極限思想

1、極限思想極限思想極限的思想極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論(包括級數(shù))為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科。所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來得到這結(jié)果。極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性

2、、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來定義的。如果要問：“數(shù)學(xué)分析是一門什么學(xué)科”那么可以概括地說：“數(shù)學(xué)分析就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學(xué)科”。1.極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展（1）極限思想的由來.與一切科學(xué)的思想方法一樣，極限思想也是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術(shù)就是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用；古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想，但由于希臘人“對無限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是借助于間接證法

3、——?dú)w謬法來完成了有關(guān)的證明。到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進(jìn)了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用概念的方向”。（2）極限思想的發(fā)展極限思想的進(jìn)一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相聯(lián)系的。16世紀(jì)的歐洲處于資本主義萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展，生產(chǎn)和技術(shù)中大量的問題，只用初等數(shù)學(xué)的方法已無法解決，要求數(shù)學(xué)突破只研究常

4、量的傳統(tǒng)范圍，而提供能夠用以描述和研究運(yùn)動(dòng)、變化過程的新工具，這是促進(jìn)極限發(fā)展、建立微積分的社會(huì)背景。起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分，后來因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。牛頓用路程的改變量ΔS與時(shí)間的改變量Δt之比ΔS／Δt表示運(yùn)動(dòng)物體的平均速度，讓Δt無限趨近于零，得到物體的瞬時(shí)速度，并由此引出導(dǎo)數(shù)概念和微分學(xué)理論。他意識(shí)到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎(chǔ)，他說：“兩個(gè)量和

5、量之比，如果在有限時(shí)間內(nèi)不斷趨于相等，且在這一時(shí)間終止前互相靠近，使得其差小于任意給定的差，則最終就成為相等”。但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上的，因而他無法得出極限的嚴(yán)格表述。牛頓所運(yùn)用的極限概念，只是接近于下列直觀性的語言描述：“如果當(dāng)n無限增大時(shí)，an無限地接近于常數(shù)A，那么就說an以A為極限”。這種描述性語言，人們?nèi)菀捉邮?，現(xiàn)代一些初等的微積分讀物中還經(jīng)常采用這種定義。但是，這種定義沒有定量地給出兩個(gè)“無限過程”之間的聯(lián)系，

6、不能作為科學(xué)論證的邏輯基礎(chǔ)。這個(gè)定義，借助不等式，通過ε和N之間的關(guān)系，定量地、具體地刻劃了兩個(gè)“無限過程”之間的聯(lián)系。因此，這樣的定義是嚴(yán)格的，可以作為科學(xué)論證的基礎(chǔ)，至今仍在數(shù)學(xué)分析書籍中使用。在該定義中，涉及到的僅僅是數(shù)及其大小關(guān)系，此外只是給定、存在、任取等詞語，已經(jīng)擺脫了“趨近”一詞，不再求助于運(yùn)動(dòng)的直觀。眾所周知，常量數(shù)學(xué)靜態(tài)地研究數(shù)學(xué)對象，自從解析幾何和微積分問世以后，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，人們有可能對物理過程進(jìn)行動(dòng)態(tài)研究。之后

7、，維爾斯特拉斯建立的ε－N語言，則用靜態(tài)的定義刻劃變量的變化趨勢。這種“靜態(tài)——?jiǎng)討B(tài)——靜態(tài)”的螺旋式的演變，反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證規(guī)律。2.極限思想的思維功能極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理學(xué)等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。借助極限思想，人們可以從有限認(rèn)識(shí)無限，從“不變”認(rèn)識(shí)“變”，從直線形認(rèn)識(shí)曲線形，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變，

8、從近似認(rèn)識(shí)精確。無限與有限有本質(zhì)的不同，但二者又有聯(lián)系，無限是有限的發(fā)展。無限個(gè)數(shù)的和不是一般的代數(shù)和，把它定義為“部分和”的極限，就是借助于極限的思想方法，從有限來認(rèn)識(shí)無限的。“變”與“不變”反映了事物運(yùn)動(dòng)變化與相對靜止兩種不同狀態(tài)，但它們在一定條件下又可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是“數(shù)學(xué)科學(xué)的有力杠桿之一”。例如，要求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，用初等方法是無法解決的，困難在于速度是變量。為此，人們先在小范圍內(nèi)用勻速代替變速，并求其平均速度，把

9、瞬時(shí)速度定義為平均速度的極限，就是借助于極限的思想方法，從“不變”來認(rèn)識(shí)“變”的。曲線形與直線形有著本質(zhì)的差異，但在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，正如恩格斯所說：“直線和曲線在微分中終于等同起來了”。善于利用這種對立統(tǒng)一關(guān)系是處理數(shù)學(xué)問題的重要手段之一。直線形的面積容易求得，求曲線形的面積問題用初等的方法是不能解決的。劉徽用圓內(nèi)接多邊形逼近圓，一般地，人們用小矩形的面積來逼近曲邊梯形的面積，都是借助于極限的思想方法，從直線形來認(rèn)識(shí)曲線形的。量

10、變和質(zhì)變既有區(qū)別又有聯(lián)系，兩者之間有著辯證的關(guān)系。量變能引起質(zhì)變，質(zhì)和量的互變規(guī)律是辯證法的基本規(guī)律之一，在數(shù)學(xué)研究工作中起著重要作用。對任何一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形來說，當(dāng)它邊數(shù)加倍后，得到的還是內(nèi)接正多邊形，是量變而不是質(zhì)變；但是，不斷地讓邊數(shù)加倍，經(jīng)過無限過程之后，多邊形就“變”成圓，多邊形面積便轉(zhuǎn)化為圓面積。這就是借助于極限的思想方法，從量變來認(rèn)識(shí)質(zhì)變的。近似與精確是對立統(tǒng)一關(guān)系，兩者在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際