高中物理競賽實用解題方法——遞推法

1、遞推法遞推法遞推法是解決物體與物體發(fā)生多次作用后的情況.即當(dāng)問題中涉及相互聯(lián)系的物體較多并且有規(guī)律時，應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想將所研究的問題歸類，然后求出通式.具體方法是先分析某一次作用的情況，得出結(jié)論.再根據(jù)多次作用的重復(fù)性和它們的共同點(diǎn)，把結(jié)論推廣，然后結(jié)合數(shù)學(xué)知識求解.用遞推法解題的關(guān)鍵是導(dǎo)出聯(lián)系相鄰兩次作用的遞推關(guān)系式.例1質(zhì)點(diǎn)以加速度a從靜止出發(fā)做直線運(yùn)動，在某時刻t，加速度變?yōu)?a；在時刻2t，加速度變?yōu)?a；…；在nt時

2、刻，加速度變?yōu)椋╪1）a，求：（1）nt時刻質(zhì)點(diǎn)的速度；（2）nt時間內(nèi)通過的總路程.解析解析根據(jù)遞推法的思想，從特殊到一般找到規(guī)律，然后求解.（1）物質(zhì)在某時刻t末的速度為atvt?2t末的速度為atatvatvvttt2222????所以3t末的速度為atatatatvvtt32322?????……則nt末的速度為natvvtnnt???)1()321()1(32natnatatnatatat??????????????atnnnn

3、at)1(21)1(21?????（2）同理：可推得nt內(nèi)通過的總路程.)12)(1(1212atnnns???例2小球從高處自由下落，著地后跳起又下落，每與地面相碰一次，mh1800?速度減小，求小球從下落到停止經(jīng)過的總時間為通過的總路程.（g取)2(1?nn10ms2）解析解析小球從h0高處落地時，速率smghv60200??第一次跳起時和又落地時的速率201vv?第二次跳起時和又落地時的速率2022vv?第m次跳起時和又落地時的速

4、率mmvv20?每次跳起的高度依次，402222021122nhgvhnhgvh????……此題還可用對稱法，在非慣性參考系中求解.例4一列進(jìn)站后的重載列車，車頭與各節(jié)車廂的質(zhì)量相等，均為m，若一次直接起動，車頭的牽引力能帶動30節(jié)車廂，那么，利用倒退起動，該車頭能起動多少節(jié)同樣質(zhì)量的車廂？解析解析若一次直接起動，車頭的牽引力需克服摩擦力做功，使各節(jié)車廂動能都增加，若利用倒退起動，則車頭的牽引力需克服摩擦力做的總功不變，但各節(jié)車廂起動的

5、動能則不同.原來掛鉤之間是張緊的，倒退后掛鉤間存在△s的寬松距離，設(shè)火車的牽引力為F，則有：車頭起動時，有2121)(mvsmgF????拉第一節(jié)車廂時：11)(mvvmm???故有sgmFvv????)(21412121?2122221221)2(vmmvsmgF????????拉第二節(jié)車廂時：222)2(mvvmm???故同樣可得：sgmFvv?????)35(32942222?……推理可得sgnmFnnvn??????)312(1

6、2?由mgnFvn?312:02????可得另由題意知4631??nmgF得?因此該車頭倒退起動時，能起動45節(jié)相同質(zhì)量的車廂.例5有n塊質(zhì)量均為m，厚度為d的相同磚塊，平放在水平地面上，現(xiàn)將它們一塊一塊地疊放起來，如圖6—2所示，人至少做多少功？解析解析將平放在水平地面上的磚一塊一塊地疊放起來，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地計算遞推出通式計算.將第2塊磚平放在第一塊磚上人至少需克服重力做功為mgdW?2將第3、4、…、n塊磚