數(shù)值分析課程設計--初值問題、邊值問題

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文檔簡介

1、　　課程設計報告　　課程名稱 　　課題名稱 　　專業(yè) 　　班級 <

2、/p>　　學號 　　姓名 　　指導教師 　　2009年 12 月 15 日</p&

3、gt;　　課程設計任務書　　課程名稱數(shù)值分析 　　課題初值問題、邊值問題 　　專業(yè)班級 　　學生姓名 <p

4、>　　學號 　　指導老師 　　審批 　　任務書下達日期 2011 年 12 月 5 日　　任務

5、完成日期 2011 年 12 月 15日　　目錄　　一、設計內(nèi)容與要求..............................................................................4　　二、問題提出的背景........

6、.......................................................................6　　三、問題的提出.......................................................................................6　　四、算法的理論

7、依據(jù)及推導...................................................................7　　五、程序模塊　　1、函數(shù)模塊......................................................................

8、.......13　　2、模塊流程圖.........................................................................14　　六、實驗結(jié)果與調(diào)試..........................................................................

9、....24　　七、心得體會..........................................................................................27八、附件.........................................................................................

10、.........28　　一、設計內(nèi)容與設計要求　　1．設計內(nèi)容：　　對課程《計算方法》中的常見算法進行綜合設計或應用（具體課題題目見后面的供選題目）。　　2．設計要求：&

11、lt;p>　　課程設計報告正文內(nèi)容　　問題的描述及算法設計；　　算法的流程圖（要求畫出模塊圖）；　　算法的理論依據(jù)及其推導；　　相關(guān)的數(shù)值結(jié)果（通過程序調(diào)試)，；　　數(shù)值計算結(jié)果的分析；<p&g

12、t;　　附件（所有程序的原代碼，要求對程序?qū)懗霰匾淖⑨專?lt;/p>　　書寫格式　　a．要求用A4紙打印成冊　　b．正文格式：一級標題用3號黑體,二級標題用四號宋體加粗,正文用小四號宋體;行距為22。　　c．正文的內(nèi)容:正文總字數(shù)要求在300

13、0字左右（不含程序原代碼）。　　d．封面格式如下頁。　　考核方式　　指導老師負責驗收程序的運行結(jié)果，并結(jié)合學生的工作態(tài)度、實際動手能力、創(chuàng)新精神和設計報告等進行綜合考評，并按優(yōu)秀、良好、中等、及格和不及格五個等級給出每位同學的課程設計成績。具體考核標準包含以下幾個部分：<

14、;/p>　　a．平時出勤（占10%）　　b．系統(tǒng)需求分析、功能設計、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)設計及程序總體結(jié)構(gòu)合理與否（占10%）　　c．程序能否完整、準確地運行，個人能否獨立、熟練地調(diào)試程序（占40%）　　d．設計報告（占30%）　　注意：不得抄襲他人的報

15、告（或給他人抄襲），一旦發(fā)現(xiàn)，成績?yōu)榱惴帧?lt;/p>　　e．獨立完成情況（占10%）。　　課程驗收要求　　a．判定算法設計的合理性，運行相關(guān)程序，獲得正確的數(shù)值結(jié)果。　　b．回答有關(guān)問題。

16、;　　c．提交課程設計報告。　　d．提交軟盤（源程序、設計報告文檔）。　　e．依內(nèi)容的創(chuàng)新程度，完善程序情況及對程序講解情況打分。　　2、進度安排　　班級：

17、;　　主講教師：輔導教師： 　　上機時間安排：　　第 12 周星期一 8時：30分——11時：30分　　星期三 8時：30分——11時：30分　　星期五 8時：30分——11時：30分</p&g

18、t;　　第 13 周星期三 8時：30分——11時：30分　　星期五 8時：30分——11時：30分　　二、問題提出的背景　　人類社會進入20世紀以來，在科學技術(shù)和生產(chǎn)力飛速發(fā)展的同時　　世界各國的人

19、口也以空前的規(guī)模增長。我們知道人口是反應國情、國力基本情況的重要指標，例如評價一個國家或一個地區(qū)的發(fā)展?jié)摿r離不開現(xiàn)在與今后各類人口數(shù)量比例指數(shù)和年齡分布。故人口的預測是制定和順利實現(xiàn)社會經(jīng)濟各項戰(zhàn)略設想的基礎和出發(fā)點，制定正確人口政策的科學依據(jù)。　　三、問題的提出　　常用的用于人口預測的模型是阻滯增長模型，即Log

