量子動(dòng)力學(xué) （物理狀態(tài)和觀測(cè)量隨時(shí)間的變化）

1、第二章：量子動(dòng)力學(xué) (物理狀態(tài)和觀測(cè)量隨時(shí)間的變化),2.1 時(shí)間演化和 方程時(shí)間在量子力學(xué)中是參量而非算符，不是可觀測(cè)量。相對(duì)性量子理論通過將位置作為參量而將時(shí)空對(duì)等處理一、時(shí)間演化算符,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、時(shí)間演化算符的性質(zhì)1. (時(shí)間的)連續(xù)性 ? 2. 幺正性（幾

2、率守恒） ? 即對(duì) ， 有3. 結(jié)合性：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,三、時(shí)間演化算符的表達(dá),,,,,,,與空間平移相似，考慮無窮小時(shí)間演化算符 ： 算符的連續(xù)性、幺正性和組合性可由 且 為厄米算符來滿足。

3、考慮到 的量綱與頻率相同和經(jīng)典力學(xué)中Hamiltonian是時(shí)間演化的生成元，可合理地將 寫為 ，即 這里的 與坐標(biāo)平移算子中的 相同，否則將推不出量子力學(xué)的經(jīng)典極限即牛頓運(yùn)動(dòng)定律,,,,,,,,,,,,,,四、薛定諤方程,,,,,,,1. 時(shí)間演化算符的薛定諤方程由

4、 ( (t-t0)不必為無窮小)有即2. 態(tài)矢時(shí)間演化的薛定諤方程對(duì)態(tài)矢 ，有或當(dāng)然，若知 ，并知其對(duì)初態(tài)的作用，則無需解此方程 。,,,,,,,,,,五、時(shí)間演化算符的形式解,,,,,,,,,H與 t 無關(guān)，如穩(wěn)恒磁場(chǎng)與磁矩的相互作用 此時(shí)容易解得2. ，但 ，如方向恒定的交變磁場(chǎng)

5、。則： 容易驗(yàn)證該 滿足 方程：3. 不同時(shí)的H不對(duì)易，如磁場(chǎng)方向隨時(shí)間而變的自旋磁場(chǎng)作用 此時(shí)的解為 在這一章中我們主要討論第一種情形。,,,,,,,,,,六、能量本征矢,,,,,,,,知道時(shí)間演化算符隨時(shí)間變化，還需知它如何作用于一態(tài)矢才能求出態(tài)矢的時(shí)間變化。如果選用能量本征態(tài)矢為基，則時(shí)間演化算符對(duì)

6、態(tài)的作用可輕易求得。 ；有 ；即 展開系數(shù)的模不變，但相位變化了。由于不同分量的相對(duì)相位發(fā)生變化， 與 可以是完全不同的。對(duì) ，則 ，態(tài)

7、保持為H與A的共同本征態(tài)。,,,,,,,,,,,,,,,六、能量本征矢（續(xù)）,,,,,,,,由上討論可見量子力學(xué)的基本任務(wù)是找出與H對(duì)易的觀測(cè)量及其本征態(tài)。將初態(tài)由這個(gè)觀測(cè)量的本征態(tài)展開，便可求出態(tài)隨時(shí)間的變化。對(duì)有簡并情形，我們需要找出一組完整的相互對(duì)易且與 H 對(duì)易的算符,并用它們的共同本征態(tài)為基。該基一般用組合指標(biāo) 表征，這樣,將任意態(tài) 以 展開將可求得其時(shí)間的演化了。,,,,,,,,,,,,,,,七、期望

8、值的時(shí)間演化,,,,,,,1. 由于：即任何觀測(cè)量對(duì)能量本征態(tài)的期望值都不隨時(shí)間變化。因此,能量本征態(tài)被稱為定態(tài)。 2. 對(duì)一般態(tài) ： 可見期望值一般是隨時(shí)間變化的。3. 對(duì) 也是B的本征態(tài)之特例（ B與H對(duì)易），則 不隨時(shí)間變化

9、 （與H對(duì)易的觀測(cè)量是運(yùn)動(dòng)的常數(shù)）,,,,,,,八、自旋進(jìn)動(dòng),考慮電子與磁場(chǎng)作用： 若 ， ， 。 對(duì) 態(tài)， 設(shè) ， 若 ，則 仍為 態(tài)。,,,,,,,,,,,,,,

10、,,,,,,,,,,,八、自旋進(jìn)動(dòng)（續(xù)）,若 時(shí)為 態(tài)， ，則 t 時(shí)處于 態(tài)的幾率為：可見在磁場(chǎng)作用下,原處于 的自旋產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)而處于 的混和態(tài)，而且 以角頻率ω振蕩，且 等于兩態(tài)的能量差。類似可得 ,即自旋在xy平面內(nèi)進(jìn)動(dòng)。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,九、關(guān)

11、聯(lián)振幅和能量一時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系,態(tài)隨時(shí)間變化仍保留原態(tài)成份的多少可用關(guān)聯(lián)振幅描述：1. 若 是H本征態(tài)。則 ，其模總為1。2. 對(duì)一般 ，由于振蕩項(xiàng)的作用，一般 隨時(shí)間而變小。原則上，態(tài)消亡后仍有可能復(fù)活。對(duì)準(zhǔn)連續(xù)譜， ， 為能量本征態(tài)的態(tài)密度，

12、 ，有 ， 其中 。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,九、關(guān)聯(lián)振幅和能量一時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)）,3. 若初態(tài)近似為能量為 的本征態(tài)，能量展寬為 。則 ，

