數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)

1、<p><b>　　本科生課程論文</b></p><p>　　題 目： 數(shù)值分析課程設(shè)計(jì) </p><p>　　姓 名： </p><p>　　學(xué) 院： 理學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 </p>&l

2、t;p>　　專 業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè) </p><p>　　班 級(jí)： </p><p>　　學(xué) 號(hào)： </p><p>　　指導(dǎo)教師：

3、 </p><p>　　完成時(shí)間： 2011年12月23日 </p><p>　　二○一一年十二月二十三日</p><p>　　課 程 論 文 任 務(wù) 書</p><p>　　論文題目 數(shù)值分析課程設(shè)計(jì) </p

4、><p>　　論文內(nèi)容（需明確列出研究的問(wèn)題）： 運(yùn)用MATLAB數(shù)學(xué)軟件設(shè)計(jì)出數(shù)值分析的求拉格朗日插值多項(xiàng)式和牛頓插值多項(xiàng)式以及Polyfit多項(xiàng)函數(shù)擬合來(lái)求的擬合曲線和列主元Guass消去法解方程組。 </p><p>　　

5、資料、數(shù)據(jù)、技術(shù)水平等方面的要求：論文要符合一般學(xué)術(shù)論文的寫作規(guī)范，具備學(xué)術(shù)性、科學(xué)性和一定的創(chuàng)造性。文字要流暢、語(yǔ)言要準(zhǔn)確、論點(diǎn)要清楚、論據(jù)要準(zhǔn)確、論證要完整、嚴(yán)密，有獨(dú)立的觀點(diǎn)和見(jiàn)解。內(nèi)容要理論聯(lián)系實(shí)際，計(jì)算數(shù)據(jù)要求準(zhǔn)確，涉及到他人的觀點(diǎn)、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)或計(jì)算公式等要標(biāo)明出處，結(jié)論要寫的概括簡(jiǎn)短。參考文獻(xiàn)的書寫按論文中引用的先后順序連續(xù)編碼。（根據(jù)情況修改） </p><p>　　發(fā)出任務(wù)書日期

6、2011.12.18 完成論文（設(shè)計(jì)）日期 2011.12.23 </p><p>　　學(xué)科組或教研室意見(jiàn)（簽字） </p><p>　　院、系（系）主任意見(jiàn)（簽字） </p><p><b>　　目錄</b&g

7、t;</p><p><b>　　前言3</b></p><p><b>　　一、設(shè)計(jì)題1：4</b></p><p>　?。ㄒ唬?、求拉格朗日插值多項(xiàng)式4</p><p><b>　　1.1理論知識(shí)4</b></p><p>　　1.2拉格朗日插

8、值的設(shè)計(jì)思路與算法如下：5</p><p>　　2.求拉格朗日插值多項(xiàng)式的程序如下：(即Language.m文件)5</p><p>　　3.程序運(yùn)行操作過(guò)程與輸出結(jié)果6</p><p>　　4.對(duì)計(jì)算過(guò)程與結(jié)果分析7</p><p>　?。ǘ?、 求牛頓插值多項(xiàng)式7</p><p><b>　　1

9、.1理論知識(shí)7</b></p><p>　　1.2設(shè)計(jì)思路與算法步驟8</p><p>　　2.求牛頓插值多項(xiàng)式的程序如下：(即Newton.m文件)8</p><p>　　3.程序運(yùn)行操作過(guò)程與輸出結(jié)果9</p><p>　　4．對(duì)計(jì)算過(guò)程與結(jié)果的分析10</p><p>　　5.在課程設(shè)計(jì)中的

10、心得體會(huì)10</p><p>　　二、設(shè)計(jì)題2：10</p><p>　　1.1理論知識(shí)11</p><p>　　1.2算法步驟11</p><p>　　2程序運(yùn)行操作過(guò)程與輸出結(jié)果11</p><p>　　3.對(duì)計(jì)算過(guò)程與結(jié)果的分析12</p><p>　　4.在課程設(shè)計(jì)中的心得體

11、會(huì)12</p><p>　　三、設(shè)計(jì)題3：12</p><p>　　1.1理論知識(shí)13</p><p>　　1.2設(shè)計(jì)思路13</p><p>　　1.3算法步驟13</p><p><b>　　2．程序清單14</b></p><p>　　3．程序運(yùn)行操作過(guò)程

12、與輸出結(jié)果17</p><p>　　4.對(duì)計(jì)算過(guò)程與結(jié)果的分析18</p><p>　　5.在課程設(shè)計(jì)中的心得體會(huì)19</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)19</b></p><p>　　【ABSTRACT】20</p><p><b>　　數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)</b>