20、istic模型。　　該模型的微分方程為：　?。ㄆ渲校簽楣逃性鲩L率（即人口平均增長率），表示平均人口死亡率，表示在自然資源和環(huán)境條件允許的條件下所能容納的最大人口數(shù)量，稱為人口容量。）　　利用分離變量法可以求解得：　　對該微分方程，分別用顯示歐拉法，隱式歐拉法，改進歐拉法，

21、梯形公式，經(jīng)典龍格—庫塔法，理查德森外推法近似求解，得出估算人口；　　有限差分法求解方程:　　四、算法的理論基礎及其推導　　1、顯示歐拉公式：　　推導：把區(qū)間[a,b]分成n等分，記分點為&l

22、t;b>　　那么由上式有：　　用向前差商法近似代替導數(shù)得：　　即： 　　若用近似值代替，可得顯示歐拉公式。　　2、隱式歐拉公式：<p&g

23、t;　　推導：把區(qū)間[a,b]分成n等分，記分點為　　用向后差商法近似代替導數(shù)得：　　即： 　　亦即：　　若用近似值代替，可得顯示歐拉公式。<b&

24、gt;　　3、梯形公式：　　推導：把區(qū)間[a,b]分成n等分，記分點為　　分別由顯示歐拉公式和隱式歐拉公式，求其平均值可得。　　改進歐拉方法：　　推導：把區(qū)間[a,b]分成n等分，記分點為&

25、lt;p>　　由顯示歐拉公式和梯形公式，可得改進歐拉公式。　　經(jīng)典龍格—庫塔公式：　　推導：由微分中值定理知　　從而得到：　　若簡單地取左端點處的斜率：　　作為平均斜率的近似值，則得&l

26、t;/p>　　若用點處的斜率近似值與右端點處的斜率近似值　　的算術(shù)平均值作為斜率的近似值，則得　　由上式可知，利用兩個點上斜率近似值與的加權(quán)平均值作為平均斜率的近似值，利用歐拉公式預估，可構(gòu)造形如：　　的計算公式（稱為二階龍格—庫塔法），為確定系數(shù)與，將在處泰勒展開，并注意到，就有&l

27、t;/p>　　另一方面：　　由上兩式知：　　利用類似的推導法即可求得四階龍格—庫塔法.　　理查德森外推法公式（歐拉步長自適應法）：　　推導：從結(jié)點出發(fā)，先以h為步長，經(jīng)

28、一步計算出的近似值,如果使用的是p階的方法，則：　　...............（1）　　在一般情況下，式中系數(shù)c既依賴于h，又依賴于，但當h較小時，可近似地看作常數(shù)。　　然后將步長折半，即以為步長，仍從出發(fā)，經(jīng)兩步計算求得的另一個近似值，其中每一步的截斷誤差約為，故：.............（2）</

29、p>　　以乘以（1），并與（2）相減，得：　　即：　　.....................（3）　　若?。?lt;/b>　　..........................

30、................（4）　　作為的近似值，則其精度顯然比與都要高，這種修正的思想實際上與龍貝格數(shù)值積分法思想是一致的。　　若將（4）式改寫為：　　則由立即可得：　　由此可見，若以作為的近似值，則其誤差可用前后兩次計算結(jié)果

31、之差來表示，即可用：　　來判斷所選取色步長是否適當。具體的做法是：　　若（由精度要求確定），則反復將步長折半進行計算，直至，并取最后一次步長所得值作為；　　若，則反復將步長加倍進行計算，直至，并取上一次步長所得值作為.　　有限差分法：將區(qū)間[a,b]N等分，記分點為<

32、;/p>　　在內(nèi)結(jié)點處有　　由上兩式知：　　故：　　當h較小時，略去式中余項，則得確定近似值的線性方程組：　　將它稍加整理后寫成

33、矩陣形式，即：　　其中：　　方程組的，，系數(shù)矩陣為對角占優(yōu)的三對角線矩陣，可用追趕法解之。　　五、程序模塊　　函數(shù)模塊

34、;　　void GJEulerMethord(double N,int a,int b,double y0,double xm,double b2,double l)　　//改進歐拉公式　　void ExplicitEulerMethord(double N,int a,int b,double y0,double

