博弈論中的幾個(gè)經(jīng)典問(wèn)題

1、幾個(gè)博弈論中的經(jīng)典問(wèn)題幾個(gè)博弈論中的經(jīng)典問(wèn)題博弈論（GameThey），亦名“對(duì)策論”、“賽局理論”，屬應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，博弈論已經(jīng)成為經(jīng)濟(jì)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)分析工具之一。目前在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、國(guó)際關(guān)系、計(jì)算機(jī)科學(xué)、政治學(xué)、軍事戰(zhàn)略和其他很多學(xué)科都有廣泛的應(yīng)用。博弈論主要研究公式化了的激勵(lì)結(jié)構(gòu)間的相互作用。是研究具有斗爭(zhēng)或競(jìng)爭(zhēng)性質(zhì)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論和方法。也是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要學(xué)科。博弈論考慮游戲中的個(gè)體的預(yù)測(cè)行為和實(shí)際行為，并研究它們的優(yōu)化策略。生

2、物學(xué)家使用博弈理論來(lái)理解和預(yù)測(cè)進(jìn)化論的某些結(jié)果。幾個(gè)重要的概念幾個(gè)重要的概念1、策略(strategies)：一局博弈中，每個(gè)局中人都有選擇實(shí)際可行的完整的行動(dòng)方案，即方案不是某階段的行動(dòng)方案，而是指導(dǎo)整個(gè)行動(dòng)的一個(gè)方案，一個(gè)局中人的一個(gè)可行的自始至終全局籌劃的一個(gè)行動(dòng)方案，稱(chēng)為這個(gè)局中人的一個(gè)策略。如果在一個(gè)博弈中局中人都總共有有限個(gè)策略，則稱(chēng)為“有限博弈”，否則稱(chēng)為“無(wú)限博弈”。2、得失(payoffs)：一局博弈結(jié)局時(shí)的結(jié)果稱(chēng)為得

3、失。每個(gè)局中人在一局博弈結(jié)束時(shí)的得失，不僅與該局中人自身所選擇的策略有關(guān)，而且與全局中人所取定的一組策略有關(guān)。所以，一局博弈結(jié)束時(shí)每個(gè)局中人的“得失”是全體局中人所取定的一組策略的函數(shù)，通常稱(chēng)為支付（payoff）函數(shù)。3、次序（ders）：各博弈方的決策有先后之分，且一個(gè)博弈方要作不止一次的決策選擇，就出現(xiàn)了次序問(wèn)題；其他要素相同次序不同，博弈就不同。4、博弈涉及到均衡：均衡是平衡的意思，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，均衡意即相關(guān)量處于穩(wěn)定值。在供求關(guān)

4、系中，某一商品市場(chǎng)如果在某一價(jià)格下，想以此價(jià)格買(mǎi)此商品的人均能買(mǎi)到，而想賣(mài)的人均能賣(mài)出，此時(shí)我們就說(shuō)，該商品的供求達(dá)到了均衡。5、納什均衡(NashEquilibrium)：在一策略組合中，所有的參與者面臨這樣一種情況，當(dāng)其他人不改變策略時(shí)，他此時(shí)的策略是最好的。也就是說(shuō)，此時(shí)如果他改變策略他的支付將會(huì)降低。在納什均衡點(diǎn)上，每一個(gè)理性的參與者都不會(huì)有單獨(dú)改變策略的沖動(dòng)。納什均衡點(diǎn)存在性證明的前提是“博弈均衡偶”概念的提出。所謂“均衡偶”

5、是在二人零和博弈中，當(dāng)局中人A采取其最優(yōu)策略a局中人B也采取其最優(yōu)策略b如果局中人B仍采取b而局中人A卻采取另一種策略a，那么局中人A的支付不會(huì)超過(guò)他采取原來(lái)的策略a的支付。這一結(jié)果對(duì)局中人B亦是如此。經(jīng)典的博弈問(wèn)題1、“囚徒困境”“囚徒困境”是博弈論里最經(jīng)典的例子之一。講的是兩個(gè)嫌疑犯（Ａ和Ｂ）作案后被警察抓住，隔離審訊；警方的政策是“坦白從寬，抗拒從嚴(yán)“，如果兩人都坦白則各判８年；如果一人坦白另一人不坦白，坦白的放出去，不坦白的判１