13、積分貢獻(xiàn)主要來源于 。即當(dāng)時(shí)間大于特征時(shí)間 后， 將與1有較大差別?？梢妼?duì)非能量本征態(tài)，當(dāng)演化時(shí)間超過 時(shí)原態(tài)的特征便消失了 （?t?壽命）。 常被稱為時(shí)間---能量測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。 要注意的是，這種測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系與不兼容算符的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系有本質(zhì)的不同（時(shí)間是參量，不是算符。）,,,,,,,,,,,,,,

14、,,,,,,,,,,2.2 薛定諤繪景與海森堡繪景,一、量子動(dòng)力學(xué)的兩種描述方法薛定諤繪景：i）態(tài)矢隨時(shí)間變化（通過作用于態(tài)矢的時(shí)間演化算符描述），ii）觀測(cè)量算符與時(shí)間無關(guān)。海森堡繪景: i)態(tài)矢與時(shí)間無關(guān), ii)觀測(cè)量算符隨時(shí)間變化海森堡繪景和薛定諤繪景是等價(jià)的。二、么正算符量子力學(xué)中么正算符有多種功用：1）一種表象的基矢與另一表象的基矢可由么正算符聯(lián)系，態(tài)矢本身不變，但其展開系數(shù)則因表象而變；2）作用于態(tài)矢的空間

15、平移和時(shí)間演化算符。在這種么正算符作用下，態(tài)矢改變，但態(tài)矢的內(nèi)積不變 ：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,三、么正變換對(duì)態(tài)或算符作用的等價(jià)性,由于可有兩種等價(jià)方法：1）態(tài)矢變（ ），算符不變；2）態(tài)矢不變，算符變例如對(duì)于無窮小平移算符 ，方法一： 的期待值 ?方法二：

16、 ，兩者都得到相同的結(jié)果經(jīng)典物理并無態(tài)矢的概念，但有平移、時(shí)間演化等。平移和時(shí)間演化等作用于物理量如坐標(biāo)，角動(dòng)量等可觀測(cè)量而使其改變。因此，方法2）似乎與經(jīng)典力學(xué)的聯(lián)系更密切。,,,,,,,,,,,,四、薛定諤繪景與海森堡繪景中的態(tài)矢和觀測(cè)量,在薛定諤繪景中態(tài)矢隨時(shí)間變化， 這里 ，算符不變 。在海森堡繪景，

17、 但 在 時(shí)， ，在這兩種繪景中，算符的期待值是相同的，,,,,,,,,,,五、海森堡運(yùn)動(dòng)方程,對(duì) 不是時(shí)間顯函數(shù)的情形（適于大部分物理問題），

18、 （對(duì) ）得Heisenberg運(yùn)動(dòng)方程： 它是根據(jù) 的定義和u的性質(zhì)推導(dǎo)出來的。,,,,,,,,,,,,,,,,,五、海森堡運(yùn)動(dòng)方程（續(xù)),經(jīng)典物理中，對(duì)不是時(shí)間顯函數(shù)的 ，有 由此，根據(jù)Dirac的量

19、子化規(guī)則便得海森堡運(yùn)動(dòng)方程。但在海森堡運(yùn)動(dòng)方程中 可以無經(jīng)典對(duì)應(yīng)，例如自旋算符也滿足 （但 不能寫成q 和p的函數(shù)） 即經(jīng)典力學(xué)可由對(duì)應(yīng)關(guān)系 推出，反之卻不然,,,,,,,,,,,,,,,,六、量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)觀察量的對(duì)應(yīng),時(shí)間演化算

20、符的薛定諤方程和海森堡運(yùn)動(dòng)方程的使用都需要有合適的哈密頓算符H。對(duì)有經(jīng)典對(duì)應(yīng)的物理體系，我們假定H與經(jīng)典物理有相同的形式而將經(jīng)典的 和 用量子力學(xué)的相應(yīng)算符來代替。當(dāng)對(duì)應(yīng)規(guī)則牽涉不對(duì)易觀測(cè)量時(shí)，則要求H是厄米的。 例如，經(jīng)典力學(xué)的乘積xp之量子力學(xué)對(duì)應(yīng)為 。物理體系無經(jīng)典對(duì)應(yīng)時(shí)，需要猜想H算符的形式。猜想形式的正確性以所用H給出與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果相同來檢驗(yàn)。在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常需要計(jì)算 或

21、 與 及 的函數(shù)的對(duì)易關(guān)系。對(duì)此可使用公式：這里F及G分別是可以用 和 級(jí)數(shù)展開的函數(shù)，這兩式可通過級(jí)數(shù)展開及重復(fù)使用 而得。,,,,,,,,,,,,,七、自由粒子的運(yùn)動(dòng),由經(jīng)典哈密頓的形式： 并將觀測(cè)量 和 理解成Heisenberg繪景的算符，1） 即對(duì)自由粒子，動(dòng)量算符是運(yùn)動(dòng)常量，即

22、 。一般而言，若 與H對(duì)易，則 是運(yùn)動(dòng)常量。2） 與勻速直線運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典軌跡方程相似。由于 不同時(shí)刻的坐標(biāo)算符不對(duì)易 根據(jù)測(cè)不測(cè)關(guān)系，表明粒子的位置會(huì)隨時(shí)間而變得越來越不確定(對(duì)應(yīng)于波動(dòng)力學(xué)的波包擴(kuò)展),,,,,,,,,,,,八、 Ehrenfest定理,考慮粒子在勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)。

23、 是x，y，z算符的函數(shù)由于 與 對(duì)易， 與自由粒子情形相同。 即 ，與牛頓第二定律相仿（海森堡繪景）取期望值， （適用于薛定諤和海森堡繪景）由于Ehrenfest定理里無 (要求空間和時(shí)間平移算符