35、xm,double b2,double l)　　//顯示歐拉公式　　void ImplicitEulerMethord(double N,int a,int b,double y0,double xm,double b2,double l)　　//隱式歐拉公

36、式　　void TxingMethord(double N,int a,int b,double y0,double xm,double b2,double l)　　//梯形公式　　void R_KMethord(double N,int a,int b,

37、double y0,double xm,double b2,double l)　　//經(jīng)典龍格—庫塔公式　　void JSuMethord(double N,int a,int b,double y0,double xm,double b2,double l)　　//理查德森外推公式<

38、;p>　　void FiniteDifferenceMethod(double f[],double a1[],double b1[],double c[],int max)　　//有限差分法　　模塊流程圖　?。?）改進歐拉公式：&

39、lt;/p>　?。?）顯示歐拉法：　?。?）隱式歐拉法：　　（4）梯形公式：　?。?）龍格庫塔法：<p&

40、gt;　?。?）理查德森外推法：　　有限差分法　　六、實驗結(jié)果與調(diào)試　　選擇1，改進歐拉法實現(xiàn)；　　選擇2，顯示歐拉法實現(xiàn)；　　選擇3，隱式歐拉法實現(xiàn)；&

41、lt;/p>　　選擇4，梯形公式實現(xiàn)；　　選擇5，經(jīng)典龍格—庫塔法實現(xiàn)；　　選擇6，理查德森外推法實現(xiàn)；　　選擇7，有限差分法解方程組；　　七、心得體會　　兩周的課

42、程設計很快就結(jié)束了，回顧這兩周的課程設計，真是布滿了艱辛與坎坷。由于聶老師是一個非常細致，嚴謹?shù)娜?，對我們的要求也很嚴格，這使得我備受壓力，深怕自己不能按時完成老師指定的任務，但是在老師細心的指導下，我逐步找到了問題的突破口，不再舉手無措。　　在實驗過程中，我都是嚴格按著老師的要求，先理清問題的解題思路，然后一步一步的翻譯成計算機語言程序，上機操作，不斷調(diào)試。最初，在調(diào)試的過程中出現(xiàn)了很多的錯誤

43、，例如：語法錯誤，算法錯誤，層出不窮。但是在老師的指導下，經(jīng)過幾天的實踐操作后，出現(xiàn)的錯誤逐漸減少了。特別是在寫到理查德森外推法和隱式歐拉法時，花費了我很多很多的時間，我一遍一遍的翻閱教科書，在圖書館查閱相關(guān)的資料，同時不斷的征求老師的意見，與周圍的同學不斷討論，不斷的修正。最終，問題解決了　　通過這次課程設計使我懂得了理論與實際相結(jié)合是很重要的，使自己的實際動手能力和獨立思考的能力能得到很大的

44、提高。雖說困難重重，但是只要你不斷的堅持，只要你有足夠的耐心，只要你努力，勝利就一定是屬于你的。　　八、附件（源代碼）　　#include<iostream>　　#include<stdio.h>　　#incl

45、ude<math.h>　　using namespace std;　　#define esp 0.01　　double q(double x)　　{　　retur

46、n 1;　　}　　double r(double x)　　{　　return x;<b&g

47、t;　　}　　double f(double x,double y,double b2,double l) 　　{　　return ((b2*y)-(l*y*y));　　}&l

48、t;/p>　　void p()　　{　　printf("以下為近十年來的人口計算情況:\n\n");　　}

49、void GJEulerMethord(double N,int a,int b,double y0,double xm,double b2,double l)//檢查正確　　{　　int k;　　double h,x,t1,t2,y,y

50、1,m;　　h=(b-a)/N;　　x=a;　　y=y0;　　m=xm/y-1;　　for(k=0;k<N;k

51、++)　　{　　t1=y+h*f(x,y,b2,l);　　x=x+h;　　y1=xm/(1+m*exp(-(b2)*x));　　t2=y+h*f(x,t1

52、,b2,l);　　y=(t1+t2)/2;　　printf("年份:~%.0f",x);　　printf("");　　printf("估計人口(千萬):%f",y);

