一個(gè)博弈論經(jīng)典案例——海盜抓黃豆

1、一個(gè)博弈論經(jīng)典案例有5個(gè)海盜，即將被處死刑。法官愿意給他們一個(gè)機(jī)會(huì)。從個(gè)海盜，即將被處死刑。法官愿意給他們一個(gè)機(jī)會(huì)。從100個(gè)黃豆中隨意抓取，個(gè)黃豆中隨意抓取，最多可以全抓，最少可以不抓，可以抓同樣多的豆子。最終，抓的最多的和最少的要被處最多可以全抓，最少可以不抓，可以抓同樣多的豆子。最終，抓的最多的和最少的要被處死。如果你第一個(gè)抓，你抓幾個(gè)？死。如果你第一個(gè)抓，你抓幾個(gè)？條件：條件：1，他們都是非常聰明的人，他們都是非常聰明的人2，他

2、們的原則是先求保命，再去多殺人；不能保命的話，也要多殺人。，他們的原則是先求保命，再去多殺人；不能保命的話，也要多殺人。3，100顆不必都分完顆不必都分完4，若有重復(fù)的情況，則也算最大或最小，一并處死，若有重復(fù)的情況，則也算最大或最小，一并處死(中間數(shù)的重復(fù)不算）中間數(shù)的重復(fù)不算）。解析：解析：根據(jù)題意，根據(jù)題意，2號(hào)是知道號(hào)是知道1號(hào)抓了幾顆豆子的。那么，對(duì)于號(hào)抓了幾顆豆子的。那么，對(duì)于2號(hào)來(lái)說(shuō)，只有號(hào)來(lái)說(shuō)，只有2種選擇：種選擇：與1

3、號(hào)一樣多，或者不一樣多。我們就從這里入手。號(hào)一樣多，或者不一樣多。我們就從這里入手。一、假如2號(hào)選擇與1號(hào)的豆子數(shù)不一樣多，也就是說(shuō)2號(hào)選擇比1號(hào)多或者比1號(hào)少。選擇一樣多的情況后面再討論。1.1.我們先要證明，如果2號(hào)選擇比1號(hào)多或者比1號(hào)少，那么他一定會(huì)選擇比1號(hào)只多1顆或者只少1顆。為什么2號(hào)不會(huì)選擇多2顆或更多，也不會(huì)選擇少2顆或更少呢？要證明這個(gè)并不算太難。因?yàn)槊總€(gè)囚犯的第一選擇是先求保命，要保命就要盡量使自己的豆子數(shù)既不是最

4、多也不是最少。當(dāng)2號(hào)決定選擇比號(hào)決定選擇比1號(hào)多的時(shí)候，那么，他已經(jīng)可以號(hào)多的時(shí)候，那么，他已經(jīng)可以保證自己不是最少，為了盡量使自己不是最多，當(dāng)然比保證自己不是最少，為了盡量使自己不是最多，當(dāng)然比1號(hào)多出來(lái)的數(shù)量越小越好，因?yàn)樘?hào)多出來(lái)的數(shù)量越小越好，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)量越大，那自己成為最多的可能性也就越大這個(gè)數(shù)量越大，那自己成為最多的可能性也就越大。反之，當(dāng)2號(hào)決定選擇比1號(hào)少的時(shí)候，也是同樣的道理，他會(huì)選擇只比1號(hào)少1顆。這個(gè)證明并不難，相信

5、大家都能理解。這個(gè)證明也很重要，以后的許多推論，都是基于這個(gè)證明。1.2.既然2號(hào)只會(huì)會(huì)選擇比1號(hào)多1顆或者比1號(hào)少1顆，那么1、2號(hào)的豆子數(shù)一定是2個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，和一定是2n1，其中1個(gè)人是n，另1人是n1。輪到3號(hào)的時(shí)候，他可以從剩下的豆子數(shù)知道1、2號(hào)的數(shù)量和，也就不難計(jì)算出n的值。而3號(hào)也只有2個(gè)選擇：n顆或者n1顆。為什么3號(hào)不會(huì)選擇n1或者n2呢？這完全是基于同1.1.的證明中一樣的道理，這里不再贅述。不過(guò)，3號(hào)選擇的時(shí)候

6、會(huì)有一個(gè)特殊情況，在這一情況下，他一定會(huì)選擇較小的n，而不是較大的n1。這一特殊情況就是，當(dāng)3號(hào)知道自己選擇了n后（已保證自己不是最多），剩下的豆子數(shù)由于數(shù)量有限，4、5號(hào)中一定有人比n要少，這樣自己一定可以活下來(lái)。不難算出，這個(gè)特殊情況的n=20或者n20。也就是說(shuō)，當(dāng)1、2號(hào)選擇了20和21顆的時(shí)候，3號(hào)只要選擇20顆，就可以保證自己活下來(lái)，因?yàn)槭Ｏ碌亩棺又挥?9顆，4、5號(hào)至少有一人少于20顆（這個(gè)人當(dāng)然是后選的5號(hào)），這樣死的將

7、是5號(hào)和1、2號(hào)中選21顆的那個(gè)人。也由此我們可以看出，1號(hào)、2號(hào)都不會(huì)選擇21這一“倒霉”的數(shù)字（因?yàn)樗麄兌际锹斆魅耍?號(hào)的選擇肯定在20顆以下，而當(dāng)1號(hào)選了20顆時(shí)，2號(hào)就不會(huì)再選擇比1號(hào)多1顆，而只會(huì)選比1號(hào)少1顆的19。也就是說(shuō)，上述“特殊情況”只是理論上的存在，實(shí)際不會(huì)發(fā)生。1.3.如上面所述，前2個(gè)人的和是2n1，第3個(gè)人也只能選擇n或者n1，那么前3個(gè)人的數(shù)量和只能是3n1或3n2這兩種可能。第4個(gè)人也是不難從剩下的豆子

8、數(shù)知道1、2、3號(hào)的數(shù)量總和的，也就不難進(jìn)而計(jì)算出n的值。同樣，他也有n或者n1這兩種選擇。1.4.與1.3.相同的計(jì)算方法，前4個(gè)人的總和，也只有4n1，4n2，4n3這三種可能。最后的5號(hào)也是不難算出n的。在前在前4個(gè)人只選擇了個(gè)人只選擇了2個(gè)數(shù)字（個(gè)數(shù)字（n和n1n1）的情況下，）的情況下，5號(hào)已是必死無(wú)疑，這時(shí)，根據(jù)已是必死無(wú)疑，這時(shí)，根據(jù)“死也要拉幾個(gè)墊背死也要拉幾個(gè)墊背”的條件，的條件，5號(hào)會(huì)選擇號(hào)會(huì)選擇n或n1n1，選擇，

9、選擇5個(gè)人一起完蛋。人一起完蛋。二、根據(jù)第一點(diǎn)中的推論，如果2號(hào)選擇了與1號(hào)不一樣多的話，最終結(jié)果是5個(gè)人一起死，那么2號(hào)只有選擇與1號(hào)一樣多了。那么1、2號(hào)的和就是2n，而3號(hào)如果選擇n1或者n1的話，就又回到第一點(diǎn)的情況去了（前3個(gè)人的和是3m1或3m2），于是3號(hào)也只能選擇n。同樣，4號(hào)還是只能選n，——最后的結(jié)果仍舊是5個(gè)人一起完蛋。因此，此題的答案是：不存在因此，此題的答案是：不存在“誰(shuí)活下來(lái)的可能性比較大誰(shuí)活下來(lái)的可能性比較