13、;</p><p>　　信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè) 楊寶赟</p><p>　　指導(dǎo)教師 常桂娟</p><p>　　【摘要】本文對(duì)運(yùn)用MATLAB軟件分別對(duì)求拉格朗日插值多項(xiàng)式、牛頓插值多項(xiàng)式、曲線擬合、高斯列主元消去法進(jìn)行設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)從理論知識(shí)、設(shè)計(jì)思路、算法步驟、程序清單等方面進(jìn)行了系統(tǒng)的表達(dá)。理論知識(shí)方面分別給出了以上各個(gè)方法的來(lái)由、定義等，設(shè)計(jì)思路構(gòu)成了

14、程序清單的靈魂，簡(jiǎn)要表達(dá)了實(shí)現(xiàn)程序的各個(gè)步驟。最后，通過(guò)以上環(huán)節(jié)總結(jié)出自己對(duì)各個(gè)程序設(shè)計(jì)的心得體會(huì)。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】MATLAB 拉格朗日插值 牛頓插值 曲線擬合 高斯消去 </p><p><b>　　前言</b></p><p>　　計(jì)算機(jī)與計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展以及它們?cè)诠こ碳翱茖W(xué)技術(shù)問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用,使得數(shù)值分析(計(jì)算

15、方法)課程對(duì)高等院校理工科學(xué)生來(lái)說(shuō)越來(lái)越重要。 數(shù)值分析是一門基礎(chǔ)課,它象通常的數(shù)學(xué)課程一樣有自身嚴(yán)密的科學(xué)體系,但它又是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的課程,目的是使學(xué)生能夠用本課程的理論在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)有關(guān)的科學(xué)與工程計(jì)算,計(jì)算能力的培養(yǎng)對(duì)工科各專業(yè)的學(xué)生都是十分重要的,數(shù)值分析課程的課程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)正是為了適應(yīng)這種需要而設(shè)置的,使得學(xué)生在學(xué)習(xí)各種算法時(shí),能在課程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)中深刻體會(huì)算法的內(nèi)涵、物理背景和實(shí)際意義,同時(shí)也能提高學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的興趣, 而更重

16、要的是能提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和培養(yǎng)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。</p><p><b>　　一、設(shè)計(jì)題1：</b></p><p>　　根據(jù)下表所列的數(shù)據(jù)點(diǎn)求出其拉格朗日插值多項(xiàng)式及牛頓插值多項(xiàng)式，并計(jì)算當(dāng)x=2.0時(shí)的值。</p><p>　?。ㄒ唬?、求拉格朗日插值多項(xiàng)式</p><p><b>

17、　　1.1理論知識(shí)</b></p><p>　　拉格朗日插值法是以法國(guó)十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫?路易斯?拉格朗日命名的一種多項(xiàng)式插值方法。許多實(shí)際問(wèn)題中都用函數(shù)來(lái)表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律，而不少函數(shù)都只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)來(lái)了解。如對(duì)實(shí)踐中的某個(gè)物理量進(jìn)行觀測(cè)，在若干個(gè)不同的地方得到相應(yīng)的觀測(cè)值，拉格朗日插值法可以找到一個(gè)多項(xiàng)式，其恰好在各個(gè)觀測(cè)的點(diǎn)取到觀測(cè)到的值。這樣的多項(xiàng)式稱為拉格朗日（插值）多項(xiàng)式。數(shù)學(xué)上

18、來(lái)說(shuō)，拉格朗日插值法可以給出一個(gè)恰好穿過(guò)二維平面上若干個(gè)已知點(diǎn)的多項(xiàng)式函數(shù)。拉格朗日插值法最早被英國(guó)數(shù)學(xué)家愛(ài)德華?華林于1779年發(fā)現(xiàn)，不久后（1783年）由萊昂哈德?歐拉再次發(fā)現(xiàn)。1795年，拉格朗日在其著作《師范學(xué)校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程》中發(fā)表了這個(gè)插值方法，從此他的名字就和這個(gè)方法聯(lián)系在一起。</p><p>　　對(duì)某個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，已知有給定的k + 1個(gè)取值點(diǎn)：</p><p>　　其中對(duì)

19、應(yīng)著自變量的位置，而對(duì)應(yīng)著函數(shù)在這個(gè)位置的取值。</p><p>　　假設(shè)任意兩個(gè)不同的都互不相同，那么應(yīng)用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項(xiàng)式為：</p><p>　　其中每個(gè) 為拉格朗日基本多項(xiàng)式（或稱插值基函數(shù)），其表達(dá)式為：。 </p><p>　　拉格朗日基本多項(xiàng)式 的特點(diǎn)是在 上取值為1，在其它的點(diǎn)上取值為0。</p><p&g