53、　printf("");　　printf("計算人口(千萬):%f\n",y1);　　}　　}　　void ExplicitEulerMethord(do

54、uble N,int a,int b,double y0,double xm,double b2,double l)//檢查正確　　{　　int i;　　double h,x,y,y1,m;　　h

55、=(b-a)/N;　　x=a;　　y=y0;　　m=xm/y-1;　　for(i=0;i<10;i++)<

56、;b>　　{　　y=y+h*f(x,y,b2,l);　　x=x+h;　　y1=xm/(1+m*exp(-(b2)*x));　　printf("年份:~%.0f",x);

57、　　printf("");　　printf("估計人口(千萬):%f",y);　　printf("");　　printf("計算人口(千萬):%f\n",y1);&l

58、t;b>　　}　　}　　void ImplicitEulerMethord(double N,int a,int b,double y0,double xm,double b2,double l)//檢查正確　　{

59、;　　int k,i;　　double h,x,y[20],yy,yp,m,y1;　　h=(b-a)/N;　　y[0]=y0;　　x=a

60、;　　m=xm/y0-1;　　for(i=0;i<10;i++)　　{　　y[i+1]=y[i]+h*f(x,y[i],b2,l);　　k=0;&l

61、t;/b>　　while(k++<100005)　　{　　yy=y[i]+h*f(x+h,y[i+1],b2,l)-y[i+1];　　yp=h*(b-2*l*y[i+1])-1;

62、　y1=xm/(1+m*exp(-(b2)*(x+h)));　　if(fabs(yp)<0.0000001)　　{　　printf("年份:~%.0f",x+h);　　printf(""

63、);　　printf("估計人口(千萬):%f",y[i+1]);　　printf("");　　printf("計算人口(千萬):%f\n",y1);　　break;<

64、;/p>　　}　　yy=y[i+1]-yy/yp;　　if(fabs(yy-y[i+1])<esp)　　{　　printf("年份:~%.0f"

65、;,x+h);　　printf("");　　printf("估計人口(千萬):%f",y[i+1]);　　printf("");　　printf("計算人口(千萬):%f\n",y1);&

66、lt;/p>　　break;　　}　　else　　y[i+1]=yy;　　}</p&g

67、t;　　x=x+h;　　}　　}　　void TxingMethord(double N,int a,int b,double y0,double xm,double b2,do

68、uble l)//檢查正確　　{　　int k,i;　　double h,x,y[20],yy,yp,m,y1,g[20];　　h=(b-a)/N;<

69、;b>　　y[0]=y0;　　x=a;　　m=xm/y0-1;　　for(i=0;i<10;i++)　　{　　y[i+1]

70、=y[i]+h*f(x,y[i],b2,l);　　k=0;　　while(k++<100)　　{　　yy=y[i]+h*f(x+h,y[i+1],b2,l)-y[i+1];

71、;　　yp=h*(b-2*l*y[i+1])-1;　　y1=xm/(1+m*exp((-b2)*(x+h)));　　if(fabs(yp)<0.0000001)　　{　　g[i+1]=y[i]+h/2*(f

72、(x+h,y[i],b2,l)+f(x,y[i+1],b2,l));　　printf("年份:~%.0f",x+h);　　printf("");　　printf("估計人口(千萬):%f",g[i+1]);

73、printf("");　　printf("計算人口(千萬):%f\n",y1);　　break;　　}　　yy=y[i+1]-yy/yp;</p&g

74、t;　　if(fabs(yy-y[i+1])<esp)　　{　　g[i+1]=y[i]+h/2*(f(x+h,y[i],b2,l)+f(x,y[i+1],b2,l));　　printf("年份:~%.0f",x+h);</

75、p>　　printf("");　　printf("估計人口(千萬):%f",g[i+1]);　　printf("");　　printf("計算人口(千萬):%f\n",y1);&

76、lt;p>　　break;　　}　　else　　y[i+1]=yy;　　}

77、;　　x=x+h;　　}　　}　　void R_KMethord(double N,int a,int b,double y0,double xm,double b2,double l)//檢查正確&

