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟的穩(wěn)定增長等問題，也大量采用概率論方法。</p><p>　　同時它對各種應(yīng)用數(shù)學(xué)如統(tǒng)計學(xué)、運籌學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟學(xué)和心理學(xué)的數(shù)學(xué)化起著中心作用?！?lt;/p><p>　　概率論已獲得當(dāng)今社會的廣泛應(yīng)用，正如拉普拉斯所說：“生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的問題。

32、”概率已成為日常生活的普通常識的今天，對現(xiàn)實生活中的概率問題進行研究就更顯得十分重要，下面舉一些實例加以說明。</p><p>　　2.1 抽簽先后是否公平 （古典概型）</p><p>　　【例1】生活中，我們有時要用抽簽的方法來決定一件事情。我們就來研究一下，從概率的方面來說明抽簽次序是否影響抽簽結(jié)果？</p><p>　　分析：這是古典概率的一個典型問題。&l

33、t;/p><p>　　解法1：不一般性，第一，不妨考察5個簽中有一個彩簽的情況，對第1個抽簽者來說，他從5個簽中任抽一個，得到彩簽的概率，為了求得第2個抽簽者抽到彩簽的概率，把前2人抽簽的情況作一整體分析，從5個簽中先后抽出2個，可以看成從5個元素中抽出2個進行排列，它的種數(shù)是，而其中第2人抽到彩簽的情況有，因此,第1人未抽到彩簽，而第2人抽到彩簽的概率為，</p><p>　　通過類似的分析

34、，可知第3個抽簽的概率為，</p><p>　　第4個、第5個分別為，.</p><p>　　一般地，如果在n個簽中有1個彩簽，n個人依次從中各抽1個，且后抽人不知先抽人抽出的結(jié)果，那么第i個抽簽者(i=1,2,…,n)抽到彩簽的概率為；</p><p>　　解法2：在n個簽中第i個抽簽者抽到彩簽，此時樣本點取決于n個人中那個抽到彩簽。共有， 樣本點，而第i個人抽彩

35、簽，只需其余（n-1）個人在（n-1）個簽中選。即 ，個簽中第i個人中簽的 概率為.</p><p>　　以上兩種揭發(fā)所得結(jié)果相同，都與抽簽的順序i無關(guān)，這證明抽簽是公平的。如果n個人將有1個人中簽，那么無論是先抽還是后抽，其中簽的概率均為；也就是說，并未因為抽簽的順序不同而影響到其公平性。</p><p>　　2.2 經(jīng)濟效益 (獨立事件)</p><p>　　有

36、時從經(jīng)濟效益的角度來考慮，利用概率的知識可使得有些問題變得更簡單又經(jīng)濟，省錢又省力。</p><p>　　【例2】為防止某突發(fā)事件發(fā)生，在甲、乙、丙、丁四種相互獨立的預(yù)防措施可供采用，單獨采用甲、乙、丙、丁預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率(記為P)和所需費用如下： </p><p>　　預(yù)防方案可單獨采用一種預(yù)防措施或聯(lián)合采用幾種預(yù)防措施。在總費用不超過120萬元的前提下，我們應(yīng)該采用哪一

37、種預(yù)防方案，可使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大？</p><p>　　我們現(xiàn)在就來研究在總費用不超過120萬元的前提下采用哪一種相對比較好。</p><p>　　分析：每種預(yù)防措施都是相互獨立的，這樣，可根據(jù)事件的獨立性性質(zhì)及加法公式進行計算.</p><p>　　方案1：單獨采用一種預(yù)防措施的費用均不超過120萬元。由表可知，采用甲措施， 可使此突發(fā)事件不發(fā)生

38、的概率最大，其概率為P1=0.9.</p><p>　　方案2：聯(lián)合采用兩種預(yù)防措施費用不超過120萬元。由表可知，聯(lián)合甲、丙兩種措施，可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大，其概率為:</p><p>　　P2=1-P（）P（）=1-(1- P（） ) (1- P（） )= 1-(1-0.9)(1-0.7)= 0.97.</p><p>　　方案3：聯(lián)合采用三種預(yù)防措施費