6、０年；如果都不坦白則因證據(jù)不足各判１年。在這個(gè)例子里，博弈的參加者就是兩個(gè)嫌疑犯Ａ和Ｂ，他們每個(gè)人都有兩個(gè)策略即坦白和不坦白，判刑的年數(shù)就是他們的支付。可能出現(xiàn)的四種情況：Ａ和Ｂ均坦白或均不坦白、Ａ坦白Ｂ不坦白或者Ｂ坦白Ａ不坦白，是博弈的結(jié)果。Ａ和Ｂ均坦白是這個(gè)博弈的納什均衡。這是因?yàn)?，假定Ａ選擇坦白的話，Ｂ最好是選擇坦白，因?yàn)椋绿拱着校改甓仲?lài)卻要判十年；假定Ａ選擇抵賴(lài)的話，Ｂ最好還是選擇坦白，因?yàn)椋绿拱着胁槐慌行潭仲?lài)確要被判刑１年

7、。即是說(shuō)，不管Ａ坦白或抵賴(lài)，Ｂ的最佳選擇都是坦白。反過(guò)來(lái)，同樣地，不管Ｂ是坦白還是抵賴(lài)，Ａ的最佳選擇也是坦白。結(jié)果，兩個(gè)人都選擇了坦白，各判刑８年。在（坦白、坦白）這個(gè)組合中，Ａ和Ｂ都不能通過(guò)單方面的改變行動(dòng)增加自己的收益，于是誰(shuí)也沒(méi)有動(dòng)力游離這個(gè)組合，因此這個(gè)組合是納什均衡。得越遠(yuǎn)，勝算越大。你多看兩步，我比你更強(qiáng)多看三步，你多看四步，我比你更老謀深算多看五步。在花瓶索賠的例子中，如果兩個(gè)人都“徹底理性”，都能看透十幾步甚至幾十步上百

8、步，那么上面那樣“精明比賽”的結(jié)果，最后落到每個(gè)人都只寫(xiě)一兩元的地步。事實(shí)上，在徹底理性的假設(shè)之下，這個(gè)博弈唯一的納什均衡。4、槍手博弈彼此痛恨的甲、乙、丙三個(gè)槍手準(zhǔn)備決斗。甲槍法最好，十發(fā)八中；乙槍法次之，十發(fā)六中；丙槍法最差，十發(fā)四中。如果三人同時(shí)開(kāi)槍?zhuān)⑶颐咳酥话l(fā)一槍?zhuān)坏谝惠啒寫(xiě)?zhàn)后，誰(shuí)活下來(lái)的機(jī)會(huì)大一些？一般人認(rèn)為甲的槍法好，活下來(lái)的可能性大一些。但合乎推理的結(jié)論是，槍法最糟糕的丙活下來(lái)的幾率最大。我們來(lái)分析一下各個(gè)槍手的策略。槍

9、手甲一定要對(duì)槍手乙先開(kāi)槍。因?yàn)橐覍?duì)甲的威脅要比丙對(duì)甲的威脅更大，甲應(yīng)該首先干掉乙，這是甲的最佳策略。同樣的道理，槍手乙的最佳策略是第一槍瞄準(zhǔn)甲。乙一旦將甲干掉，乙和丙進(jìn)行對(duì)決，乙勝算的概率自然大很多。槍手丙的最佳策略也是先對(duì)甲開(kāi)槍。乙的槍法畢竟比甲差一些，丙先把甲干掉再與乙進(jìn)行對(duì)決，丙的存活概率還是要高一些。我們計(jì)算一下三個(gè)槍手在上述情況下第一輪槍?xiě)?zhàn)中的存活幾率：甲：24%（被乙丙合射40%X60%=24%）乙：20%（被甲射100%8

10、0%=20%）丙：100%（無(wú)人射丙）第二輪槍?xiě)?zhàn)中甲乙丙存活的幾率粗算如下：(1)假設(shè)甲丙對(duì)決：甲的存活率為60%，丙的存活率為20%。(2)假設(shè)乙丙對(duì)決：乙的存活率為60%，丙的存活率為40%。第一輪：甲射乙，乙射甲，丙射甲。甲的活率為24%（40%X60%），乙的活率為20%(100%80%)，丙的活率為100%（無(wú)人射丙）。第二輪：情況1：甲活乙死（24%X80%=19.2%）甲射丙，丙射甲──甲的活率為60%，丙的活率為20%。

11、情況2：乙活甲死（20%X76%=15.2%）乙射丙，丙射乙──乙的活率為60%，丙的活率為40%。情況3：甲乙皆活（24%X20%=4.8%）重復(fù)第一輪。情況4：甲乙皆死（76%X80%=60.8%）槍?xiě)?zhàn)結(jié)束。甲的活率為12.672%(19.2%X60%)(4.8%X24%)=12.672%乙的活率為10.08%(15.2%X60%)(4.8%X20%)=10.08%丙的活率為75.52%(19.2%X20%)(15.2%X40%)(