矩陣可對角化的條件

1、第二節(jié)第二節(jié)矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件定義定義1如果矩陣能與對角矩陣相似，則稱可對角化。例1設(shè)，則有：，即。從而可對角化。定理定理1階矩陣可對角化的充分必要條件是有個線性無關(guān)的特征向量。證明：證明：必要性如果可對角化，則存在可逆矩陣，使得將按列分塊得，從而有因此有，所以是的屬于特征值的特征向量，又由可逆，知線性無關(guān)，故有個線性無關(guān)的特征向量。充分性設(shè)是的個線性無關(guān)的特征向量，它們對應(yīng)的特征值依次為，則有。令，則是一個可逆矩陣且

2、有：(1)成立。則有，又將(1)式兩邊同乘得：從而有由歸納假設(shè)得，再由兩兩互不相同可得將其代入(1)式得，因此有，從而線性無關(guān)。推論推論1若階矩陣有個互不相同的特征值，則可對角化，且。定理定理3設(shè)是階矩陣的個互異特征值，對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量為，則由所有這些特征向量（共個）構(gòu)成的向量組是線性無關(guān)的。證明：證明：設(shè)，記，，則有，且或是的屬于特征值的特征向量。若存在某個，，則由屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)知，矛盾。因此有，又由已知得