混沌理論

1、混 沌 理 論,日 期：92 / 04 / 25報(bào) 告 人：蔡 燕 純,混沌及其特徵,經(jīng)典的確定性系統(tǒng) ? 隨機(jī)性系統(tǒng)混沌 — 由一定的非線性作用導(dǎo)致，在確定性系統(tǒng)中 出現(xiàn)極其複雜、貌似無(wú)規(guī)的運(yùn)動(dòng)。混沌的特徵 1. 混沌是確定性系統(tǒng)內(nèi)在的隨機(jī)性 2. 具有對(duì)初始條件的敏感依賴性 3. 一種全新的序 — 非週期、非對(duì)稱的複雜

2、有序態(tài)。,確定性系統(tǒng)內(nèi)在的隨機(jī)性,Lorenz動(dòng)力方程式 dx / dt = -σ(x – y) dy / dt = -xz + γx – y dz / dt = xy – bz x, y, z : 速度、溫度、溫度梯度 σ,γ,b : 確定的控制參數(shù)運(yùn)動(dòng)軌跡 確定性 — 繞A、B兩點(diǎn) 隨

3、機(jī)性 — 圈數(shù)、大小,,確定性系統(tǒng)內(nèi)在的隨機(jī)性,奇異吸引子 相對(duì)於平凡吸引子 — 不動(dòng)點(diǎn)、極限環(huán)、環(huán)面吸引子。初始狀態(tài)接近的軌跡始終接近。 右圖以無(wú)磨擦的單擺運(yùn)動(dòng)說(shuō)明其相空間為極限環(huán)。,確定性系統(tǒng)內(nèi)在的隨機(jī)性,奇異吸引子 Lorenz吸引子 — 確定性與隨機(jī)性的統(tǒng)一。 製造 Rössler 吸引子 — 重複伸展、折疊。,混沌學(xué)中的兩個(gè)重要

4、概念,奇異吸引子 — 混沌系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為不可預(yù)測(cè)。碎形 — 混沌系統(tǒng)的空間結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(Mandelbrot) 幾何特性 : 自相似性 — 局部與整體的相似。 維數(shù)的尺度不變性 — 具有分?jǐn)?shù)維數(shù)。 例子 ： 海岸線、大樹、血管體系（廣義的物理碎形） Koch曲線、Sierpinski地毯（數(shù)學(xué)碎形）,混沌學(xué)中的兩個(gè)重要概

5、念,Koch曲線 - 永不自我相交且連續(xù)的封閉曲線 - 無(wú)限的曲線長(zhǎng)度 - 有限的面積 - 相似維數(shù) D = logN / log(1/β) = log(4) / log(3) = 1.2618 > 1 β: 相似比 N : 子集合個(gè)數(shù),進(jìn)入混沌,倍週期分岔進(jìn)入混沌 — 以生物種群繁衍為例

6、 Xn+1 = aXn ( 1 – Xn ) 0 0 Xn：某一年的數(shù)量 ； a：控制參數(shù)，生殖率,進(jìn)入混沌,混沌中的普適性(Feigenbaum） - 結(jié)構(gòu)普適性 — 單峰映射函數(shù) 進(jìn)入混沌的過(guò)程具有相同的分岔 結(jié)構(gòu)。 - 測(cè)度普適性 — 寬度比極限值α＝2.5029 間距比極限值δ＝4.6

7、692,,碎形,倍週期分岔中的α,進(jìn)入混沌,倍週期分岔處參數(shù)值及其關(guān)係（間距比）,對(duì)初始條件的敏感依賴性,差之毫釐，失之千里 Xn+1 = aXn ( 1 – Xn )，a = 4,對(duì)初始條件的敏感依賴性,Lorenz的天氣變化模擬與「蝴蝶效應(yīng)」 一隻南美洲蝴蝶的振翅，會(huì)造成北美洲的一場(chǎng)大風(fēng)暴,混沌的啟示,系統(tǒng)的短期行為是可以預(yù)測(cè)的 — 社會(huì)系統(tǒng)大多是混沌系統(tǒng)，所預(yù)測(cè)的系統(tǒng)是長(zhǎng)期∕短