78、lt;/p>　　{　　int k;　　double h,x,k1,k2,k3,k4,y,y1,m;　　h=(b-a)/N;　　x=a;</b&g

79、t;　　y=y0;　　m=xm/y-1;　　for(k=0;k<N;k++)　　{　　k1=f(x,y,b2,

80、l);　　k2=f(x+h/2,y+(h*k1)/2,b2,l);　　k3=f(x+h/2,y+(h*k2)/2,b2,l);　　k4=f(x+h,y+h*k3,b2,l);　　y=y+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

81、　　x=x+h;　　y1=xm/(1+m*exp(-(b2)*x));　　printf("年份:~%.0f",x);　　printf("");　　printf("估計人口(千萬):%

82、f",y);　　printf("");　　printf("計算人口(千萬):%f\n",y1);　　}　　}<p&

83、gt;　　void JSuMethord(double N,int a,int b,double y0,double xm,double b2,double l)//算法待定　　{　　int i,c;　　double h,x,y[20],

84、p[20],y1,m;　　h=(b-a)/N;　　y[0]=y0;　　x=a;　　m=xm/y0-1;　　for(i=0;i<10;i++)<

85、/p>　　{　　h=(b-a)/N;　　y[i+1]=y[i]+h*f(x,y[i],b2,l);　　p[i+1]=y[i]+h/2*f(x,y[i],b2,l);　　x=(i+1)*h;

86、;　　y1=xm/(1+m*exp(-(b2)*x));　　printf("年份:~%.0f",x);　　printf("");　　if(fabs(y[i+1]-p[i+1])>=0.01)<b&

87、gt;　　c=1;　　else　　c=-1;　　switch(c)　　{&l

88、t;p>　　case 1: while(fabs(y[i+1]-p[i+1])>=0.01)　　{　　h=h/2.0;　　y[i+1]=y[i]+h*f(x,y[i],b2,l);

89、p[i+1]=y[i]+h/2*f(x,y[i],b2,l);　　y[i]=y[i+1];　　if(fabs(y[i+1]-p[i+1])<0.01)　　{　　printf("估計人口(千萬):%f",y[i

90、+1]);　　printf("");　　printf("計算人口(千萬):%f\n",y1);　　break;　　}<p&g

91、t;　　};break;　　case -1: while(fabs(y[i+1]-p[i+1])<0.01)　　{　　h=h*2.0;　　y[i+1]=

92、y[i]+h*f(x,y[i],b2,l);　　p[i+1]=y[i]+h/2*f(x,y[i],b2,l);　　y[i]=y[i+1];　　if(fabs(y[i+1]-p[i+1])>=0.01)　　{

93、;　　printf("估計人口(千萬):%f",y[i+1]);　　printf("");　　printf("計算人口(千萬):%f\n",y1);　　break;&l

94、t;p>　　}　　};break;　　}　　}　　}

95、　　void FiniteDifferenceMethod(double f[],double a1[],double b1[],double c[],int max)//有限差分法　　{　　int i,k;　　doub

96、le n[10],y[10],x[10],y0,y1,h,x1,k1,k2;　　cout<<"請輸入y0"<<endl;　　cin>>y0;　　cout<<"請輸入y1"<<e

97、ndl;　　cin>>y1;　　cout<<"請輸入k1"<<endl;　　cin>>k1;　　cout<<&quo

98、t;請輸入k2"<<endl;　　cin>>k2;　　cout<<"請輸入k"<<endl;　　cin>>k;<p&g

99、t;　　h=(k1-k2)/k;　　for(i=1;i<=max-1;i++)　　{　　//cout<<"請輸入c["<<i<<"]"<<endl;<p

100、>　　//cin>>c[i];　　//cout<<endl;　　c[i]=1;　　}　　for(i=1;i<=max;i++)<p

101、>　　{　　//cout<<"請輸入b1["<<i<<"]"<<endl;　　//cin>>b1[i];　　//cout<<endl;

102、　　x1=h*i;　　b1[i]=-2-q(x1)*h*h;　　}　　for(i=2;i<=max;i++)　　{

103、　　//cout<<"請輸入a1["<<i<<"]"<<endl;　　//cin>>a1[i];　　//cout<<endl;　　a1[i]=1;</b&g

104、t;　　}　　for(i=0;i<max;i++)　　{　　//cout<<"請輸入f["<<i<<"]"<

105、<endl;　　//cin>>f[i];　　//cout<<endl;　　x1=h*i;　　f[i]=r(x1)*h*h;　　}</b&g

106、t;　　f[0]=f[0]-y0;　　f[max-1]=f[max-1]-y1;　　n[1]=c[1]/b1[1];　　for(i=2;i<=max-1;i++)　　{