39、用不超過120萬元。故只能聯(lián)合乙、丙、丁三種預(yù)防措施，此時，突發(fā)事件不發(fā)生的概率為：</p><p>　　P3=1-P（）P（）P（）=1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6)=1-0.024=0.976.</p><p>　　綜合上述三種預(yù)防方案可知，在總費用不超過120萬元的前提下，聯(lián)合乙、丙、丁三種預(yù)防措施可合突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大，其概率為0.976。</p>

40、<p>　　2.3 相遇問題 （幾何概型）</p><p>　　【例3】一位丈夫和他的妻子要上街購物，他們決定在上午10：00到11：00之間到某一街角的一家商店門口相會，他們約定當(dāng)其中一人先到后一定要等另一人15分鐘，若另一人仍不到則離去。試問這對夫妻能夠相遇的概率為多大？假定他們到達約定地點的時間是隨機的且都在約定的一小時之內(nèi)。</p><p>　　分析：這是一個幾何概率問

41、題，通?？山柚鷰缀紊系亩攘浚ㄩL度、面積、體積或容積等）來合理地規(guī)定其概率.</p><p>　　解：問題主要涉及到丈夫和妻子到達商店門口的時間這兩個變量，若用x和y表示上午10：00以后丈夫和妻子分別到達約定地點的時間(以分鐘計算)，則他們所有可能的到達時間都可由有序?qū)?x,y)來表示，</p><p>　　其中0<x<60,0<y<60,于是樣本空間即為圖中邊長為

42、60的正方形區(qū)域。</p><p>　　為了使丈夫和妻子相遇，他們到達時間必須在相距15分鐘的</p><p>　　間隔之內(nèi)，也就是說滿足|x-y|<15,此范圍表示的區(qū)域即為事件A(這對夫妻能夠相遇)發(fā)生的區(qū)域，如圖中正方形內(nèi)兩條線段所夾陰影部分所示。因此，。</p><p>　　結(jié)果表明；按此規(guī)則相會，兩人能夠會面的概率不超過0.5.若把約定時間推晚些，相

43、會的概率會大些。</p><p>　　2.4 如何追究責(zé)任 （條件概率）</p><p>　　在談及隨機試驗及其中各個事件的概率的時候，總是在一組確定的條件下討論。附加條件（即小前提）通常以某個事件已經(jīng)發(fā)生的形式給出，這就是已知某事件已發(fā)生后的條件概率。</p><p>　　【例4】某廠有4個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的0.15，0.2，0.3，0.35

44、，個車間的次品率分別為0.05，0.04，0.03，0.02，有一用戶買了該廠1件產(chǎn)品，經(jīng)檢查是次品，用戶按規(guī)定進行索賠。廠長要追究生產(chǎn)車間的責(zé)任，但是該產(chǎn)品是哪個車間生產(chǎn)的標(biāo)志已脫落。問廠長應(yīng)如何追究生產(chǎn)車間的責(zé)任？</p><p>　　由于不知該產(chǎn)品哪個車間生產(chǎn)的，因此每個車間都要負責(zé)任。各車間所負責(zé)任的大小應(yīng)該正比該產(chǎn)品是各個車間生產(chǎn)的概率。</p><p>　　解：設(shè)Aj=“該產(chǎn)品

45、是j車間生產(chǎn)的”，j=1，2，3，4;</p><p>　　B=“從該廠的產(chǎn)品中任取1簡恰好取到次品”．</p><p>　　則第j個車間所負責(zé)任的大?。ū壤闂l件概率,j=1,2,3,4;</p><p>　　由貝葉斯公式，得： j=1,2,3,4;</p><p>　　又因 P(A1)=0.15, P(A2)=0.2, P(A3)=

46、0.3, P(A4)=0.35.</p><p>　　=0.05, =0.04,=0.03 ,=0.02.從而：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　即第1，2，3，4車間所負責(zé)任比重為0.238，0.254，0.286，0.222.</p><p>　　2.5 正常運作的問題 （伯努利概型）&l