20、t;　　1.2拉格朗日插值的設(shè)計(jì)思路與算法如下：</p><p><b>　　（1）輸入,，。</b></p><p><b>　　（2）對(duì)置。</b></p><p><b>　　（3）置。</b></p><p><b>　?。?）輸出。</b><

21、;/p><p>　　2.求拉格朗日插值多項(xiàng)式的程序如下：(即Language.m文件)</p><p>　　function f=Language(x,y,x0)</p><p>　　%求已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的拉格朗日插值多項(xiàng)式</p><p>　　%已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的x坐標(biāo)向量：x</p><p>　　%已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的y坐標(biāo)向量：y<

22、;/p><p>　　%插值的x坐標(biāo)：x0</p><p>　　%求得的拉格朗日插值多項(xiàng)式在x0處的插值：f</p><p><b>　　syms t;</b></p><p>　　if(length(x)==length(y))</p><p>　　n=length(x);</p>&l

23、t;p><b>　　else</b></p><p>　　disp('x和y的維數(shù)不相等！');</p><p><b>　　return;</b></p><p>　　end %檢錯(cuò)</p><p><b>　　f=0.0;</b>&l

24、t;/p><p>　　for(i=1:n)</p><p><b>　　l=y(i);</b></p><p>　　for(j=1:i-1)</p><p>　　l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));</p><p><b>　　end;</b></p>

25、<p>　　for(j=i+1:n)</p><p>　　l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));%計(jì)算拉格朗日基函數(shù)</p><p><b>　　end;</b></p><p>　　f=f+l; %計(jì)算拉格朗日插值函數(shù)</p><p>　　simplify(

26、f); %化簡(jiǎn)</p><p><b>　　if(i==n)</b></p><p>　　if(nargin==3)</p><p>　　f=subs(f,'t',x0); %計(jì)算插值點(diǎn)的函數(shù)值</p><p><b>　　else </b><

27、;/p><p>　　f=collect(f); %將插值多項(xiàng)式展開(kāi)</p><p>　　f=vpa(f,6); %將插值多項(xiàng)式的系數(shù)化成6位精度的小數(shù)</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b&

28、gt;　　end</b></p><p>　　3.程序運(yùn)行操作過(guò)程與輸出結(jié)果</p><p>　　在文件中新建一個(gè)M文件Language.m，編寫出求拉格朗日插值多項(xiàng)式的程序，然后在命令區(qū)調(diào)用Language.m文件，即在命令區(qū)打入f=Language(x,y)即可得到，再次調(diào)用Language.m文件，利用f=Language(x,y,2)語(yǔ)句得出x=2.0時(shí)的值。</

29、p><p>　　Matlab中的命令如下：</p><p>　　>> x=[1 1.2 1.8 2.5 4];</p><p>　　>> y=[1 1.44 3.24 6.25 16];</p><p>　　>> f=Language(x,y)</p><p><b>　　f

30、=</b></p><p><b>　　t^2</b></p><p>　　>> f=Language(x,y,2)</p><p><b>　　f =</b></p><p><b>　　4</b></p><p>　　4.對(duì)計(jì)

31、算過(guò)程與結(jié)果分析</p><p>　　由于本題的例題給出的數(shù)據(jù)很簡(jiǎn)單，所以僅憑觀察法就可以得出結(jié)果，而且計(jì)算量很小，不太符合程序設(shè)計(jì)的理念。所以對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)處理可以直接用計(jì)算方法手動(dòng)算出，本程序僅對(duì)復(fù)雜數(shù)據(jù)處理方面有很大用處。</p><p>　　（二）、 求牛頓插值多項(xiàng)式</p><p><b>　　1.1理論知識(shí)</b></p>

32、<p>　　牛頓插值法利用函數(shù)f (x)在某區(qū)間中若干點(diǎn)的函數(shù)值，作出適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù)，在這些點(diǎn)上取已知值，在區(qū)間的其他點(diǎn)上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f (x)的近似值。如果這特定函數(shù)是多項(xiàng)式，就稱它為插值多項(xiàng)式。利用插值基函數(shù)很容易得到拉格朗日插值多項(xiàng)式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中甚為方便，但當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值基函數(shù)均要隨之變化，整個(gè)公式也將發(fā)生變化， 這在實(shí)際計(jì)算中是很不方便的，為了克服這一缺點(diǎn)，提出了牛頓插值。 &

