工程數學第8講

1、1,第六章 共形映射,2,,本章先分析解析函數所構成的映射的特性,引出共形映射這一重要概念.這種映射在實際問題中,如流體力學，彈性力學，電學等學科中都有重要應用。,3,,在許多物理應用中,要求一個二元實函數,它在已知區(qū)域調和,在邊界上滿足已知條件.在一些區(qū)域比較簡單的情形,可從直接找到解析解,但當區(qū)域復雜時,可通過一個適當的共形映射把比較復雜的區(qū)域映到比較簡單的區(qū)域上去討論.,4,因為一個拉普拉斯方程的解經過共形映射仍是 相應的拉普

2、拉斯方程的解:定理 如果,數,這個函數仍滿足拉普拉斯方程,5,,注:可證明,6,§1 共形映射的概念,7,z平面內的任一條有向連續(xù)曲線C可用z=z(t), a?t?b表示, 它的正向取為t增大時點z移動的方向, z(t)為一連續(xù)函數.如果z '(t0)?0,a<t0<b, 則表示z '(t)的向量(把起點放取在z0. 以下不一一說明)與C相切于點z0=z(t0).,,,,z(t0),

3、z(a),z(b),z '(t0),8,事實上, 如果通過C上兩點P0與P的割線P0P的正向對應于t增大的方向, 則這個方向與表示,的方向相同.,,,O,x,y,,,,,z(t0),P0,P,z(t0+Dt),C,(z),9,當點P沿C無限趨向于點P0, 割線P0P的極限位置就是C上P0處的切線. 因此, 表示,的向量與C相切于點z0=z(t0), 且方向與C的正向一致. 如果我們規(guī)定這個向量的方向作為C上點z0處的切線的正向,

4、 則我們有Arg z '(t0)就是z0處C的切線正向與x軸正向間的夾角;相交于一點的兩條曲線C1與C2正向之間的夾角就是它們交點處切線正向間夾角,10,,,,,x,y,o,,,,,z0,,11,12,1.解析函數的導數的幾何意義 設函數w=f(z)在區(qū)域D內解析, z0為D內的一點, 且,,w =f(z),G,13,設C為z平面內通過點z0的一條有向光滑曲線, 它的參數方程是: z=z(t), a

5、?t?b,它的正向相應于參數t增大的方向, 且z0=z(t0), z '(t0)?0, a<t0<b.,映射w=f(z)將C映射成w平面內通過點z0的對應點w0=f(z0)的一條有向光滑曲線G, 它的參數方程是w=f[z(t)], a?t?b 正向相應于參數t增大的方向.,14,根據復合函數求導法, 有w ' (t0)=f ' (z0)z ' (t0)?0因此, 在

6、G上點w0處也有切線存在, 且切線正向與u軸正向的夾角是,Arg w '(t0)=Arg f '(z0)+Arg z '(t0),15,即 Arg w '(t0)-Arg z '(t0)=Arg f '(z0) (6.1.1)如果假定x軸與u軸, y軸與v軸的正向相同, 而且將原來的切線的正向與映射過后的切線的正向之間的夾角理解為曲線C經過w=f(z)映射后在z0處的轉動角, 則

7、(6.1.1)式表明:,1)導數f '(z0)的輻角Arg f '(z0)是曲線C經過w=f(z)映射后在z0處的轉動角;2)轉動角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無關. 所以這種映射具有轉動角的不變性.,16,通過z0點的可能的曲線有無限多條, 其中的每一條都具有這樣的性質, 即映射到w平面的曲線在w0點都轉動了一個角度Arg f '(z0).,,,O,x,y,,,O,u,v,(z),(w),z0,w0

8、,,,,,,,,,17,相交于點z0的任何兩條曲線C1與C2之間的夾角, 在其大小和方向上都等同于經w=f(z)映射后C1與C2對應的曲線G1與G2之間的夾角, 所以這種映射具有保持兩曲線間夾角與方向不變的性質.這種性質稱為保角性,,,O,x,y,,,O,u,v,(z),(w),z0,w0,,,,,,a,C1,C2,G1,G2,Z1(t),Z2(t),w1(t),w2(t),18,,證明:,19,此極限值稱為曲線C在z0的伸縮率.,,w

9、 =f(z),20,(6.1.3)表明:|f '(z)|是經過映射w=f(z)后通過點z0的任何曲線C在z0的伸縮率, 它與曲線C的形狀及方向無關. 所以這種映射又具有伸縮率的不變性.,21,定理一 設函數w=f(z)在區(qū)域D內解析, z0為D內的一點, 且f ' (z0)?0, 則映射w=f(z)在z0具有兩個性質:1)保角性. 即通過z0的兩條曲線間的夾角跟經過映射后所得兩曲線間的夾角在大小和方向上保持不變

