演化方程的有限元分析

1、第二章第二章發(fā)展方程的有限元分析發(fā)展方程的有限元分析W.B.J.ZIMMERMAN，B.N.HEWAKAMBYDepartmentofChemicalProcessEngineeringUniversityofSheffieldNewcastleStreetSheffieldS13JDUnitedKingdomEmail:科學(xué)研究和工程應(yīng)用中的偏微分方程（PDE）多源自復(fù)雜的平衡方程。常見的偏微分方程主要來自質(zhì)量守恒、動量守恒、組分守恒

2、和能量守恒定律。由于這些守恒定律是整個域上的積分方程，所以在連續(xù)性假設(shè)下，偏微分方程很容易用有限元方法近似描述。本章介紹了COMSOLMultiphysics中典型的三種不同類型“時間－空間”系統(tǒng)偏微分方程——橢圓方程，拋物線方程和雙曲線方程。本章還對有限元方法進(jìn)行了總體介紹，結(jié)合應(yīng)用實例講解有限元方法精確計算的特性，更深層次的內(nèi)容將在后續(xù)章節(jié)中引出。1.簡介簡介在科學(xué)研究和工程應(yīng)用中常會遇到滿足守恒定律約束的偏微分方程，通常以積分形式

3、出現(xiàn)。所有由質(zhì)量守恒、動量守恒、組分守恒和能量守恒控制的傳遞現(xiàn)象都會產(chǎn)生連續(xù)逼近的偏微分方程。相信化工人員對傳熱、傳質(zhì)和動量傳遞現(xiàn)象不會感到陌生。與前一章COMSOLMultiphysics化工實例中介紹的零維、一維空間系統(tǒng)相比，化工課程中通常不會出現(xiàn)超過二維或三維的偏微分方程計算。從文獻(xiàn)[1]中找到一個非常珍貴的例子。實際上，很多常見的化工模型和公式都是由實際過程中更高維數(shù)的動力學(xué)過程簡化而來的。流體動力學(xué)中的阻力系數(shù)，傳熱傳質(zhì)系數(shù)，

4、多相催化的Thiele模型，精餾塔設(shè)計中的McCabeThiele圖等許多描述高維數(shù)系統(tǒng)傳遞現(xiàn)象或非穩(wěn)態(tài)動力學(xué)過程的技術(shù)，都是半經(jīng)驗性的方法，也許可以用偏微分方程來描述這些過程，但是由于基本物理、化學(xué)現(xiàn)象的復(fù)雜性，這些方程通常很難求解。所以對于初步的設(shè)計計算，這些快速計算的簡化方法很受歡迎，但是對于細(xì)節(jié)設(shè)計、設(shè)計翻新、過程分析和優(yōu)化過程，只有簡化方法是不夠的。在基礎(chǔ)科學(xué)研究過程中，這些方法仍然不斷地從化學(xué)工程師傳給生物學(xué)家、材料學(xué)家等，

5、逐漸應(yīng)用到各個領(lǐng)域的工作中。但是計算流體動力學(xué)（CFD）的出現(xiàn)徹底改變了這些方法在傳導(dǎo)模型中的地位。雖然CFD在傳導(dǎo)現(xiàn)象可視化和量化方面具有獨特優(yōu)勢，但是唯象方法對于描述分布系統(tǒng)模型仍然有非常重要的作用。COMSOLMultiphysics不是一個“商業(yè)CFD軟件”，但是也可以做一些CFD計算。它包含一些通用的CFD軟件包，在某些模型支持上具有其獨特的優(yōu)點。對于CFD方法，大多數(shù)過程工程師希望有對湍流和燃燒模型的支持。但是COMSOLM

6、ultiphysics不同，擅長多物理場計算。除了CFD的傳統(tǒng)傳遞現(xiàn)象，COMSOLMultiphysics還包含了電動力學(xué)、磁動力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等實例模式，可以對這些現(xiàn)象進(jìn)行模擬計算。實際上COMSOLMultiphysics的最大優(yōu)點在于——首先，用戶自定義編程容易，可以輕易建立用戶自定義的模型，通過改變變量系數(shù)、邊界條件、初始條件，還可以同時耦合多個物理場（甚至不在同一個域上的物理場）；其次，基于MATLAB（或COMSOL），可以

7、實現(xiàn)對復(fù)雜模型模擬的所有編程功能，可以把COMSOLMultiphysics看作是一個方便的高階有限元編程和分析軟件。上一章中，我們介紹了一些用戶自定義編程分析也就是說，不再傳遞、超出給定范圍、來自噪聲或者在給定窗口內(nèi)因丟失初始條件而消失。2.1泊松方程：橢圓偏微分方程泊松方程：橢圓偏微分方程拉普拉斯方程經(jīng)過適當(dāng)變化就成為泊松方程：(2)2()ufx??我們在第一章描述非均勻介質(zhì)中具有分布熱源的熱傳導(dǎo)問題時見過該方程的1一維形式，但是這

8、里的熱傳導(dǎo)率是均勻的。下面給出(2)式的另一個側(cè)面，應(yīng)該注意到，該方程滿足給定渦量曲線的流函數(shù)方程：(3)2()x?????有兩種較為容易的常見渦量類型——蘭金渦（某一區(qū)域內(nèi)的渦量是常數(shù)）和點源渦（渦量快速降低，可以理想為一個點渦）。你可能會對這兩種類型渦產(chǎn)生的流線感興趣。下面我們來研究一下這些流線。打開COMSOLMultiphysics模型導(dǎo)航欄。按照表1的步驟求解具有單位分布源項（常渦量）的泊松方程。該模型具有一個獨立變量u，二維

9、空間坐標(biāo)x和y。我們繪制一個實心圓作為研究域，COMSOLMultiphysics將邊界分為四部分，默認(rèn)網(wǎng)格劃分762個。等流函數(shù)線如圖1所示。表1單位分布源項的泊松方程ModelNavigat選擇2D空間維數(shù)，COMSOLMultiphysics|PDEModes|ClassicalPDEs|Poisson’sEquation設(shè)定Element：LagrangeQuadratic，完成Draw菜單Specifyobjects：Circ

10、le默認(rèn)設(shè)置（單位半徑；圓形在原點），完成Physics菜單：BoundarysettingsDirichlet默認(rèn)模式，h=1，r=0(u=0)完成Physics菜單：Subdomainsettings選擇域1接受默認(rèn)選項，c＝1；f＝1。完成Meshing點擊三角形符號繪制網(wǎng)格Solver點擊求解按鈕（＝）求解Postprocessing：Plotparameters在General選項卡中取消選中Surface選項Contour選