函數(shù)極限

1、Page1of4第一章函數(shù)、極限、連續(xù)第三節(jié)函數(shù)極限有關知識及方法：（1）最常用方法：洛必塔法則和泰勒公式，要注意和其它方法相結合，比如等價無窮小代換，變量代換，恒等變形，因子分離，重要極限及微分學和積分學的各種知識。（2）兩個重要極限：（或）exxxxxx?????100)1(lim1sinlimexxx????)11(lim（3）常用的等價無窮小和泰勒公式：時，有0?x（a）)()!12()1(!3sin)(sin12123????

2、???????nnnxoxnxxxxoxx?(b)，)(2cos122xoxx???)()!2()1(!21cos222nnnxoxnxx???????(c)，)(1xoxex???)(!!212nnxxonxxxe???????(d))()1(2)1ln()()1ln(12nnnxoxnxxxxoxx????????????(e))(!)1()1(!2)1(1)1()(1)1(2nnxoxnnxxxxoxx??????????????

3、????????????(f))(arcsin)(arctan)(tanxoxxxoxxxoxx??????(4)存在都存在且相等)(limxfax?)()(???afaf例1：設求)111111(lim1???????xxx分析：初一看該函數(shù)不簡便但作一變換就簡單了。xy??11例２：求（１），（２）（）xxxxba10)2(lim??xxxxba1)(lim????00??ba分析：（１）屬于型的問題，一般可利用重要極限或利用指數(shù)、

4、對數(shù)去解決，（２）屬于?1型的問題，可利用利用指數(shù)、對數(shù)或其它方法去解決。0?解：（１）xbabaxxxxxxxxxbaba22221)221()2(??????????而)0(ln)ln(ln21)11(2122??????????xabbaxbxaxbaxxxxPage3of4解：（1）令，則xt1?))11((limxxxex????ttett10)1(lim????（用洛必塔法則）))1ln(1)1((lim)1(lim2101

5、0tttttttetttt??????????2)1ln(1lim)1(lim2010etttttttt?????????或（用泰勒公式）)(2)1()1()(2)(21)1ln(1toteeeeeeetetottotttt???????????????（2）令則xt??1tttttxxxxtxsin2)1ln()1ln(lim1)1sin(ln)11ln(lim33303231??????????33303021sin)1ln()1l

6、n(lim21lim?????????ttttttt例4：設滿足，求。cba1sin)()21ln(lim3320??????xcxbxaxxxcba分析：由于分母與為等價無窮小，故分母可用代替，從而分子一定等于，x3sin3x3x)(33xox?由此也可以看出這種問題用泰勒公式去解決是方便的解：依題意知)()()21ln(3332xoxcxbxaxx??????而)()(3)2(2)2(2)()21ln(3323232xocxbxax

7、xxxcxbxaxx???????????)()38()2()2(332xoxcxbxa???????比較可得3522????cba例5：設在的某個鄰域內，且存在，并且，)(xf0?x0)(?xf)0(f??4)0(0)(lim0?????fxxfx求。xxxxf10))(1(lim??分析：由題設可推出0)0()(lim)0(0)(lim)0(00????????xfxffxffxx由泰勒公式)(2)(!2)0()0()0()(222