10、2)伸縮率的不變性. 即通過z0的任何一條曲線的伸縮率均為|f '(z0)|而與其形狀和方向無關.,22,2. 共形映射的概念定義 設函數w=f(z)在z0的鄰域內是一一的, 在z0具有保角性和伸縮率不變性, 則稱映射w=f(z)在z0是共形的, 或稱w=f(z)在z0是共形映射. 如果映射w=f(z)在D內的每一點都是共形的, 就稱w=f(z)是區(qū)域D內的共形映射.,23,定理二 如果函數w=f(z)在z0解析, f

11、 '(z0)?0;且函數w=f(z)在z0的鄰域內是一一的, 則映射w=f(z)在z0是共形的, 而且Arg f '(z0)表示這個映射在z0的轉動角, |f '(z0)|表示伸縮率.如果解析函數w=f(z)在D內處處有f '(z)?0;且是一一的, 則映射w=f(z)是D內的共形映射.,24,,,定理一的幾何意義. 在D內作以z0為其一個頂點的小三角形, 在映射下, 得到一個以w0為其一個頂點的小曲邊

12、三角形, 這兩個三角形對應邊長之比近似為|f '(z0)|, 有一個角相等, 則這兩個三角形近似相似.,,,O,x,y,,,O,u,v,(z),(w),z0,w0,,,,,,a,C1,C2,G1,G2,25,,,,,O,x,y,,,O,u,v,(z),(w),z0,w0,,,,,,a,C1,C2,G1,G2,26,例,解,27,§2 分式線性映射,28,1. 分式線性映射的定義,,29,,30,兩個分式線性映射的復合

13、, 仍是一個分式線性映射. 例如,31,也可將一般的分式線性映射分解為一些簡單映射的復合,,32,由此可見, 一個一般形式的分式線性映射是由下列三種特殊映射復合而成:,下面討論三種映射, 為了方便, 暫且將w平面看成是與z平面重合的.,33,i)w=z+b. 這是一個平移映射. 因為復數相加可以化為向量相加, z沿向量b的方向平移一段距離|b|后, 就得到w.,,,O,(z)?(w),,,,,,z,w,b,34,ii)w=az, a?0

14、. 這是一個旋轉與伸長(或縮短)的映射. 設a=leia將z先轉一個角度a, 再將|z|伸長(或縮短)l倍后, 就得到w.,,,O,(z)=(w),,,z,w,,,a,35,圓周的對稱點,在以圓心為起點的一條半直線上,如果有兩點P, P'滿足:OP?OP ' =r2,則稱P與P'關于圓周C互為對稱點..規(guī)定:無窮遠點的對稱點是圓心O.,P與P'關于圓周C互為對稱點,36,圓周的對稱點,P與P'關

15、于圓周C互為對稱點,37,圓周的對稱點,如果有兩點Z, Z'滿足:則Z與Z'關于圓周C互為對稱點..,P與P'關于圓周C互為對稱點,38,,,,,,,,,,z,w1,w,,Z關于圓周 |Z|=1 對稱的點w1滿足,,,39,1.保角性,40,41,而i)與ii)構成的復合映射w=az+b經過類似的處理后也可以看作是在整個擴充復平面上共形的,而分式線性映射是上述三種映射復合而構成的,因此有定理一 分式

16、線性映射在擴充復平面上是一一對應的, 且具有保角性.,42,2.保圓性映射w=az+b和w=1/z都具有將圓周映射成圓周的特性, 這里將直線看作是無窮大半徑的圓,這種性質稱作保圓性.,映射w=az+b顯然具有將圓周映射成圓周的特性,下面說明w=1/z具有保圓性:,43,因此, 映射w=1/z將方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0變?yōu)榉匠蘢(u2+v2)+bu-cv+a=0,可能是 將圓周映射為圓周(當a?0,d

17、?0); 將圓周映射成直線(當a?0,d=0); 將直線映射成圓周(當a=0,d?0)將直線映射成直線(當a=0,d=0).,44,這就是說, 當把直線看成經過無窮遠點的圓周時,映射w=1/z把圓周映射成圓周或者說, 映射w=1/z具有保圓性.,45,定理二 分式線性映射將擴充z平面上的圓周映射成擴充w平面上的圓周, 即具有保圓性.,根據保圓性, 在分式線性映射下, 如果給定的圓周或直線上沒有點映射成無窮遠

18、點, 則它就映射成半徑為有限的圓周; 如果有一個點映射成無窮遠點, 它就映射成直線.,46,47,48,z1,z2是關于圓周C的一對對稱點的充要條件是經過z1,z2的任何圓周G 都與C正交.,,,C,R,,,,,,z0,z1,z2,z',G,49,,定理三 設點z1,z2是關于圓周C的一對對稱點, 則在分式線性映射下, 它們的象點w1與w2也是關于C的象曲線C '的一對對稱點.[證] 設經過w1與w2的任一圓