33、lt;/p><p>　　牛頓插值通過(guò)求各階差商，遞推得到的一個(gè)公式： </p><p>　　1.2設(shè)計(jì)思路與算法步驟</p><p>　?。?）輸入插值節(jié)點(diǎn)數(shù)n，插值點(diǎn)序列，要計(jì)算的插值點(diǎn)u。</p><p>　　（2）形成差商表 ！g[k]表示</p><p>　　（3）置初始值t=1；newton=f(0)</

34、p><p>　?。?）for(i=1:n-1) </p><p>　　for(j=i+1:n)</p><p>　　y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));</p><p><b>　　end</b></p><p>　　c(i) = y1(i+1); </p

35、><p>　　l = l*(t-x(i)); </p><p>　　f = f + c(i)*l;</p><p><b>　?。?）輸出f（x）</b></p><p>　　2.求牛頓插值多項(xiàng)式的程序如下：(即Newton.m文件)</p><p>　　function f = Newton(x,

36、y,x0)</p><p>　　%本程序?yàn)镹ewton插值，</p><p>　　%其中x,y為插值節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，輸出為插值點(diǎn)x0的函數(shù)值，</p><p><b>　　%x0可以是向量。</b></p><p><b>　　syms t;</b></p><p>　

37、　if(length(x) == length(y))</p><p>　　n = length(x);</p><p>　　c(1:n) = 0.0;</p><p><b>　　else</b></p><p>　　disp('x和y的維數(shù)不相等！');</p><p><

38、;b>　　return;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　f = y(1);</b></p><p><b>　　y1 = 0;</b></p><p><b>　　l = 1;</b>&

39、lt;/p><p>　　for(i=1:n-1) </p><p>　　for(j=i+1:n)</p><p>　　y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));</p><p><b>　　end</b></p><p>　　c(i) = y1(i+1); </

40、p><p>　　l = l*(t-x(i)); </p><p>　　f = f + c(i)*l;</p><p>　　simplify(f)</p><p><b>　　y = y1;</b></p><p>　　if(i==n-1)</p><p>　　if(nargi

41、n == 3)</p><p>　　f = subs(f,'t',x0);</p><p><b>　　else</b></p><p>　　f = collect(f); %將插值多項(xiàng)式展開(kāi)</p><p>　　f = vpa(f, 6);</p><p

42、><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　3.程序運(yùn)行操作過(guò)程與輸出結(jié)果</p><p>　　在文件中新建一個(gè)M文件Newton.m，編寫出求拉格朗日插值多項(xiàng)式的程序，然后在命

43、令區(qū)調(diào)用Newton.m文件，即在命令區(qū)打入f=Newton([1 1.2 1.8 2.5 4],[1 1.44 3.24 6.25 16],2)即可得到，以及x=2.0時(shí)的值為4。</p><p>　　MATLAB中的命令如下：</p><p>　　>> f=Newton([1 1.2 1.8 2.5 4],[1 1.44 3.24 6.25 16],2) </p>

44、;<p><b>　　ans =</b></p><p><b>　　t^2 </b></p><p><b>　　f =</b></p><p><b>　　4</b></p><p>　　4．對(duì)計(jì)算過(guò)程與結(jié)果的分析</p>

45、<p>　　由于本題的例題給出的數(shù)據(jù)很簡(jiǎn)單，所以僅憑觀察法就可以得出結(jié)果，而且計(jì)算量很小，不太符合程序設(shè)計(jì)的理念。所以對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)處理可以直接用計(jì)算方法手動(dòng)算出，本程序僅對(duì)復(fù)雜數(shù)據(jù)處理方面有很大用處。</p><p>　　5.在課程設(shè)計(jì)中的心得體會(huì)</p><p>　　在對(duì)拉格朗日插值多項(xiàng)式的程序進(jìn)行編輯過(guò)程中，遇到了很多方法不知道用什么函數(shù)表達(dá)的問(wèn)題，通過(guò)查找有關(guān)Matab軟件

46、和現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算的書籍得出本程序，在對(duì)程序調(diào)用時(shí)，不知道如何調(diào)用，通過(guò)上網(wǎng)查找方法知道了需要在Matlab中的文件中新建一個(gè)M文件，然后保存，然后到命令區(qū)直接調(diào)用就可以了。特別注意的是，在對(duì)M文件保存時(shí)，要直接保存到默認(rèn)的matlab文件夾中，不可以隨意更改保存路徑。</p><p><b>　　二、設(shè)計(jì)題2：</b></p><p>　　根據(jù)下面實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求解擬合曲線&