107、;　　n[i]=c[i]/(b1[i]-a1[i]*n[i-1]);　　}　　y[1]=f[0]/b1[1];　　for(i=2;i<=max;i++)　　{</

108、p>　　y[i]=(f[i-1]-a1[i]*y[i-1])/(b1[i]-a1[i]*n[i-1]);　　}　　x[max]=y[max];　　printf("利用追趕法求得結(jié)果如下:\n");<

109、p>　　printf("");　　printf("x[%d]=%f\n",max-1,x[max]);　　for(i=max-1;i>=1;i--)　　{　　x[i]=y[i]-n

110、[i]*x[i+1];　　printf("");　　printf("x[%d]=%f\n",i-1,x[i]);　　}　　}<

111、;p>　　void main()　　{　　int a=0,b=100,N=10,max,d;　　double l,b2;　　doublexm;　　double y0,f[9];<

112、/p>　　double c[100],a1[100],b1[100];　　char e;　　printf("對logistic人口預測模型運用數(shù)值方法進行人口預測:\n\n\n");　　printf("****

113、****************\n");　　printf("*1:改進歐拉法 *\n");　　printf("*2:顯示歐拉法 *\n");　　printf("*3:隱式歐拉法 *\n");&l

114、t;/p>　　printf("*4:梯形公式 *\n");　　printf("*5:經(jīng)典龍格-庫塔法 *\n");　　printf("*6:理查森外推法 *\n");　　printf(&q

115、uot;*7:線性有限差分法 *\n");　　printf("********************\n\n\n");　　do　　{　　printf(

116、"請選擇進行人口預測所使用的算法（1、2、3、4、5、6、7）：\n");　　cin>>d;　　if(d==1)　　{ p();<p&g

117、t;　　printf("請輸入該國的平均人口出生率：\n");　　cin>>b2;　　printf("請輸入該國十年前的人口數(shù)量(千萬)：\n");　　cin>>y0;<

118、;/p>　　printf("請輸入該國的最大人口容載量(千萬):\n");　　cin>>xm;　　l=b2/xm;　　GJEulerMethord(N,a,b,y0,xm,b2,

119、l);　　}　　if(d==2)　　{ p();　　printf("請輸入該國的平均人口出生率：\n");&l

120、t;p>　　cin>>b2;　　printf("請輸入該國十年前的人口數(shù)量(千萬)：\n");　　cin>>y0;　　printf("請輸入該國的最大人口容載量(千萬):\n&q

121、uot;);　　cin>>xm;　　l=b2/xm;　　ExplicitEulerMethord(N,a,b,y0,xm,b2,l);　　}<

122、;/p>　　if(d==3)　　{ p();　　printf("請輸入該國的平均人口出生率：\n");　　cin>>b2;</p&

123、gt;　　printf("請輸入該國十年前的人口數(shù)量(千萬)：\n");　　cin>>y0;　　printf("請輸入該國的最大人口容載量(千萬):\n");　　cin>>

124、xm;　　l=b2/xm;　　ImplicitEulerMethord(N,a,b,y0,xm,b2,l);　　}　　if(d==4)&l

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129、/b>　　printf("請輸入該國的最大人口容載量(千萬):\n");　　cin>>xm;　　l=b2/xm;　　R_KMethord(N,a,b,y0,x

130、m,b2,l);　　}　　if(d==6)　　{ p();　　printf("請輸入該國的平均人口出生率：\n");

131、　　cin>>b2;　　printf("請輸入該國十年前的人口數(shù)量(千萬)：\n");　　cin>>y0;　　printf("請輸入該國的最大人口容載量(千萬):

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133、;　　if(d==7)　　{　　cout<<"請輸入結(jié)點個數(shù) max= ";　　cin>>max;<p

134、>　　cout<<endl;　　FiniteDifferenceMethod(f,a1,b1,c,max);　　}　　printf("是否繼續(xù)選擇其他算法(Y/N):\n");

135、　cin>>e;　　printf("\n");　　}while(e=='y'||e=='Y');　　}　　數(shù)理系課程設計評分表

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