47、t;/p><p>　　【例5】某車間有10臺同類型的設(shè)備，每臺設(shè)備的電動機功率為10千瓦.已知每臺設(shè)備每小時實際開動12分鐘，它們的使用是相互獨立的.因某種原因，這天供電部門只能給車間提供50千瓦的電力.問該天這10臺設(shè)備能正常運作的概率是多少？</p><p>　　分析：由題意知，所要求的概率就是求“該天同時開動的設(shè)備不超過5臺”這一事件的概率.因為每臺設(shè)備的使用是相互獨立的，且在某一時刻，

48、設(shè)備只有開動與不開動兩種情況，所以本題可視為10重貝努里試驗，可用二項概率公式進行求解.</p><p>　　解：設(shè)表示事件“設(shè)備開動”，表示“同時開動的設(shè)備數(shù)”，則由二項概率公式得：()K()10-K，同時開動不超過5臺的概率： ；</p><p>　　故該天這10臺設(shè)備能正常運作的概率為0.994.</p><p>　　2.6 校對錯誤 （

49、中心極限定理）</p><p>　　【例6】一本書共有100萬個印刷符號.排版時每個符號被排錯的概率為0.0001，校對時每個排版錯誤被改正的概率為0.9，求校對后錯誤不多于15個的概率.</p><p>　　分析：根據(jù)題意構(gòu)造一個獨立同分布的隨機變量序列，具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，然后建立一個標(biāo)準化的隨機變量，應(yīng)用中心極限定理求得結(jié)果.</p><p><

50、b>　　解：設(shè)隨機變量</b></p><p>　　則是獨立同分布隨機變量序列，有.作，為校對后錯誤總數(shù).按中心極限定理（德—拉定理），有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　以上是有關(guān)概率論在生活中大的應(yīng)用的例子。當(dāng)然在生活你會發(fā)現(xiàn)它還有很多有意思的例子，例如在軍事上、在賭博上等等。由以上幾個問題的探

51、討，我們可以從中領(lǐng)悟到概率論的確如英國的邏輯學(xué)家的經(jīng)濟學(xué)家杰文斯（Jevons,1835-1882）說的那樣，它是“生活真正的停路人，如果沒有對概率的某種估計，我們就寸步難行，無所作為”。</p><p>　　從上面的論述中, 我們看到概率論已被廣泛地應(yīng)用到各個科學(xué)分支和各個生產(chǎn)部門。正如美籍中國數(shù)學(xué)家鐘開萊先生在1974 年3 月所說的那樣:“在過去半個世紀中, 概率論從一個較小的、孤立的課程發(fā)展成為一個與數(shù)學(xué)

52、許多其它分支相互影響, 內(nèi)容寬廣而深入的學(xué)科?！?因此，我們要學(xué)好這些課程, 必須把概率論作為必備工具, 這是素質(zhì)教育中必不可少的要求, 也是科學(xué)研究與應(yīng)用的需求。</p><p><b>　　結(jié)論</b></p><p>　　本文就概率論的發(fā)展簡介，具體從他的起源、發(fā)展、理論基礎(chǔ)及其進一步發(fā)展作出了詳細的論述。從而得知；概率論是一門研究隨機現(xiàn)象中的數(shù)量規(guī)律的科學(xué)。隨

53、機現(xiàn)象在自然界和人類生活中無處不在，隨著人類社會的進步，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，經(jīng)濟全球華的日益快速進程，概率論在眾多領(lǐng)域內(nèi)扮演著重要的角色。在實際生活中尤為廣泛的應(yīng)用。我就生活中的抽簽、經(jīng)濟效益、相遇等問題、如何追究責(zé)任、設(shè)備運作及其印刷校對錯誤的問題進行了具體的探討。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 劉秀芳．概率論基礎(chǔ)[M]．北京

54、．科學(xué)出版社． 1982</p><p>　　[2] 楊振明．概率論[M]．北京．科學(xué)出版社． 1999</p><p>　　[3] 張景中．趣味隨機問題[M]．北京．科學(xué)出版社</p><p>　　[4] 孫榮恒．應(yīng)用概率論[M]．北京．科學(xué)出版社</p><p>　　[5] 茆詩松 程依明 濮曉弄．北京．概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]．高等教育出